2022-2023学年河南省开封市五校联考高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年河南省开封市五校联考高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数Zi=-1+3i,Z2=a+63（见b€R）且Z]=Z2，其中i为虚数单位，贝帕。=（）

A.0B.-3C.-2D.-3

A.甲同学最高分与最低分的差距低于30分B.乙同学的成绩一直在上升

C.乙同学六次考试成绩的平均分高于120分D.甲同学六次考试成绩的方差低于乙同

学

3.已知向量方=（1,1）,石=（一2,1），则向量五与方夹角的余弦值为（）

AB-205C3^^D

,io-io-'io'io-

4.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶

.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（）

.3

A.4BZ

5.在AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2我b=4,24则此三角

形（）

A.无解B.有一解C.有两解D.解的个数不确定

6.如图，在正方体48。。一4道16。1中，E为棱DiG的靠近5上

的三等分点，设4E与BB15。的交点为0,则（）

A.三点。1，0,B共线，且。8=2。。1

B.三点5，0,B共线，且0B=30Di

C.三点Di，0,B不共线，且。B=20D]

D.三点Di，0,B不共线，且。B=30Di

7.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，4为建筑物的最高

点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C,D,B在同一直线

上,在C,。两点用测角仪器测得4点的仰角分别是45。和75。,CD=

10，则建筑物AB的高度为（）

A.5c+5

B5（C+Q

-2

C.

n5G+5

■-2-

8.已知五，B是不共线的两个向量，I引=2,a-b=4y/~l，若Vt€R,忸一t即？2,则|方|

的最小值为（）

A.2B.4C.2口D.4c

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.一组数据3,6,8,a,5,9的平均数为6,则对此组数据下列说法正确的是（）

A.极差为6B.中位数为5C.众数为5D.方差为4

10.a,6是两个平面，m,n是两条直线，下列四个命题中正确的命题是（）

A.如果m1ri,mLa,n///?,那么ad.£

B.如果zn_La,n//a,那么mJLn

C.如果戊〃0,mua,那么m〃£

D.如果7?i〃n,a///?,那么m与a所成的角和ri与夕所成的角相等

11.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2

张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A.2张卡片都不是红色B.2张卡片恰有一张蓝色

C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都为绿色

12.已知圆锥SO的母线长为2c,48为底面圆。的一条直径,48=4.用一平行于底面的平面

截圆锥SO,得到截面圆的圆心为01.设圆01的半径为r,点P为圆01上的一个动点，贝1」（）

A.圆锥S。的体积为詈

B.P。的最小值为警

C.若r=l,则圆锥SO】与圆台0］。的体积之比为1：8

D.若。为圆台。10的外接球球心，则圆01的面积为要

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.甲、乙两组共200人，现采取分层随机抽样的方法抽取40人的样本进行问卷调查，若样

本中有16人来自甲组，则乙组的人数为.

14.在△ABC中，AB=C,BC=H/ABC=90。，将△4BC绕直线BC旋转一周，所形成

的几何体的表面积为.

15.如图，在正三棱柱—中，44i=2，1,4B=

线与直线&C所成角的正切值为

16.如图，在RM40C中，AO=C0=3,圆。为单位圆.

（1）若点P在圆。上，/.AOP=60°,则AP=.

（2）若点「在440C与圆。的公共部分的;圆弧上运动，则战•正的

取值范围为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知?n6R,复数z=m2—m-64-（m2—11m4-24）i（i是虚数单位）.

（1）若z是纯虚数，求m的值：

（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.

18.（本小题12.0分）

如图1,四边形4BCD是边长为2的正方形，将沿"折叠，使点D至胭点E的位置（如图2）,

且=V-6.

(1)求证：4clEB；

(2)求二面角E-AC-B的大小.

图1处

19.(本小题12.0分)

某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后

可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将

他们按所打分数分成以下几组：第一组［0,20),第二组［20,40),第三组［40,60),第四组［60,80),

第五组［80,100］,得到频率分布直方图如图所示.

(1)估计所打分数的众数，平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

(2)该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之

后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.

20.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱4BC-力中，4411平面4BC,是等边三角形，D,E,F分别是

棱&G，AC,BC的中点.

Q)证明：平面C】EF；

(2)若244i=3AB=3,求三棱锥A-QDE的体积.

AE

21.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角a,B,C的对边分别是a,b,c,点D在BC边上，4D是角平分线，sin2C+

sin2B+sinC-sinB=siMa,且AABC的面积为21^.

(1)求4的大小及荏.前的值；

(2)若c=4,求BD的长.

22.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是矩形，PA=AD=4,4B=2.M是棱PD上一点,

且CM=2C,AM_L平面PM

(1)证明：平面P4B_L平面ABC。；

(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：3、

Zi=-1+3i,z2=a+bi=a-bi,z1=z?

则｛:，匚;解得a=-l,b=-3,

故b。=(-3)-1=-1.

故选：D.

根据已知条件，结合复数相等的条件，求出a,b,即可求解.

本题主要考查复数相等的条件，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：对于4由图可知，甲同学在第四次考试取得最高分，大约为140分，在二次考试取

得最低分，大约为105分，140-105=35分，故A错误；

对于B,乙同学的成绩在第二、三、四次考试呈下降趋势.故8错误；

对于C,由图可知，乙同学只有第一次考试成绩低于120分，且非常接近120分，第六次考试成绩

明显高于120分，所以其平均分高于120分，故C正确；

对于D,由图可知，甲同学的成绩波动明显大于乙同学，

所以甲同学的考试成绩方差大于乙同学.故。错误.

故选：C.

根据统计图中的信息，逐个分析各个选项即可.

本题主要考查了统计图的应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】W：va=(1,1),K=(-2,1)»

,一W、

•••cos<a,b>=_aS-=--=1~^===—<1—0•

|a||b|>T2X\T510

故选：B.

根据向量区另的坐标即可求出方•邑|菊和|3|的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cosV

a,b>的值.

本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量夹角的余弦公式,

考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：假设两种玩偶分别记为4B,则买3个盲盒，所有的情况为AAA,BBB,AAB,ABA,

BAA,BBA,BAB,ABB,共八种，

则他集齐2种玩偶的概率为J=p

o4

故选：A.

根据列举法列出所有情况，再根据古典概型概率公式，计算即可.

本题考查古典概型概率公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由a=2，7,b=4,4=3

O

结合正弦定理可得罪=焉

6

可得sinB—=¥<1»

ZVZZ

又2c<4,即有4<8,

而4为锐角，所以B有两解,

故三角形有两解.

故选：C.

由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得结论.

本题考查三角形的正弦定理和应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：如图:

连接4Di，BCi，

利用公理2可直接证得，

并且由ZW/4B且=^AB,

•■。£\=gB0,

0,B三点共线，

月.08=3。%

故选：B.

连接AD1，BG利用公理2可直接证得，并且由DiM〃/1B可得1：2,从而求出结果；

本题考查了三点共线问题，也考查了逻辑推理能力与空间想象能力的应用问题，是综合性题目.

7.【答案】A

【解析】解：在AaBC中，^BDA=75°,^BCA=45°,CD=10,/.CDA=180°-75°=105°,

"40=45。-15。=30。，

Arrr\AC10____

由正弦定理可得而荷=即sin(45，+60。)=1，［AC=5(，2+V-6)

Rt△4BC中，AB=AC-sin45°=5(>f2+<6)x殍=5(1+C),

故建筑物的高度为：5+5<3.

故选：/.

根据题意求解4czM,Z.CAD,进而利用正弦定理求得4C,进而求得4E,最后根据=ACsin45°,

求得答案.

本题主要考查了解三角形中的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，完成了边角问题的互化，

属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解:由|E—tW|N2,得色一£砌2.4,

即巧产-2tn%+t2m『上%.•.|1|2之-4t2+8<3t+4>

V-4t2+Sy/~3t+4=-4(t-V-3)2+16<16.且对VteR,|下一£:五|22成立，

•，•\b\2>16>可得|方|的最小值为4.

故选：B.

把|方-t矶22两边平方，可得＞-4t2+8，3t+4,利用配方法求出不等式右侧的最大值，

即可求解|南的最小值.

本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查化归与转化思想，是中档题.

9.【答案】ACD

■I匚/AT；3+6+8+a+5+9,

【解析】解：•••一一=6,二。=5r,

故极差为：9-3=6,故A正确；

由中位数=苧=5.5,故B错误；

由众数为5,故C正确；

由S2=1[(3-6)2+(8-6)2+(5-6)2+(9-6)2]=4,故。正确.

故选：ACD.

分别根据平均数，极差，中位数以及众数，方差的定义判断即可.

本题考查了平均数，极差，中位数以及众数，方差的定义，是基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：如果mla,n///?,不能得出al£,故4错误；

如果n〃a,则存在直线，ua,使由m_La,可得m_L，，那么mJLn.故8正确；

如果a〃S，mua,那么zn与，无公共点，则.故C正确

如果m〃n,ajIB，那么m,九与a所成的角和m,n与4所成的角均相等.故。正确；

故选：BCD.

根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案.

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档.

11.【答案】ABD

【解析】解：从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：两张都为红色，两张都为绿色，两张

都为蓝色，1张红色1张绿色，1张红色1张蓝色，1张绿色1张蓝色，共6种，

2张卡片至少有一张红色包含2张卡片都为红色，二者并非互斥事件，故C错误，ABO正确.

故选：ABD.

根据已知条件，结合互斥事件与对立事件的定义，即可求解.

本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由圆锥S。的母线长为2/亏,48为底面圆。的一条直径，48=4.用一平行于底面的平

面截圆锥SO,得到截面圆的圆心为。「

底面圆的半径为2,可得圆锥的高S0=4.

对于A选项：七.=：兀x2?x4=等，所以4正确；

对于B选项：已知POi=r,设点P在底面的投影为匕，则PiP=4-2r,

所以P02=P$2+p】02=(4_2r)2+r2=5(r-|)2+y>y,所以B正确；

对于C选项：当r=l时，SO1=2,所以％0]=呆x1?x2=手

又%0=:兀*22x4=等，所以粤=产户=1：7,所以C错误；

33V010VS0-VS01

对于D选项：若点。是圆台01。的外接球球心，则由「。2=(4-2r)2+N=0^2=%解得「=今

所以5=兀八=骡，所以。正确.

故选：ABD.

求解体积判断4的正误；POi=r,设点P在底面的投影为求解P。的最小值判断8的正误；求

解体积的比值，判断C的正误；求解圆。1的面积，判断。的正误.

本题考查旋转体的应用，外接球的表面积以及几何体的体积的求法，是中档题.

13.【答案】120

【解析】解：甲、乙两组共200人，样本中有16人来自甲组，

则乙组的人数为蟹^x200=120.

故答案为：120.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

14.【答案】(3+3/7)兀

【解析】解：根据题意，在AABC中，AB=H,BC=C/ABC=90。，将△ABC绕直线BC旋

转一周，

得到的几何体为底面半径为，?，高为C的圆锥，

其表面积S=7ty/~3-7-6+兀(，^)2=(34+3)7T.

故答案为：(3+3yJ~2)n-

根据题意，分析可得所得的几何体为底面半径为，方，高为YW的圆锥，由圆锥的表面积公式计算

可得答案.

本题考查圆锥的表面积计算，涉及旋转体的概念，属于基础题.

15.【答案】yJ~3

【解析】解：连接BG交BiC于。点，作尸点为41cl的中点，连接。尸,

则与&C所成的角等于OF与BiC所成的角，

在AOBiF中，BrF=73,0Bx=73,OF=V-3.

所以gOF=枭tangOF=C.

故答案为：y/~3.

连接BCi交BiC于。点，作尸点为&G的中点，连接OF,则与BiC所成的角等于。尸与B]C所成的

角，通过求解三角形，推出结果即可.

本题考查异面直线所成角的求法，是中档题.

16.【答案】V7[1-3，3,-2]

【解析】解：(1)在AAOP中，A0=3,OP=1,Z.AOP=60°,AP=OP-OA，

则|都|=J(OP-OA)2=JOP2+0f-2OA-OP=Jl+9-2x3xlx1=

即AP=C；

(2)法一：PA-PC=(PO+OA)-(PO+OC)=PQ2+P0.(pA+0C)+aA.0C=i+P0.(0A+

OC)=1+\PO\\OA+OC\cos(PO,OA+OC)=1+3^~2cos(PO,OA+OC),

因为〈P。,OA+OC)6[—7r,—^7r],所以cos〈P。,OA+OC)&[—1,—

故两•玩的取值范围为口一3/2,—2].

法二：以0为原点，。4所在直线为y轴，。。所在直线为x轴建立坐标系，

设P(cos6,s讥6),6€[0,刍，4(0,3),C(3,0),

所以西=(—cosO,3—sinOyPC=(3—cosO,—sinO)f

则同•PC=cosd(cosd—3)4-sin9(sin0-3)=cos20+sin20—3cos9—3sin0=1-3(cos6+

sin。)=1—3\/~2sin(0+§,

Vee[0,J,lillje+2G[2,^],...sin(0+Je,1],1-3/Tsin(0+5G[1-3<2,-2],

即为•正e[1-3/^,-2].

故答案为：（1），了；（2）[1-3<7,-2].

⑴根据I市|=J（赤_65）2结合的运算律即可求出4P;

（2）法一：根据福•定=（而+瓦5）.（而+元）=l+3，1cos〈丽，万X+元”结合余弦函数的

性质即可得解

法二：以。为原点，。4所在直线为y轴，OC所在直线为x轴建立坐标系，设P（cos0,s讥。）,0e[0,且，

再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

17.【答案】解：（1）因为z是纯虚数,

所以嚣北尤M解得m=-2；

2

(2)在复平面内z对应的点为(TH?-m-6,m-11m+24),

'm2—m—6<0,—2<m<3,

由题意可得解得一2<mV3,

m2-11m4-24>0m>8或?n<3,

故m的取值范围是（—2,3）.

【解析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解;

（2）根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题.

18.【答案】(1)证明：在图1中连接8。交4C于。，则

所以在图2中，E014C,BOS.AC,因为E。，B0为平面BOE

中的两条相交直线，

所以4cl平面BOE,8£1<=平面8。£1,所以AC1BE.

图1图2

(2)解：由(1)可知，NEOB为二面角E-4C-B的平面角，

在AEOB中，EO=BO=yTi,EB=V-6.

由余弦定理，得cos4EOB==一，因为

Z「XV案ZXVJzI04NEOB47T,

所以"OB=半，所以二面角E-AC-B的大小为？

【解析】(1)连接BD交AC于。，得至IJ2C_LBD,推出E0_L4C,BOA.AC,证明AC1平面BOE,即

可证明AC1BE；

(2)说明NEOB为二面角E-AC-B的平面角，通过求解三角形推出结果即可.

本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，是中档题.

19.【答案】解：(1)由直方图可知，所打分值［60,100］的频率为0.0175X20+0.0150x20=0.65,

所以人数为100x0.65=65(人)，

答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人.

(2)由直方图知，第二、三组的频率分布为0.1和0.2,

则第二、三组人数分布为10人和20人，

所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2,

则第二组有2人，记为A,B；第三组人数有4人，记为a,b,c,d,

从中随机抽取2人的所有情况：AB,Aa,Ab,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,

共15种，

其中，两人来自不同组的情况有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,共8种，

所以两人来自不同组的概率为微，

答：行风监督员来自不同组的概率为蒋.

【解析】(1)由直方图可知，求出分值在［60,100］的频率，根据总人数为100,即可得出答案.

(2)由直方图知第二组和第三组的人数之比为1：2,利用列举法求出6人中抽取2人的基本事件个数,

本题考查频率分布直方图的应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

20.【答案】解：⑴证明：连接BD,由E,F分别是棱4C,BC的中点，可得E/7/AB,

EFC平面ABD,则EF〃平面4BD；

又。是棱B1Q的中点,可得是尸〃DC1,且BF=DG，

可得四边形BFCW为平行四边形，即有G/7/BD,

而GFU平面ABD,则GF〃平面ABD,

由面面平行的判定定理可得平面GEF〃平面4BD,

而AOu平面48。，可得4。〃平面qEF；

(2)连接CD,由E为力C中点，可得匕棱铢4-CME="-：楂锥C-QDE=匕楂锥E-CC1。，

由题意，2441=3AB=3,则5m通=/g•CtD=a

作EG1BC于G,则EG1面BBi/C,且EG=?，即三棱锥E-CG。的高为?，

所以&棱锥4-QDE=|X|XV=25T-

【解析】⑴先证明平面48。〃平面GEF,再由面面平行的性质定理可得平面GEE

(2)由线面垂直的性质和等积法，结合棱锥的体积公式，计算可得所求值.

本题考查空间中线面平行的判定和棱锥的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属

于中档题.

21.【答案】解：(1)vsin2C+sin2B4-sinC-sinB=sin27l,

222

由正弦定理知，c+b+be=a9

即炉+c2—a2=—be,

由余弦定理知cos4=庐+〃-*=—L

2bc2

27r

又46(0,7T),・•・4=

S^ABC=|besinA=\T~3b=2A/-3,

:・b=2,

:.AB-AC=bccosA=—4;

(2)过。作DE,D尸分别垂直于AB,AC,如图所示,

・・・4。为484。角平分线,・・・。£=。/，

11

•••S“ABD=\\AB\'\DE\,S^ACD=|\AC\■\DF\,

•e*SfB。：S^ACD—[48|：\A