矩阵的秩及其求法

关于矩阵的秩及其求法21.

k

阶子式定义1

设在A中任取k行k列交叉称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念设，例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为第2页,共22页，2024年2月25日，星期天3设，共有个二阶子式，有个三阶子式。例如而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k

阶子式。第3页,共22页，2024年2月25日，星期天2.

矩阵的秩设，有r

阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1为阶梯形矩阵，求R(B)。解，由于二阶子式不为0，所以R(B)=2.第4页,共22页，2024年2月25日，星期天例2求R(A)。5解：存在一个三阶子式不为0，所以R(A)=3.A没有4阶子式，第5页,共22页，2024年2月25日，星期天6例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。第6页,共22页，2024年2月25日，星期天7如果求a.解或例3

设分析：R（A)<3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。第7页,共22页，2024年2月25日，星期天8则例3A有非零的1阶子式，但A所有的2阶子式都为0，所以R（A）=1舍去K=1。得K=-3。分析：R（A)=3<4,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为零。第8页,共22页，2024年2月25日，星期天92、用初等变换法求矩阵的秩定理1

矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

即则注：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。第二种求矩阵A的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行数，第9页,共22页，2024年2月25日，星期天10例4解R(A)=2

，

求第10页,共22页，2024年2月25日，星期天求矩阵的秩。解所以R（A）=2。例5第11页,共22页，2024年2月25日，星期天12例6第12页,共22页，2024年2月25日，星期天Ex1.求矩阵A

的秩，并求A

的一个最高阶非零子式。解先求A

的秩，对A

作初等行变换化为行阶梯形：故R（A）=3。第13页,共22页，2024年2月25日，星期天再求A

的一个最高阶非零子式。因R（A）=3，知A

的最高阶非零子式为3阶，返回易计算A

的前三行构成的子式因此这个子式便是A

的一个最高阶子式。第14页,共22页，2024年2月25日，星期天15三、满秩矩阵称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A为n阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理2设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵使得第15页,共22页，2024年2月25日，星期天16例7A为满秩方阵。此过程相当于第16页,共22页，2024年2月25日，星期天17关于秩的一些结论（熟记）：规定：零矩阵的秩为0.(1)

根据行列式的性质，(2)A为m×n矩阵,0≤R(A)≤min{m,n}.定理3

R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。设A是矩阵，B是矩阵，定理4推论1如果AB=0则推论2

如果R(A)=n,AB=0则B=0。推论3

若A,B均为

矩阵，则第17页,共22页，2024年2月25日，星期天18设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n证：R（A+E）+R（E-A）≥R[(A+E)-(A-E)]=R（2E）=n∴

R（A+E）+R（A-E）≥n例8推论3

若A,B均为

矩阵，则第18页,共22页，2024年2月25日，星期天19作业P109123第19页,共22页，2024年2月25日，星期天性质1证