2023-2024学年湖南省湘潭市湘乡市名民实验学校高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023.2024学年湖南省湘潭市湘乡市名民实验学校高一（±）入学数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.ax2+b%+c=0B.x2—2%—1

C./+妥=0D.(%-1)(%+2)=1

长方体

3.下列计算，正确的是（）

32523-1

A.Q2.=a6B.小+@3=@5C.(a)=aD.a4-a=a

4.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,sin4B等于()B

3

-

5

AB.

3

-

4

5.若两个相似三角形的周长之比为3：5,则这两个三角形的面积之比为（）

A.3：5B.3：8C.9：15D.9：25

6.二次函数y=—（%—+3的图象的顶点坐标是（）

A.（-1,3）B.（1,3）C.（-1,-3）D.（1,-3）

7.若一一2（m+4）%+25是一个完全平方式，则m的值为（）

A.1或一9B.2C.3D.5或1

8.若数轴上表示数X的点在原点的左边，则化简|3x+，宠I的结果是（）

A.-4xB.4xC.-2.xD.2x

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.若厅不的意义，则实数x的取值范围____.

10.如图，四边形4BC0内接于圆。，若/。=100。，贝吐B的度数是

11.如图，在RM4BC中,Z.C=90°,如果cosA=(,AB=6,那么AC的长为

12.已知一元二次方程/+mx-8=。的一个根为2,则m=.

13.书香相伴，香满校园，某校学生9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，如果每月借阅图书数量

的增长率相同，设这个增长率为生,那么根据题意可列方程为.

14.若点（%,为），（%2，、2）都是反比例函数y=-金图象上的点，并且与>x2>0,则％丫2•（填“>”，

或“=”）

15.某校为了解学生对篮球、足球、排球等三种球类运动的喜爱程度，随机调查了该校50名学生，其中30名

同学喜欢篮球运动.若该校共有800名学生，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢篮球运动的学生有

名.

16.如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c（aH0）与一次函数y2=kx+

m（k*0）的图象相交于点4（-2,7n）和B（8,n）,若y1<y2>则x的取值范围是

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

5x—2>3（%+1）

解不等式组-

18.（本小题6.0分）

嘉淇在用公式法解方程2/一4尤=5时出现了错误，解答过程如下所示:

解方程2/—4x=5

解：a=2,b=-4,c=5（第一步）

.1•b2-4ac=（一4产-4x2x5=-24<0（第二步）

•••原方程无实数根（第三步）

（1）嘉淇的解答过程从第步开始出错的，其错误的原因是；

（2）请你写出此题的正确的求解过程.

19.（本小题6.0分）

某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作.现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术

»凋髀算经少伍经算术微秫亍记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从

中依次抽取一张卡片.

（1）第一学习小组抽到相经算术》的概率是.

（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张（不放回），请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡

片正面写的是仇章算术J）和凋髀算经》的概率.

工

九一网-款

罐

的

♦W算

算一算一年

折

物.ft.盘

20.（本小题6.0分）

已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：4）与电阻R（单位：。）是反比例函数关系，它的

图象如图所示.

（1）求这个反比例函数的解析式；

（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过34,那么用电器可变电阻应控制在什么范围？

21.（本小题6.0分）

如图，D、E分别是AC、4B上的点，连接DE,S.Z.ADE=Z.B,若DE=8,AB=18,AD=6,求BC的长.

22.（本小题6.0分）

2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射,运载火箭从发射点0

处发射，当火箭到达4处时、在地面雷达站C处测得点4的仰角为30。，在地面雷达站B处测得点4的仰角为45。.

已知4c=20km,。、B、C三点在同一条直线上，求8、C两个雷达站之间的距离（结果精确至UO.OlkM,参

考数据C«1.732）.

23.（本小题8.0分）

已知关于x的方程：x2+ax+a-2-0.

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根;

（2）若方程的两个实数根,打，小满足好+以=7,求a的值.

24.（本小题8.0分）

某超市销售一批日用品，每个进价为10元，经市场调研发现：该日用品每个售价为15元时，每天的销售量

为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减少8个，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（个），每天的

销售利润为W（元）.

（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数关系式；

（2）求当销售单价x定为多少元时，每天销售利润W最大？最大利润是多少元？

25.（本小题10.0分）

请阅读材料•，并完成相应的任务：学习了圆的切线以后，某课外小组的同学们发现，过圆外一点可以画圆

的两条切线.如图1,P为。。外一点，过点P可以画。。的两条切线P4PB.切点分别为4B.

［发现结论］智慧小组在操作中发现，沿直线OP将图形对折，可以得出结论：PA=PB,N71PO=NBPO.

［证明结论］启迪小组为了证明上述结论的正确性，做了如下证明：

如图2,连接04和OB.

PA,PB是0。的两条切线，

PA1OA,PB108.（依据）

乙PAO=乙PBO=90°.

任务:

（1）请写出括号中的依据：；

（2）请将上面的证明过程补充完整；

（3）如图2,在。。中，PA,PB为。。的两条切线，4B分别为它们的切点，。。的半径为5,44PB=60。.连

接AB,请直接写出APAB的周长.

图1图2

26.（本小题10.0分）

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+bx+c的图象与x轴交于4、B两点,与y轴交于C(0,3),4点

在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)连接P。、PC,并把APOC沿C。翻折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形？

若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点P运动到什么位置时，使ABPC的面积最大，求出点P的坐标和ABPC的面积最大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：对于4当aHO时，ax2+bx+c=o才是关于x的一元二次方程，不满足题意:

对于8,/-2x-1是关于x的一个代数式，不是关于x的一元二次方程，不满足题意；

对于C,/+妥=。是分式方程，不是关于％的一元二次方程，不满足题意；

对于D,(x-l)(x+2)=1,即为/+x-3=0,是关于x的一元二次方程，满足题意.

故选：D.

根据一元二次方程的定义逐一判断即可.

本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：正方体的三视图都是正方形，因此4符合题意，

长方体的三视图虽然都是长方形，但大小不相同，因此B不符合题意，

圆锥的主视图、左视图是三角形，而俯视图是圆形的，因此C不符合题意，

圆柱的主视图、左视图是长方形，而俯视图是圆形的，因此0不符合题意.

故选:A.

根据正方体、长方体、圆锥体、圆柱体的三视图的形状进行判断即可.

本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提，属基础题.

3.【答案】D

【解析】解：。2.。3=。5,故A错误；

a2+a3a5,故B错误；

(a3)2=a6,故C错误；

a24-a3=a-1,故£>正确.

故选：D.

根据已知条件，结合指数基的运算法则，即可求解.

本题主要考查指数基的运算法则，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：在RtAABC中，4。=90。，AB=10,BC=6,

则4c=VAB2-BC2=8.

故选：D.

根据已知条件，结合勾股定理，先求出ZC,再结合正弦的定义，即可求解.

本题主要考查解三角形，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：由相似三角形的性质可得：面积之比等于对应边之比的平方，也等于相似三角形的周长的平

方之比，

因为两个相似三角形的周长之比为3：5,所以面积之比为9：25.

故选：D.

由题意及相似三角形的性质可得面积之比.

本题考查相似三角形的性质的应用，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由已知可得函数的顶点坐标为(1,3).

故选:B.

利用二次函数的性质即可求解.

本题考查了二次函数的性质，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：若产一2(m+4)x+25是一个完全平方式，

则广—2(m+4)x+25=(x±5)2=x2±10%+25,

所以2(m+4)=±10,解得m=l或—9.

故选：A.

根据配方法即可求解.

本题考查了二次函数的性质，属于基础题.

8.【答案】C

【解析1解：|3x+Vx2\=\3x+|x||=|3x-x|=|2x|=-2%.

故选：C.

根据已知条件，结合指数事的运算法则，以及绝对值的解法，即可求解.

本题主要考查指数幕的运算法则，属于基础题.

9.【答案】(一8,3]

【解析】解：要使仃耳有意义，

则3—X20,解得XW3,

故实数x的取值范围为(—8,3].

故答案为：(一8,3].

根据已知条件，列出不等式，即可求解.

本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题.

10.【答案】80°

【解析】解：由圆内接四边形的性质对角互补可得：48=180。-4。=180。-100。=80。.

故答案为：80°.

由题意及圆内接四边形的性质对角互补可得NB的大小.

本题考查圆内接四边形的性质的应用，属于基础题.

11.【答案】4

【解析】解：在RtUBC中，ZC=90°,cosA=|,AB=6,

.2ACAC

・•・cosA=-=—=—,*'«AC=4.

3AB6

故答案为：4.

直接根据直角三角函数定义计算即可.

本题考查直角三角函数的定义，属于基础题.

12.【答案】2

【解析】解：由题意得4+2m—8=0,

解得巾=2,经检验m=2符合题意.

故答案为：2.

把x=2代入已知方程即可求解

本题主要考查了一元二次方程的根的求解，属于基础题.

13.【答案】500(1+x)2=845

【解析】解：根据题意得500(1+x)2=845.

故答案为：500(1+*)2=845.

利用11月份借阅图书数量=9月份借阅图书数量x(1+每月借阅图书数量的增长率)2,即可列出关于x的一

元二次方程，此题得解.

本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键,

属于基础题.

14.【答案】＞

【解析】解：由反比例函数的性质可知，函数y=-;在(0,+8)上单调递增，

又％1＞打＞°，

则乃＞y2-

故答案为：＞.

由反比例函数的性质直接得解.

本题考查反比例函数的性质，属于基础题.

15.【答案】480

【解析】解：由题意，喜欢篮球运动的学生所占的比例为瑞=|,

若该校共有800名学生，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢篮球运动的学生有800x|=480名.

故答案为：480.

由题意，先求出喜欢篮球运动的学生所占的比例，再用总体数量乘以此比例，即为所求.

本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题.

16.【答案】(一2,8)

【解析】解：由图象可知，若%4丫2,则二次函数图象应该在一次函数图象下面，

所以x的范围为(一2,8).

故答案为：(—2,8).

利用数形结合即可求解.

本题考查了二次函数的图像性质，属于基础题.

(5x—2＞3(x+1)f、5

17.【答案】解：由不等式组13，可得产＞2,故有襄XW8.

^x-l＜7--xL＜82

故原不等式组的解集为弓,8].

【解析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求.

本题主要考查不等式组的解法，求两个集合的交集，属于基础题.

18.【答案】一5没有移项到等号左边

【解析】解：(1)嘉淇的解答过程从第一步开始出错的，其错误的原因是5没有移项到等号左边；

(2)正确的求解过程是：

解方程2/-4%=5,

移项得2--4x-5=0,

因为a=2,b=-4.c=-5,

所以扭-4ac=(-4)2-4x2x(-5)=56>0,

所以原方程有两个不等的实数根，是x=1+午或x=1-三.

(1)根据解一元二次方程的基本步骤判断即可；

(2)写出正确的求解过程即可.

本题考查了一元二次方程的解法与应用问题，是基础题.

19.【答案】

4

【解析】解：(1)•••共有4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，

...第一学习小组抽到伍经算术》的概率是1

4

(2)由题意得，分别记《九章算术》画髀算经少伍经算术小微衔记遗》为4、B、C、D,画树状图得：

<B

C

<D

A

C

<D

A

B

<D

A

B

C

一共有12种等可能性结果，

其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是仇章算术》和调髀算经》的情况有两种，

所以所求概率P=3=：.

1Zo

(1)由概率公式即可得到答案；

(2)由题意得，分别记1f九章算术J),凋髀算经J),伍经算术》，徵衔记遗》为4B、C、D,画出

树状图，根据概率公式即可得到答案.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

20.【答案】解：(1)电流I是电阻R的反比例函数,

设T，

,••图象经过(20,1.8),

...1.8=袅解得：k=1.8x20=36,

・•・这个反比例函数的解析式为/=v.

⑵「Y3,/=y.

•••^<3,解得：R>12,

即用电器可变电阻应控制在12欧以上的范围.

【解析】(1)根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可：

(2)解不等式，求出R的范围即可.

本题考查了反比例解析式的求解及应用，是基础题.

21.【答案】解：4ADE=4B,=

则△

.ADDE

+故而=而‘

DE=8,AB=18,AD=6,

则白=白，解得BC=24.

ioDC

【解析】根据已知条件，结合相似三角形的性质，即可求解.

本题主要考查三角形的性质，属于基础题.

22.【答案】解:已知4c=20km,

又“CO=30°,

则AO=20s讥30°=10km,OC=20cos30°=lO^km,

又乙ABO=45°,

则。B=AO=10km,

则BC=OC-OB=10O-10«7.32km，

即B、C两个雷达站之间的距离为7.32km.

【解析】先阅读题意，然后结合三角函数的定义求解即可.

本题考查了三角函数的定义，重点考查了阅读理解能力，属基础题.

23.【答案】(1)证明：A=a2—4(a—2)=a2—4a+8=(a-2)2+4>4,

故该方程都有两个不相等的实数根；

(2)解：由题意得X]+刀2=-a,—a-2,

22

则xg+x：=7=(%1+x2)—2x62=a—2a+4,

所以a2-2a-3=0,

故a=3或a=-1.

【解析】(1)由已知结合二次方程根的存在条件即可判断；

(2)由已知结合方程的根与系数关系即可求解.

本题主要考查了二次方程根的存在条件的应用，还考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题.

24.【答案】解：(1)由题意得：y=200-8(x-15)=-8x+320,

销售量y与销售单价%之间的函数关系式y=-8x+320；

(2)由题意得：W=(x-10)y=(x-10)(-8x+320)

=-8x2+400%-3200

=-8(x-25)2+1800.

•••-8<0,.•.当x=25时，”有最大值，最大值为1800,

...当销售单价定为25元时，每天销售利润W最大，最大利润是1800元.

【解析】(1)根据该日用品每个售价为15元时，每天的销售量为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减

少8个，列出函数关系即可；

(2)根据利润等于单个日用品的利润乘以销售量求出川与x的关系式，再根据函数的性质解答.

此题考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键.

25.【答案】解：⑴如图2,连接04和OB.

图2

•••PA,PB是。。的两条切线，.。力，PBJ.。8(圆的切线垂直于过切点的半径),

4PAO=乙PBO=90°.

故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；

⑵YPA,PB是。0的两条切线，P41PB1OB,

•••"AO=乙PBO=90°.在Rt△04P和Rt△OBP中，

〔咒=桨Rt△OAP=Rt△OBP(HL),；,PA=PB,乙APO=ABPO.

(04=OB、'

(3)v乙APB=60°,OP平分N4PB,•••AAPO=QAPB=30°,

又•••PA=PB,为等边三角形，PA=PB=4B,

在RtzXOAP中，£.APO=30°,PA=