计数原理、随机变量及其分布（8大考点）（解析版）

()求解.()4.(2026·广东佛山·一模)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历则样本空间Ω={(a,b(,(a,c(,(a,d(,(a,e(,(b,c(,(b,d(,(b,e(,(c,d(,(c,e(,(d,e({，记事件A表示“其中一个节气是立春”，则A={(a,b(,(a,c(,(a,d(,(a,e({，由古典概型可知P(A 如下关系：P(A|B．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运44则P(AP(BP(A2IAP(A2IB因为P(A2IA，所以P(A2(P(A1IA2(=x=，因为P(A2IB1(==，所以P(A2(P(B1IA2(=x=，对于A，P(A2(=P(A2(P(A1IA2(+P(A2(P(B1IA故A正确；对于B，因为P(B2(=1-P(A故B错误； P(A2(5 P(A2(5对于D，因为P(A1IB故D正确.7.(2025·广东广州·一模)事件B∈A，P(AUB且P(A(=2P(B(，则P．所以P(A因为P(A(=2P(B(，所以P(B(=，P((=1-P(B(=.给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为p(0<p<1)，模型乙回答正确的概率为 P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.85x0.25+0.15x0.75=P(AUB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.25p+0.75(1-p)=0.75-0.5p， 设系统最终输出正确答案的概率为P,，则P,=0.75p+(-0.5p2+0.75p(=-0.5p2+1.5p，9.(2026·广东·一模)在(1-x(4+(1-x(5的展开式中，含x2的项的系数是()A.-4B.4C.-16D.16【详解】对于(1-x(4+(1-x(5的展开式，含x2的项为C(-x)2+C(-x)2=16x2，A.10B.-10C.40D.-40【详解】展开式的通项公式为Tk+1=Cx5-k(-2y(k=C(-2(kx5-kyk,k=0,1,2,…,5，=C×(-2(2x3y2=40x3y2，A.40B.41C.-40D.-411-(x+3(=(x2-1((x+b(，再化简解方程即可求解得到a=b=2.所以可以设x3+ax2+1-(x+3(=(x2-1((x+b(，整理得到x3+ax2-x-2=x3+bx2-x-b，=240.【详解】展开式的通项公式为Tk+1=C(2x(6-k=C26-k-k=C26-k，14.(2026·广东·一模)在(2+x(3+(2+x(4的展开式中，含【分析】根据二项式定理，(a+b(n的通项为Tk+1=C.an-k.bk，把(2+x(3+(2+x(4分成(2+x(3和(2+x(4两部分，分别求其x2项的原式(2+x(3+(2+x(4可分成(2+x(3和(2+x(4两部分：T(即k=2)：T15.(2026·广东华侨·一模)在(xn的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中x2项的系数是 n=64则(x的展开式的通项为Tr+1=C.x6-r.=C.3r.x6-2r，r=0,1,2,…,6，令6-2r=2，得r=2， 来自两个不同主题的抽取方案的种数为(17.(2025·广东广州·一模)已知乘积(a1+a2((b1+b2+b3((c1+c2+c3+…+cn((n∈N,n≥1(展开后共有603(有3项，第三个括号(c1+c2+c3+…+cn(有n项，A.7或-5B.5或-3C.3或-3D.1或-1质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：x=kx1+(7-k)x(-1)=2k-7， 质点最可能移动到的位置坐标为1或-1.第一类有(C-1).A=68种；第二类有(C-C).A=36种；所以共有N=68+36=104种不同的方案.…,gn和2n-1个男生b1,b2,…,b2n-1，其中女生gi(i=1,2,…,n(认识男生bj(j=1,2,…,2i-1(，但不认识法种数为An(m(和Bn(m(．(ⅰ)求An(m(，并证明：当2≤m≤n-1时，An(m(=An-1(m(+(2n-m(An-1(m-1(递推公式，并说(2)(i)根据题意结合排列数和组合数公式求出An(m(，观察An(m(公式的结构特征，证明An(m(=An-1(m(+(2n-m(An-1(m-1(；(ii)先求得Bn(m(的递推关系式，得到An(m(和Bn(m(有相同的递推则P(A1(=P(AP(BP(B因为A12=∅,所以A1B1∩A2B2=∅,即事件A1B1与A2B2互斥，所以所求事件的概率P=P(A1B1∪A2B2(=P(A1(P(B1(+P(A2(P(B2(=×+×=.当2≤m≤n-1时，An-1(m(=(CAn-1(m-1(=(C[(n-1(![2[(n-m(![2.(m-1(!，所以An(mAn-1(m-1(==-.，因为n-m两边同乘以得An(m(=An-1(m(+(2n-m(An-1(m-1(.(ii)先考虑Bn(m(的递推关系式.①当女生gn被选中时，其余m-1队共有Bn-1(m-1(种不同的选法，n可在余下(2n-1(-(m-1(=2n-m个男生中任选一人，有2n-m种选法，因此由乘法计数原理可知，共有(2n-m(Bn-1(m-1(种选法；共有Bn-1(m(种选法；所以当2≤m≤n-1时，Bn(m(=Bn-1(m(+(2n-m(Bn-1(m-1(，当m=n时，由前述分析可得Bn(n(=nBn-1(n-1(，因为An(1(=n2，Bn(1(=1+3+…+(2nn2=An(1(，A2(2(=2=B2(2(，所以An(m(和Bn(m(有相同的递推关系和初始值，所以对任意n∈N*和m=1,2,…,n，均有An(m(=B所以An(m(=(C(2.A， A，，则有P(160<X<200)=P(120<X<160)=0.45，所以P(X>200(=P(X>160(-P(160<X<200)=0.5-0.45=0.05，本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则()A.P(X≤30(=0.5B.P(Y≤40(=P(Y≥30(所以X~N(30,62(，所以P(X≤30(=0.5，A正确；故P(Y≤40(≠P(Y≥30(，B错误；对于C，计算34分钟内不迟到的概率为P(X≤34(>0.5，P(Y≤34(=0.5，因为P(X≤34(>P(Y≤34(，所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确；对于D，计算38分钟内不迟到的概率为P(X≤38(=P(X≤30+8(=P(XP(Y≤38(=P(Y≤34+4(=P(Y≤34+2×2(，因为P(Y≤38(>P(X≤38(，所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确；布N(μ,σ2(，且P(X<14(=，P(X≤18(=．从该流水线上随机抽取4A.μ=16B.P(14≤XC.PD.E(ξ(=3【详解】A选项，由P(X≤18(=，得P(X>18(=1-=，故P(X<14(=P(X>18(，B选项，P(14≤X≤18(=1-P(X>18(-P(XB正确；C选项，由题意得ξ∼B故P(ξ=1(=CC错误；(1)求P(X0=2(；所以P(XP(X所以X2的分布列为 X213P 23 3数学期望为E(XP(X1=2(=P(X0=1(×+P(X0=3(×1=，P(X1=3(=P(X0=2(×=，所以随机变量X1的数学期望为E(X1(=0×+1×+2×+3×=.A包含的基本事件有(2,2(、(-2,-2(、(2i,-2i(、(-2i,2i(共4个，所以P(Aξ=-4所包含的基本事件有：(2,-2i(，(-2i,2(，(2i,-2(，(-2,2i(共4个，ξ=0所包含的基本事件有：(2,2(，(-2,-2(，(-2,2(，(2,-2(，(2i,-2i(，(-2i,2i(，(2i,2i(，(-2i,-2i(，共8个，ξ=4所包含的基本事件有：(2,2i(，(2i,2(，(-2i,-2(，(-2,-2i(共4个，所以Pξ-404P 4 2 4所以E根据题意得P(AP(AP(AP(B|A1(=,P(B|A2(=,P(B|A3(=；P(B(=P(A1(P(B|A1(+P(A2(P(B|A2(+P(A3(P(B|A3(=×+×+×=(2)由题意可知，X的可能取值为-3,1,5,9，则P(X所以X的分布列为：X-3159P13 5所以E(X 30.(2026·广东深圳·一模)将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量Xn为结果中连续出现正面C.P(X6=4(=[P(X3=2([2D.E(Xn【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得P(XB选项通过列出X3的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现P(X6=4(≠[P(X3=2([2，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用Xn≤Yn(正面次数)及期望的单调性证得E(Xn.对于B，P(XP(XP(XP(X则E(XB正确；严格计算：P(XP(XP(XC错误；于是Xn≤Yn，则Yn-Xn≥0，则E(Yn-Xn(≥0，于是E(Xn(，D正确.设育苗成功的种子数量为ζ,求E(ζ)；由题意得P(A)=p,P(BIA(=q，因为P=P=pq=1-P=1-q所以P(X=5)=C(pq)5(1-pq)=6(pq)5-6(pq)6．：f,(t)=6t4(5-6t)．,(t)>0,(t)<0，：f(t)在(0,(上单调递增，在,1(上单调递减，：f(t)的最大值为f则可得P(C)=Cp5(1-p),P(D)=p6，则有P(X=5)=P(C)xq5+P(D)xCq5(1-q)，从而可得P(X=5)=6(pq)5-6(pq)6．：f,(t)=6t4(5-6t)．,(t)>0,(t)<0，：f(t)在(0,(上单调递增，在,1(上单调递减，：f(t)的最大值为f①求X的分布列和数学期望； 则P，由全概率公式P(B)=P(A).P(B|A)+P().P(B|)进行求解．所以X~B得到X的分布列为X012345P1期望为E=np=5xl-则P所以P(B|A)=0，P(B|)=1，则P=P.P+P换门选中汽车的概率是P(B)=，AI机器人射门的命中率为aa<1(，各次射(i)若，求P(A2lA1(和P(A2k+2lA2k+1((k∈N*(；(ii)若P(A2k+2lA2kk∈N*(，求游戏结束时X的数学期望.1-a((2)(i)P(A2lA1(=；P(A2k+2A2k+1(=；(ii)游戏结束时X的数学期望为.(2)(i)利用条件概率公式即可得到答案；(ii)分第故P=2.a.(1-a(.a2=2a3(1-a(；所以P(A2lA1(=P(A可得P(A2kk,P(A2kk+1;P(A2k+1(=P(A2kk；所以P(A2k+2lA2k(ii)P(A2k(=[2.a(1-a([k,P(A2k+2(=[2.a(1-a([k+1，得到P(A2k+2lA2ka(1-a解得a设游戏结束时X=2的概率为P(X=2)，X=-2的概率为P(X=-2)，因为游戏结束时X=2或X=-2，所以P(X=2)+P(X=-2)=1，设P(X=2)=p，则pp(即P根据数学期望公式E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn)，可得E(1)若p (2)E(X(=1(2)记中奖次数为Y，则Y~B(3,(Y(，又X=2Y-3，利用数学期望所以p4(1-p(0+Cp3(1-p(1=C所以E(Y(=np=3x又因为X=Y-(3-Y(=2Y-3，所以E(X(=E(2Y-3(=2E(Y(-3=1；Cpm+1qm-2+C+-21pm+2qm-3+…+C--p2m-1，C-1pmqm-1(1-q2(，所以P2m+1=C--11pm-1qm.p2+C-1pmqm-1(1-q2(+(C+-11pm+1qm-2+C+-21pm+2qm-3+…+C--p2m-1(=C--11pm-1qm.p2+C-1pmqm-1(1-q2(+(P2m-1-C-1pmqm-1(所以P2m+1=P2m-1-C-1pmqm+1+C--11pm+1qm，所以P2m+1-P2m-1=C-1pmqm(p-q(，因为q>p，所以P2m+1<P2m-1，中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第n次操作后甲盒中白球的个数记为Xn,an=P(Xn=1(,bn=P(Xn=2(.(3)求Xn的数学期望.(2)证明见解析故P(XP(XP(Xn=P(Xn=0(，则an+bn+cn=1，所以an+1=cnan+bn,(2(，整理得anan+1，Xn012Pn因此E(Xn(=1.