2023-2024学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）第一次月考数学试

卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.tcm30。的值等于（）

A.白B.6C.1D.C

32

2.在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AB=4,那么下列结论正确的是（）

4343

A.cosA=-B.sinA=-C.tanB=-D.tanA=7

5434

3.如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CO的长是161,.12

则像CC到小孔。的距离为（）A...

Ad6

A.1cm/.一

B.2cm

C.3cm

D.4cm

4.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点4,B,C均在格点上，则tanA

的值是（）

5

B-1

C.2

5

5.如图，每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）

6.某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100一百米，则此人所在的位置升高了（）

A.100米B.50，3米C.50米D.100门米

7.如图，。是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABCSA

ACD的是()

D

A.乙B=Z.ACD

B.AADC=乙ACB

些=些

CDBC

D.AC2=AD-AB

8.在直角坐标系中，aABC的三个顶点分别为4(1,2),8(2,1),C(3,2),现以原点0为位似中心,作与AABC

的位似比为2的位似图形△4'B'C',则顶点C'的坐标是()

A.(6,4)B.(|,1)

C.(6,4)或(一6,-4)D.(|,1)或(一1-1)

9.如图，△ABC中，0、E分别为AC、BC边上的点，AB//DE,CF为4B边上

的中线，若力D=5,CD=3,DE=4,则BF的长为()D

A32

AT

厂1°

c,T

D-

10.如图，在正方形4BCD中，点E、F分别在边4。和CO上，AFLBE,垂足为G,若第=2,4

则黑的值为()

5

B

6-

C

6

-

7

D

7

8-

11.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，C4是水平线，B4与CA的

单位：米

夹角为。.现要在楼梯上铺一条地毯，已知S=4米，楼梯宽度3米，则地

毯的面积至少需要()

A•福米2

B.(44-4ttm。)米2

C-3(4+磊)米2

D.3(4+4tcm。)米2

12.如图，在正方形4BC。中，E为BC上一点，过点E作EF〃CD,交4D于F,交对角

线B。于G,取0G的中点H,连结4",EH,FH.下歹U结论：①4EFH=45°;（2）△AHD=L

EHF；（3）^AEF+/.HAD=45°;④若径=2,则=8.其中结论正确的是（）

A.①②③④B.①②③C.①④D.②③④

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.如图，在Rt△力BC中，ZC=90°,BC=12,AC=5,则sinB的值为

14.小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标

杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为米.

15.如图，在平行四边形4BC0中，E为C。上一点，连接4£、BD,且4E、BD

交于点F,EF：AF=2：5,若ADEF的面积是4,则四边形BCEF的面积是

16.如图是拦水坝的横断面，斜坡4B的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2,

则斜坡48的长为

17.如图，在Rt△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=6.点N「P】分别在AC,BC,AB上,且四边形MiCN/i

是正方形，点“2，N2,P2分别在AM，BN1,BP1上，且四边形M2MN2P2是正方形，…，点M“，Nn,分分

别在Pn_lNn_i，BN-，BPnr上，且四边形时„治_1乂1%是正方形，则线段Mn匕的长度是

三、解答题(本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题8.0分)

计算：

(l)2cos30°—tan60°+sin45°cos45°；

(2)(—1)2023+2s讥45°—cos30°+sin60°4-tan260°.

19.(本小题6.0分)

如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角

坐标系.

(1)将△力BC向左平移7个单位，请画出平移后的△&B1C1.并写出片的坐标.

(2)以原点。为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△//。?与AABC对应边的比为1：2.请在网格内

画出△/I2B2C2，并写出点①的坐标：.

yM

20.（本小题8.0分）

如图，CD是A4BC的中线，NB是锐角，sinB=苧，tan44C=仁.

(1)求4B的长.

(2)求tan/CDB的值.

21.（本小题8.0分）

如图，AD是AABC的角平分线，在4c上取点E,^.AD2=ABxAE

⑴求证：△4BO“zM£）E；

(2)若4B=64°,ZC=42°,求乙CCE的度数.

A

22.（本小题9.0分）

在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点0,过点。作直线EF分别交ZM、BC的延长线于点E、F,

连接BE、DF.

（1）若EF=BD,判断四边形EBFD的形状，并说明理由;

（2）若EF1CD于H,CH：DH=2：3,求。”的长度.

23.（本小题8.0分）

小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度.他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如

图所示，他在点。处测得小山顶端的仰角为45。，小山顶端4在水中倒影4的俯角为60。.若点。到湖面的距离

OD=4m,ODLDB,ABLDB,力、B、A'三点共线，A'B=AB,求小山的高度4B.（光线的折射忽略不计；

结果保留根号）

24.(本小题10.0分)

烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽"，白天放烟称“燧”.克孜尔柒

哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1).某数学兴趣小组

利用无人机测量该烽燧的高度，如图2,无人机飞至距地面高度31.5米的4处，测得烽燧BC的顶部C处的俯

角为50。，测得烽燧的底部8处的俯角为65。，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度.

(参考数据：sin50°«0.8,cos50°»0.6,tan50°«1.2,s讥65020.9,cos65°«0.4,tan65°«2.1)

图1

图2

25.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点4出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同

时点Q从点C出发，沿C4以3cm/s的速度向点4运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动

时间为xs.

(1)当PQ〃BC时，求x的值.

(2)Zk4PQ与ACQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：tcm30。=一.

故选：A.

直接利用特殊角的三角函数值得出答案.

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

2.【答案】B

【解析】解：Rt△ABC中，:NC=90。，BC=3,AB=4,

■■AC=V42-32=y/~7,

.BC3*ACC.DACC.ABC33<7

"SlnA=AB=VC0SA=^^—'tanB=^—'tanAAC=71=--

故选：B.

先利用勾股定理计算出AC=C，然后根据正弦、余弦和正切的定义对各选项进行判断.

本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：设像CD到小孔。的距离为X,

由题意知，AB//CD,

•••△ABO-4DCO,

612

y=*

x-2,

故选:B.

设像CC到小孔。的距离为X,根据相似三角形对应边以及对应边上的高成比例得出方程求解即可.

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：如图：连接BD,

由题意得：

AD2=22+22=8,

BD2=I2+I2=2,

AB2=I2+32=10,

AD2+BD2=AB2,

・•・△4BD是直角三角形,

AADB=90°,

在RtA/180中，4D=2。，BD=0，

.BDS1

-'-tanA=AD=^=2

故选:B.

连接BD,先利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，从而可得N40B=90。，然后在中,

利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键.

根据网格中的数据求出48,AC,8c的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.

【解答】

解：由勾股定理得：AB=V32+I2=<10-BC=2,AC=VI2+I2=y/~2,

AC：BC：AB—1：V2：V5,

A、三边之比为1：<5：2>J~2,图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

B、三边之比：1：。：<5.图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；

C、三边之比为—2：7~5：3,图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

D、三边之比为2：，石：E，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似.

故选：B.

6.【答案】A

【解析】解：设此人所在的位置升高了x米，

••・斜坡的坡度为1：2,

••・此人前进的水平距离为2x米，

由勾股定理得:/+(2x)2=(100O，

解得：x=100(负值舍去)，

••・此人所在的位置升高了100米，

故选：A.

设此人所在的位置升高了x米，根据坡度的概念用x表示出此人前进的水平距离，根据勾股定理计算，得到

答案.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度%和水平宽度/的比是解题的

关键.

7.【答案】C

【解析】解：「NA是公共角，

•••再力口上NB=ZACD,或44DC=44cB都可判定△ACD,

•••44是公共角，再加I上AC?=40•力B,即务=祭，也可判定△ABCSAACO,

•••选项A、B、。都可判定△ABC"ACD.

而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能.

故选：C.

根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可.

本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于

基础题，要求学生应熟练掌握.

8.【答案】C

【解析】解：,・•△ABC的位似比为2的位似图形是△4'B'C',且C(3,2),

.♦.当AAEC，与AABC在原点同侧时C'(2X3,2X2),即C'(6,4),

当△4‘B'C'与△4BC在原点异侧时,C'(—2x3,—2x2),即C'(—6,-4),

故选：C.

分4A'B'C'V4ABC在原点同侧和异侧两种情况结合位似图形的性质进行求解即可.

本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键：如果AABC与△AB'C'是关于原点

位似且位似比为k的位似图形，那么2(a,b)的对应点4'的坐标为(ka,kb)或(一/ca,-kb).

9.【答案】B

【解析】解：：4B〃DE,

CDE〜ACAB1

tAB__AC

A~DE=CD"

-AD=5,CD=3,DE=4,

・••AC=CD+AD=8,

”=工

8AB

.32

ABn——；

又丁C尸为边上的中线，

F为ZB的中点，

...BF="B=学，

故选：B.

由AB〃DE可得△CDE-AC4B,再由40=5,CD=3,DE=4,可求48的长.又C尸为4B边上的中线，则

F为48的中点，问题可求.

本题主要考查了相似三角形的性质，正确根据两个三角形相似写出对应的比例式，是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：设4B=m,

•••四边形ABCC是正方形，

•••AB-DA-m,Z.BAE—/.D—90°,

AE„

:而=2,

22

:.AE=?DA=-m,

vAF1BE于点G,

・•・4AGE=90°,

・•・乙ABE=A.DAF=90°-N4E8,

：^ABE=^DAF{ASA),

2

-DF=AE=-m,

・•.AF=VAD2+DF2=Jm2+(|m)2=

•・•乙AGE=ZD=90°,Z.GAE=^DAF,

*'.△GAE^hDAFt

2------

,AG__AE__”

J•而=Q=、F=13*

~3~m

“2NH32%T13

AG=———A4DN=———771，

「口4Z7”2>TT3

・•・GF=AF—AG=m----r—m="TH，

故选：C.

设4B=7n,由黑=2,得4E==：m,可证明△ABE三△OAF,得DF=4E=：m,贝必F=

ED333

VAD24-DF2=再证明△GAEs4。4/，得黑=黑=鸟手，所以AG=苗舁/D=GF=

340/IF131313

AF.AG=^mf即可求得翌=今于是得到问题的答案.

39ur/

此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾

股定理等知识，证明△ABENADAF及AGAE-LDA尸是解题的关键.

11.【答案】D

【解析】解：在RtZkABC中，BC=AC-tand=4tan0(^),

.，.4C+BC=4+4tcm0(米)，

.,•地毯的面积至少需要3x(4+4tan9)(米2)；

故选：D.

由三角函数表示出8C,得出4C+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果.

本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键.

12.【答案】A

【解析】解：①在正方形4BCD中，乙4DC=4C=90。，乙40B=45。，

■,■EF//CD,

4EFD=90°,

•••四边形EFDC是矩形.

在RtAFDG中，/.FDG=45°,

•••FD=FG,

•••H是DG中点，

1

•••4EFH=产EFD=45°

故①正确；

②••・四边形4BEF是矩形，

.-.AF=EB,Z.BEF=90°,

B。平分乙4BC,

•••Z.EBG=乙EGB=45°,

.・.BE=GE,

••.AF=EG.

在RtAFGD中，”是DG的中点，

・・・FH=GH,FH1BD,

・・・Z.AFH=/.AFE+乙GFH=90°+45°=135°,

乙EGH=180°一乙EGB=180°-45°=135°,

・・•Z-AFH=乙EGH,

：.EH=AH,

-EF=AD,FH=DH,

•••△EHFwaAHD(SSS),

故②正确；

(3)•••△EHFWAAHD,

・・・乙EHF=乙AHD,

・•・Z-AHE=乙DHF=90°,

•:AH=EH,

・・・Z.AEH=45°,

即乙4EF+4HEF=45。，

•・•Z-HEF=乙HAD,

・・・Z.AEF+乙HAD=45°,

故③正确；

④如图，过点H作MN14D于点M,与BC交于点N,

设EC=FD=FG=x,贝UBE=AF=EG=2x,

1ss

・•・BC=DC=AB=AD=3%,HM=-%,AM=-%,HN=-%,

AH2=(|x)2+(1x)2=yx2,

.SABEH£BE-HN

_8，

故④正确；

故选：A.

①根据正方形的性质证明乙408=45。，进而得△DFG为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质

得4EFH==45°,故①正确；

②根据矩形性质得4F=EB,乙BEF=90°,再证明AAFH=hEGH得EH=AH,进而证明小EHF七4AHD,

故②正确；

③由△EHF34AHD^AEHF=N4HD,怀AH=EH^AAEF+乙HEF=45°,进而得N/4EF+AHAD=45°,

故③正确；

④如图，过点”作MN14。于点M,与8c交于点N,设EC=FO=FG=x,则BE=力尸=EG=2x,BC=

DC=AB=AD=3x,HM=AM=1x,HN=1x,由勾股定理得A”?,再由三角形的面积公式得学理，

222、AAHE

便可判断④的正误，

本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和

梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题.

13.【答案】

【解析】解：在RtAABC中，ZC=90°,BC=12,AC=5,

AB=VAC2+BC2=V52+122=13，

故答案为：,

直接利用正切的定义求解.

本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦的定义是解答本题的关键.

14.【答案】岑

【解析】解：设楼高为x米，

根据题意得，|=粉

解得：X=

故答案为：等

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两

个直角三角形相似.根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解.

本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列

出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

15.【答案】31

【解析】解：•.•四边形4BC。为平行四边形，

ACD//AB.

・•・△DEF~ABAF.

.DF__EF__2

：，~BF=AF=5'

.S“EF_小2_AS&DEF=EF=2

••SRABF_®一五，S△力DF一而一.

设S^DEF=S,贝=与S,S&ADF=3s.

_25_535

S>ABD~S&ADF+S^ABF=2$=~4~S・

・・,四边形ABC。为平行四边形，

__35

^AABD=S^DBC=S・

___35_31

‘S四边形EFBC=S&BDC-S&DEF=S~S=~^~S,

又S=4,

31

'S四边形EFBC=工X4=31.

故答案为：31.

由平行四边形的性质可证明可求得ACEF和AAFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求

得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案.

本题主要考查平行四边形和相似三角形的性质，根据条件找到△。？9和4DBC的关系是解题的关键.

16.【答案】6V-5m

【解析】解：••・斜面坡度为1：2,AC=12m,

・・.BC=6m,

则4B=VAC2+BC2=V122+62=6仁(m).

故答案为：6A/-5m.

根据斜面坡度为1：2,斜坡4B的水平宽度为12米，可得aC=12?n,BC=6m,然后利用勾股定理求出4B的

长度.

本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题.

17.【答案】篇

【解析】解：因为四边形MiCNiP]是正方形，

所以M]P"/BC,P1N1/AC,

所以41=NAPiMi=NB,

故△AM[P[s△P]N[B,

令正方形MiCNiP]的边长为x,

则吐=占，

x6—x

解得%=2,

经检验％=2是原方程的解且符合题意，

故"出=2=3x9.

3

同理可得，M2P2=g=3x(|)2,M3P3=1=3x(|),

所以Mn%=3X(|)n=W-

故答案为：5K.

利用相似依次求出M1P1，M2P2…的长度，根据所发现的规律即可解决问题.

本题考查图案变化的规律，能够借助于相似三角形发现线段MP&为正整数)的长度变化规律是解题的关键.

18.【答案】解：（1）原式=2x?—+

=7-3-y/~3+1

1

=5；

（2）原式=—1+2X浮一行+?+（O

=-1+。+3

=2+>/~2-

【解析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可.

本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

19.【答案】（-7,6）（1,4）或（-1,一4）

【解析】解：（1）所画图形如下所示，其中△4aC1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知坊的

坐标（一7,6）；

故答案为：（—7,6）；

（2）所画图形如下所示，其中A&B2c2即为所求，点4的坐标为（1,4）或（一1,-4）.

故答案为：（1,4）或（—1,一4）.

（1）先找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连结即可；接下来根据平移的规律即可写出点M平移后

的坐标；

（2）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况.

本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点.

20.【答案】解：(1)作CE14B于E,设CE=x,

在中，

RtAACEvtanAAE=2

・•・AE=2%,

AAC=J%2+(2%)2=y]~~Sx>

・••A/-5%=y/~~5^解得％=1,

:.CE=1,AE=2,

在Rt△BCE中，vsinB=

・•・乙B=45°,

「.△BCE为等腰直角三角形，

・・.BE=CE=1,

:.AB=AE+BE—3,

答：的度数为45。，4B的值为3；

(2)・.・CD为中线，

1

・•.BD=^AB=1.5,

・・・DE=BD-BE=1.5-1=0.5,

CF1

・•・tan4CDE=器=白=2,

DE0.5

即taMCDB的值为2.

【解析】(1)作CEJLAB于E,设CE=x,利用的正切可得到4E=2%,则根据勾股定理得到4C=/亏x,

所以=<5,解得x=1,于是得到CE=1,AE=2,接着利用sMB=好得到=45°,则BE=CE=1,

最后计算4E+BE得到4B的长；

(2)利用CD为中线得到BD=g/lB=1.5,则DE=BD-BE=0.5,然后根据正切的定义求解.

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.解决此类

题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义.

21.【答案】(1)证明：・•・是△ABC的角平分线，

・•・/.BAD=Z-EAD,

•・,=ABx4E,

AB_AD

«t.，

ADAE

*'.：△ADE；

(2)解：MABD〜△ADE,zB=64°,zC=42°,

・・・/,ADE=Z.B=64°,Z.BAC=180°-zB-zC=74°,

•.TD是MBC的角平分线，

Z.BAD=*BAC=37°,

•••乙ADB=180°-ZB-ABAD=79°,

•••“DE=180°-4ADB-/.ADE=37°.

【解析】(1)由角平分线的定义可得NBA。=NE4。，由4£)2=4Bx4E得：瑞=禁，即可判定：AABDF

ADE-,

(2)由(1)可得乙4OE=NB,再由三角形的内角和可求得NBAC=74。，由角平分线的定义得/BA。=37。，

则可求得N4DB的度数，从而可求NCDE的度数.

本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件与性质并灵活运用.

22.【答案】解：(1)四边形EBF。是矩形，理由如下：

•••四边形4BCD是菱形，

OA=OC,AD//BC,

・••Z.EAO=乙FCO,

在△AO£1和△C。尸中，

/.EAO=Z.FCO

OA=OC,

/-AOE=(COF

^^AOE^^COFQASAy

OE=OF,

・・•四边形4BCD是菱形，

・•・OB=OD,

・•・四边形E8FD是平行四边形，

•・•EF=BD,

・•・四边形EBFD是矩形；

(2)・.•四边形4BCD是菱形，CD=10,

・•,OC1OD,

・・・(COD=Z.COH+乙DOH=90°,

•・・EF1CD于H,

・♦・乙OHC+乙OHD=90°,

・•・乙OCH+乙COH=9。。,

・•・(COH=乙HOD,

:心OCH〜ADOH,

.CH_OH

'~OH=~HDf

・・・OH2=CH,DH,

vCH：DH=2：3,CH-^DH=CD=10,

23

AC/7=|CD=4,DH=|CD=6,

•••OH=VCHDH=V4x6=2<7.

【解析】(l)A40E三△C0F(4S4),可得OE=OF,根据菱形的性质证明四边形EBF。是平行四边形，再根

据对角线相等的平行四边形是矩形即可解决问题；

(2)证明△OCH-ADOH,可得0肥=CH•DH,然后根据CH：DH=2：3,即可求出。”的长度.

本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理

等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

23.【答案】解：过点。作。E14B,垂足为E,

A

由题意得:

0D—EB=4m,

设AE=xm,则AB=A'B=AE+BE=(x+4)m,

EA'=EB+BA'=(x4-8)m,

在RM40E中，乙4OE=45°,