2024年高考数学复习：19 立体几何中的轨迹问题(解析版)

19立体几何中轨迹问题

目录

一、热点题型归纳...............................................................................1

【题型一】由动点保持平行求轨迹............................................................1

【题型二】由动点保持垂直求轨迹............................................................4

【题型三】由动点保持等距（或定长）求轨迹.................................................9

【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹.................................................12

【题型五】投影求轨迹......................................................................16

【题型七】翻折与动点求轨迹...............................................................19

二、最新模考题组练............................................................................22

【题型一】由动点保持平行性求轨迹

【典例分析】

如图，在边长为a的正方体A8CD-A1B1GO1中，E、尸、G、H.N分别是CG、GDi,DDi.

CD、3c的中点，”在四边形E尸G”边上及其内部运动，若MN〃面则点M轨迹

的长度是（）

【答案】D

【分析】

连接G”、HN,有GH〃BAi,HN//BD,证得面4山。〃面GHV,由己知得点M须在线段

G”上运动，即满足条件，由此可得选项.

【详解】

解：连接GH、HN、GN,..•在边长为a的正方体ABCZK4bBicid中，E、F、G、”分别是

CG、GA、DDi.C。的中点，N是2C的中点，

则GH〃B4,HN//BD,又GH.面AB。，BAiu面A/。，所以GH〃面4BD,同理可证

得NH〃面AiBD,

又GHcHN=H,...面〃面G//M

又：点M在四边形EFGH上及其内部运动，〃面A\BD,

则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH—a,则点M轨迹的长度是巫

22

故选:

【提分秘籍】

基本规律

1.线面平行转化为面面平行得轨迹

2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹

【变式演练】

1.在三棱台中，点。在A声上，且叫//8。，点M是三角形ABC内（含边

界）的一个动点，且有平面瓦亚//平面AACG，则动点M的轨迹是（）

A.三角形A与G边界的一部分B.一个点

C.线段的一部分D.圆的一部分

【答案】C

【分析】

过。作DE//AG交于E,连接班，证明平面加见//平面A41GC,得MeDE,即得

结论.

【详解】

如图，过。作。口/4G交片G于E，连接班，

BD//AA,,800平面441GC,44,u平面A41clC,所以8。//平面A41GC,

同理DEV/平面A41clC,又BDcDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以平面3DE〃平面A41c0,所以MeDE,（M不与。重合，否则没有平面BDM）,

2.已知正方体ABCD-A旦G2的棱长为2,E、/分别是棱AA、AR的中点，点P为底面

ABC。内（包括边界）的一动点，若直线2P与平面3历无公共点，则点尸的轨迹长度为

（）

A.V2+1B.非C.V2+—D.76

2

【答案】B

【分析】

以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设

点P（a,80）,计算出平面3所的一个法向量质的坐标，由已知条件得出机=0,可得

出。、b所满足的等式，求出点P的轨迹与线段AD、的交点坐标，即可求得结果.

【详解】

以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直

角坐标系，

则5(2,2,0)、£(2,0,1),尸(1,0,2)、2(0,0,2),设点P(a,瓦0),

UUL

BE=(0,-2,1),跖=(-1,0,1),设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),

m-BE=-2y+z=0”

由*八，取z=2可得加=（2,1,2）,

m-EF=—x+z=0

RP=（a,b,-2）,由题意可知，RP〃平面BEF,则。尸〃2=24+6-4=0,

令6=0,可得。=2；令6=2,可得。=1.

所以，点户的轨迹交线段AD于点A（2,0,0）,交线段的中点M（l,2,0）,

所以，点P的轨迹长度为|AM|=J（2-:+（0-2）2=6

故选：B.

3.在棱长为2的正方体ABCD-ABGR中，点E,F分别是棱£，，的中点，尸是上

底面AMG2内一点（含边界），若AP//平面BOEF,则尸点的轨迹长为（）

A.1B.V2C.2D.272

【答案】B

【分析】

由分别取棱4用、42的中点M、M连接朋N,由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而

可计算其长度.

【详解】

如图所示，分别取棱4月、4自的中点M、N,连接"N,连接与已，

「MME、/为所在棱的中点，，MN//42，EF//B.D,,J.MNUEF,

又平面BOEREFC=¥®BDEF,MZV//平面BDEF,

连接NF,由N尸〃A4,NF=g,AtBt//AB,=AB,可得NF//AB,NF=AB,

则四边形ANEB为平行四边形，则4V//FB,

而4Vz平面8DEEFBu平面瓦汨/，则AN〃平面BDEF

又ANNM=N,：.平面AMN〃平面BDEF.

又P是上底面内一点，且AP〃平面BOE区

:.P点在线段MN上.又MN=；BR,：.P点的轨迹长为行.

【题型二】动点保持垂直性求轨迹

【典例分析】

在正方体ABCO-ABC。中，。是正方形与BCG内的动点，A21BC,,则。点的轨迹是

()

A.点4B.线段30C.线段4GD.平面48Cq

【答案】B

【分析】

如图，连接4C,证明BCjgQ,又即得解.

【详解】

6______________fl

A1

口,1------产

如图，连接AC,

因为3CJAQ，3CJA4，A。44=4,4。，4耳匚平面44。,所以5£，平面4耳。，又

与。匚平面4百。，

所以Bq，与Q,又3G，.所以点。在线段B.C上.故选：B

【提分秘籍】

基本规律

1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹

2.利用空间坐标运算求轨迹

3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹

【变式演练】

1.在正方体48皿-4月£2中，点尸在侧面BCG耳及其边界上运动，且保持APL8A,则

动点尸的轨迹为（）

A.线段*B.线段g

C.8用的中点与CG的中点连成的线段D.3C的中点与耳G的中点连成的线段

【答案】A

【分析】

利用直线与平面垂直的判定可得面AC4,又点尸在侧面8CG4及其边界上运动，并且

总是保持AP与B/垂直，得到点p的轨迹为面ACBt与面8CG用的交线.

【详解】

如图，连接AC,ABX,B]C,在正方体A8C£>-A4CQ中，有瓦”平面ACB-

又点尸在侧面BCgB,及其边界上运动，

•••故点P的轨迹为平面ACBi与平面BCG用的交线段C4.故选：A.

2.在棱长为1的正方体A8C。-ABG2中，M,N分别为班九4G的中点，点尸在正方

体的表面上运动，且满足给出下列说法：

①点尸可以是棱B耳的中点；

②线段拉尸的最大值为

4

③点P的轨迹是正方形；

④点尸轨迹的长度为2+石.

其中所有正确说法的序号是.

【答案】②④

【分析】

以。为坐标原点，分别以ZM,DC,OR为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出MP

的坐标，从而得到“尸的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P不可能是棱3月

的中点，从而判断选项①，又EF=GH=1,EH=FG=—,可判断选项③和选项④.

2

【详解】

解：在正方体ABCO-ABCA中，以D为坐标原点，0G为x轴，y轴，

•••该正方体的棱长为1,M,N分别为BQ,gG的中点，

.•.D(0,0,0),MI),C(O,I,O)

/.C2V=Q,0,lj,

设P(x,y,z),则〃尸=卜一：,〉一；,2-31,

VMPA.CN,=即2x+4z—3=0

13

当％=1时，z=—,当x=0时，z=—,

44

取《1,0,1）小臼，G（0*）,《0,0京，

连结EF,FG,GH,HE,

则EF=GH=（0,1,0）,EH=FG=1-1,0.；；

，四边形EFG/f为矩形，则EF.CN=0，EHCN=0,

即EF_LCV,EHLCN,

又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线,

CNJ_平面EFGH,

又叫4，另，MG=一

为EG的中点，则Mw平面跖GH,

为使MP^aV,必有点Pe平面EFG”，

又点尸在正方体表面上运动，，点P的轨迹为四边形EFGH,

因此点P不可能是棱B片的中点，故选项①错误；

又EF=GH=\,EH=FG=—,

2

EF^EH,则点尸的轨迹不是正方形且矩形£FGH周长为2+2x@=2+右,

2

故选项③错误，选项④正确；

...CN=g,0,1),MP=^x-^y-^z-^,

又MP1CN,则;[x—；)+z—；=0,即2x+4z—3=0,

3一

・・・X=7-2Z,点尸在正方体表面运动,

2

313

则7—2z«l,

244

133

故当z=:或z==,y=0或1,MP取得最大值为1,故②正确.

444

故答案为：②④.

3.如图，在正方体ABC。-A4G2中，E是棱CG的中点，尸是侧面8CC向内的动点，且A/

与平面RAE的垂线垂直，则下列说法不正确的是()

A.A/与不可能平行

B.4尸与BE是异面直线

C.点厂的轨迹是一条线段

D.三棱锥尸-48口的体积为定值

【答案】A

【分析】

设平面RAE与直线交于G,连接AG,EG,则G为BC的中点，分别取用8,与Q的

中点M,N,连接4加，MN,AN,证明平面〃平面RAE,即可分析选项ABC

的正误；再由MN//EG,得点F到平面RAE的距离为定值，可得三棱锥尸-ABR的体积

为定值判断D.

【详解】

解：设平面DAE与直线3c交于G,连接AG,EG,

则G为3C的中点，分别取用8,的中点M,N,

连接AM,MN,AN,

如图，,:&MIRE,4〃巨平面D/E,£＞或匚平面。仙£,

AM〃平面RAE,同理可得MN〃平面RAE,

又AM、MN是平面AMN内的两条相交直线，

平面AMN〃平面RAE,而AF〃平面〃AE,A/u平面AMN,

得点厂的轨迹为一条线段，故C正确；

并由此可知，当尸与“重合时，吊尸与2E平行，故A错误；

•.•平面AMN〃平面RAE,BE和平面相交，.••&/与BE是异面直线，故B正确；

•：MNIIEG,则点/到平面QAE的距离为定值，，三棱锥尸-ABQ的体积为定值，故D

正确.

【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹

【典例分析】

已知正方体ABC0-A181C101的棱长为1,尸为底面A3CD内一点，若产到棱C。，41距

离相等的点，则点P的轨迹是（）

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

【答案】D

【分析】

以D为坐标原点建立空间直角坐标系。一个z,求出点P的轨迹方程即可判断.

【详解】

如图示，过尸作PELAB与E,过尸作PA。于R过尸作尸G〃AA交4。于G,连结

PG,由题意可知PE=PG

以。为坐标原点建立空间直角坐标系。一个z,设尸（x,y,O）,由PE=PG得:

"尤|W+F,平方得：（k-炉-9句即点尸的轨迹是双曲线故选：口.

【提分秘籍】

基本规律

1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识

求解轨迹

2.利用空间坐标计算求轨迹

【变式演练】

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAO为正三角形，底面A3CD为正方形，侧面

底面ABCD,M为正方形A3CD内（包括边界）的一个动点，且满足MP=MC.则点M在

正方形A5CD内的轨迹为（）

【答案】A

【分析】

如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设M（x,y,O）,正方形A3Q）的边长为。，

求出MC,MP的坐标，利用|MP|=|MC|可得x与>的关系，即可求解.

【详解】

如图，以O为坐标原点，DA,0c所在的直线分别为X,y轴建立如图所示的空间直角坐

标系，设正方形ABCD的边长为。，M（x,y,o）,则OWxVa,0<y<a,P:0,^~,

C（O,a,O）,则pWC卜62+5_才,W=+-由得

x=2y,

所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y=^x（O<x<a）,

故选：A.

2.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A'3'C'D中，E、/分别是A£>、A77的中点，长为2

的线段MN的一个端点M在线段E尸上运动，另一个端点N在底面A'3'CQ'上运动，则线

段MN的中点尸的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）

【答案】D

【分析】

连接PF、NF,分析得出FP=1,可知点尸的轨迹是以点尸为球心，半径长为1的球面，作

出图形，结合球体的体积公式可求得结果.

【详解】

连接尸尸、NF,因为AD=AD,且E、尸分别为AD、HD的中点,

故AE//AP且AE=AN,

所以，四边形为平行四边形，故良〃44'且所=44'=4,

A4'_L平面AB'C'D',则EF_L平面AB'C'D',

因为TWu平面A3'CZ>',所以，EFYFN,

.尸为MV的中点，HFP=^MN=1,

所以，点尸的轨迹是以点尸为球心，半径长为1的球面，如下图所示：

所以，线段的中点P的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球尸的。，

4

1Ajr

故所求几何体的体积为丫=：X彳/xF=

故选：D.

3.四棱锥P-0A3C中，底面043c是正方形，0P_L0A,OA=OP=a.。是棱0P上的一

动点，E是正方形。43c内一动点，OE的中点为。，当OE=a时，。的轨迹是球面的一

部分，其表面积为3%，则a的值是（）

A.273B.2A/6C.376D.6

【答案】B

【分析】

由题意结合选项可特殊化处理，即取0P与底面垂直，求得。的轨迹，结合球的表面积求

解.

【详解】

解：不妨令OPLOC,则。底面。4BC,

如图,

p

・.・。是OP上的动点，・・・OD_L底面。4BC,可得OD_LOE,

又。为DE的中点，..•。。=:。5=：。，即。的轨迹是以。为球心，以:。为半径的:球

222o

面，

其表面积为S=』x4;rX'^—=3"，得。=2A/^.故选：B.

84

【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹

【典例分析】

正方体ABCD-A旦GR中，M,N分别为AB,4月的中点，尸是边GR上的一个点（包

括端点），。是平面PMg上一动点，满足直线与直线4V夹角与直线MN与直线N。

的夹角相等，则点。所在轨迹为（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.抛物线或双曲线

【答案】D

【分析】

根据题设分析可知：。点轨迹为以4V为母线，为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其

关于A与反向对称的锥体与平面PM瓦的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成

曲线的性质判断。所在轨迹的形状.

【详解】

由题设，。点轨迹为以⑷V为母线，为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于A片反

向对称的锥体与平面PM瓦的交线，如下图示：

当P是边C|2上移动过程中，只与下方锥体有相交，。点轨迹为抛物线；

当尸是边GR上移动过程中，与上方锥体也有相交，。点轨迹为双曲线；

【提分秘籍】

基本规律

1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面。

2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面

3.利用空间坐标系计算求轨迹

【变式演练】

1.如图，斜线段AB与平面a所成的角为60。，B为斜足,平面«上的动点尸满足ZPAB=30°,

B.抛物线

C.椭圆D.双曲线的一支

【答案】C

【分析】

由题可知点P在以A3为轴的圆锥的侧面上，再结合条件可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆

定义，即得.

【详解】

用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥

的一条母线平行时，得到抛物线.

此题中平面a上的动点P满足ZPAB=30°,可理解为尸在以为轴的圆锥的侧面上，

再由斜线段与平面a所成的角为60。，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.

故可知动点尸的轨迹是椭圆.

故选：C.

2.如图所示，A2CD-ABIGR为长方体，且A8=3C=2,M=4,点尸为平面AgCQ上一

动点，若NPBQ=ZBQC,则P点的轨迹为（）

A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.圆

【答案】B

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算和轨迹方程思想求得P的轨迹方程，进而根

据方程判定轨迹类型.

【详解】

如图，建立直角坐标系，则5（0,。,4）6（0,2,0）,忸£卜而不至=亚中=26.

设P（x,y,O）,则向量3尸=（x,y,T）,向量=（0,2,T）,

BP*BG2y+16CQ42

cos/PBC[=------：———=..)---=----=-T==—

|-+9+16次+(_4)2g2小5

；.(y+8)=4(x?+y2+16),即4f+3y?—16y=0,4x?+3(y—,

=i,这方程表示的轨迹是平面A4G2上的椭圆,故选：B.

39

3.在长方体ABCO-ABCD中，AB=AD=6,例=2,M为棱8c的中点，动点尸满足

ZAPD=ZCPM,则点尸的轨迹与长方体的侧面DCCR的交线长等于.

【答案】y

【分析】

由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面。CCQ1内建系，求出尸的轨迹

方程，确定点尸的轨迹与长方体的面DCG2的交线，进而求得交线长.

【详解】

如下图所示：

当P在面。CCQ］内时，AD_L面。CCQ,CMl^DCQD^

又ZAPD=NMPC,在RtPDA与RtPCM中，VAD=6,则MC=3,

ADMC,63

tanZAPD=——=tanZMPC=——,则n——二——,即PD=2PC.

PDPCPDPC

在平面OCG2中，以OC所在直线为x轴，以OC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标

系，则。(-3,0),C(3,o),

设尸（x,y）,由PD=2PC,得J（x+3y+V=2•一3『+/,

整理得：X2-10X+/+9=0,即（无一5『+_/=16.

点尸的轨迹是以网5,0）为圆心，半径为4的圆.

设圆厂与面DCQ2的交点为E、M,作EK垂直x轴于点K,如图,

则sinNEFK=^=2=L：/.AEFK=-：

EF426

万x4—2万

故点P的轨迹与长方体的面的交线为劣弧ME,所以劣弧ME的长为一々".故

答案为：

【题型五】投影求轨迹

【典例分析】

1822年，比利时数学家O即曲历z利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥,

可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义

的统一性.在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形

成椭圆.这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面.如图，在地面的某个占A

正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得AA与小球相切.若AA=5,小球半径为2,

则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）

A

2

D.-

5

【答案】A

【分析】

设44=工，从而可得4^=5A4=%+2,44=%+3,利用勾股定理可得x=10,再由

离心率的定义即可求解.

【详解】

在MAA]4中，设46=兀，/.DA^=x

AAj=5,A4=%+2,AA^=x+3,52+(x+2)2=(%+3)2,

c2

."=10,，长轴长44=2。=12,a=6,c=6—2=4则离心率e=—=一.故选：A

a3

【提分秘籍】

基本规律

1.球的非正投影，可能是椭圆面

2.多面体的投影，多为多边形。

【变式演练】

1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为。'，在平行光线的照射下，其投影的

边缘轨迹为椭圆C.如图，椭圆中心为。，球与地面的接触点为E,OE=4.若光线与地面

所成角为0,椭圆的离心率e=.

4

【答案】I

【分析】

根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长6,再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得

椭圆C的长轴长2a而得解.

【详解】

连接OO',则NO'OE=e,因为O'E=3,OE=4,如图:

,_________,_____o'p3

所以00=」0石2+0石2=132+42=5,所以sine=9=y

在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R,即6=3,

过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图:

椭圆的长轴长2a是AC,过A向BC做垂线，垂足是B,则，O'O,，AC,

3AR

由题意得：AB=2R=6sinZACB=sin3=-,又sin/AC3=—,

f5AC

AB3

贝ij——=一AC—109即2a=10,Q=5,

AC5

所以椭圆的离心率为£=£=至五=叵三9=3.故答案为：I

aa555

【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）

【典例分析】

如图，将四边形ABCO中，ADC沿着AC翻折到则翻折过程中线段中点M的

轨迹是（）

A.椭圆的一段B.抛物线的一段

C.双曲线的一段D.一段圆弧

【答案】D

【分析】

过点。作AC的垂线，垂足为歹，过点点3作AC的垂线，垂足为E,连接。28尸，再分

别分析翻折前、后的变化量与不变量，在翻折后的图形中取BE中点。，进而可得答案.

【详解】

解：在四边形A3C。中，过点。作AC的垂线，垂足为尸，过点点8作AC的垂线，垂足为

E,连接£＞耳8尸，如图1,

所以当四边形ABCD确定时，DEF和班尸三边长度均为定值，

当&ADC沿着AC翻折到ADC,形成如图2的几何体，并取8E中点0,连接Q0,

由于在翻折过程中，DE=RE,所以由中位线定理可得为定值，

所以线段DB中点M的轨迹是以防中点。为圆心的圆弧上的部分.故选：D

【提分秘籍】

基本规律

L翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹

2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹

3.可以利用空间坐标运算求轨迹

【变式演练】

1.已知△ABC的边长都为2,在边48上任取一点D,沿CD将ABCD折起，使平面BCD±

平面ACD.在平面内过点3作5尸，平面AC。，垂足为P,那么随着点。的变化，

点P的轨迹长度为（）

【答案】C

【分析】

根据题意，先确定点P轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可.

【详解】

由题意，在平面BCD内作8。_LCO,交CD于Q,因为平面BCDJ_平面AC。，平面BCD

与平面AC£）交于C£）,所以8。_1_平面AC£）,又平面ACZ）,所以尸，。两点重合，于是

随着点。的变化，3尸，8始终成立，可得在平面ABC中，2PLCP始终成立，即得点P

7T

的轨迹是以BC为直径的圆的一部分，由题意知随着点。的变化，/BCD的范围为0,-,

117

可得点尸的轨迹是以BC为直径（半径为1）的圆的即得点P的轨迹长度为2^x12=：%.

故选：C.

2.如图，等腰梯形A3CD中，AB//CD,AB=2,AD=BC=1,AB>CD,沿着AC把丛。。

折起至△AC。，使R在平面ABC上的射影恰好落在A3上.当边长。变化时，点2的轨

迹长度为（）

D,C

【答案】B

【分析】

根据2的射影