2023-2024学年广西北京大学南宁附属实验学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西北京大学南宁附属实验学校九年级（上）入

学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.2%+1=0B.%2—3x+1=0C.x2+y=1D.或-1=2

2.一元二次方程2/一：工一3=0的一次项系数是（）

A.2B.1C.D.-3

3.已知关于x的一元二次方程久2一2工+£12-9=0的一个根是0,则a的值是（）

A.4B.3C.-3D.3或一3

4.一元二次方程/+3%+7=0的根的情况是（）

A.无实数根B.有一个实根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

5.若y=（m—2）刀―-2—%+1是二次函数，则m的值是（）

A.4B.2C.-2D.-2或2

6.将抛物线y=3/先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）

A.y=3（x—l）2+2B.y=3（x+l）2—2

C.y=3(%+1)2+2D.y=3(x-l)2-2

7.对于二次函数y=。-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是x=1

C.顶点坐标是（一1,2）D.当％21时，y随x增大而减小

8.三国时期的数学家赵爽在其所著的两股圆方图注》中记载

了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方

程x（x+2）=15,这一过程体现的数学思想（）

A.统计思想B.化归思想C.分类讨论思想D.数形结合思想

9.如表是二次函数y=a/+bx-5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程a/+

法-5=0的一个根的取值范围是（）

Xii.i1.21.31.4

y-i-0.490.040.591.16

A.1.1〜1.2B.1〜1.1C.1.2〜1.3D.1.3〜1.4

10.在同一坐标系中，一次函数y=-mx+1与二次函数y=/+ni的图象可能是（）

11.函数y=一+2万一3（-2WxW2）的最大值和最小值分别是（）

A.4和一3B.—3和一4C.5和一4D.—1和一4

12.二次函数丫=a/+bx的图象如图所示，当一l<x<

m时，y随x的增大而增大，则小的取值范围是（）

A.m>1B

B.-1<m<1

C.m>0D

D.-1<m<2

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=

14.若二次函数y=/一2%+%的图象与％轴只有一个公共点，则/c=

15.已知点在抛物线y=-37+2上，贝肛的值为

16.如图，抛物线y=a/+bx与直线y=?nx+ri相交于点

4（—3,—6）,F（l,—2）,则关于x的不等式a7+bx>mx+n的解

集为.

17.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，

且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店

主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为.

18.如图，在A/WC中，Z.C=90°,AB=10cm,BC=8cm,C

点P从点4沿4C向点C以lcm/s的速度运动，同时点Q从点C沿/

CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过

程中，四边形PABQ的面积最小值为cm2.AB

三、解答题(本大题共3小题，共34.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题12.0分)

解下列方程：

(l)x2+2x-3=0：

(2)x(x—4)=3(x—4).

20.(本小题10.0分)

某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角

度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线.建立如图所示的平面直角坐标系，抛物

线形水柱的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平距离x(单位：m)满足的关系式近似为y=

a(x-h)2+k(a<0).

(1)在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：

水平距离x/m00.511.522.53

竖直高度y/m2.252.812532.81252.251.31250

根据表格中的数据，解答下列问题：

①水管的长度是m；

②求出y与x满足的函数解析式y=a(x-h)2+k(a<0)；

(2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：

①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m,水柱落地时与池中心的距离为心；

②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y=-0.6(x-1.5)2+3.6,水柱落

地时与池中心的距离为弓2.

则比较心与d2的大小关系是:&d?(填或"="或"<”)

21.（本小题12.0分）

已知两个函数，如果对于任意的自变量力这两个函数对应的函数值记为力,外，都有点（％yi）、

（%，、2）关于点（居％）对称，则称这两个函数为关于y=尢的对称函数，例如，%=和无=?%

为关于y=%的对称函数.

（1）判断：①yi=3%和丫2=一%；②%=久+1和%=x—1；③yi=x2+1和刈=——1,

其中为关于y=%的对称函数的是（填序号）；

（2）若y[=3x+2和丫2=依+b（k丰0）为关于y=%的对称函数,求A、b的值.

（3）若yi=Q/+人工+C（Q。0）和丫2=/+ri为关于y=%的对称函数，令卬=丫2-丫1，当函

数w与函数y=x（0<%<2）有且只有一个交点时，求九的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、2x+l=0,不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、尤2-3%+1=0,是一元二次方程，故本选项符合题意；

C、x2+y=l,不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

。、点—1=2,不是一元二次方程，故本选项不符合题意.

故选：B.

根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解.

本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的

最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：一元二次方程2/-：“-3=0的一次项系数是一：，

故选：C.

根据一元二次方程的一般形式，即可解答.

本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概

念是解决本题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：把x=0代入方程/-2x+a?-9=0得：a2-9=0,

•••a=+3.

故选：D.

把x=0代入方程%2-2x+a2-9=0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可.

本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程a?-9=

0是解此题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：••・4=32-4x1x7=-19<0,

.••方程无实数根.

故选：A.

先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断根的情况即可.

2

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=O(a^0)的根与A=b-4ac有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方

程无实数根.

5.【答案】C

【解析】解：Ty=(7n-2)x是关于x的二次函数，

••m2—2=2,且m—240,

•••m=-2.

故选：C.

利用二次函数定义可得：m2一2=2,且m-2力0,再计算出小的值即可.

本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a40)的函数，

叫做二次函数.

6.【答案】B

【解析】解：将抛物线y=3/先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：

y=3(x+l)2—2.

故选：B.

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：；y=(x-1)2+2,

抛物线开口向上，故A不正确；

对称轴为直线x=l,故B正确；

顶点坐标为(L2),故C不正确；

对称轴为直线x=l,当x21时，y随x的增大而增大，故。不正确.

故选:B.

由抛物线表达式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标、及增减性，则可判断四个选项，可求得

答案.

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k(a*

0)中，对称轴为直线％=九，顶点坐标为(h,k).

8.【答案】D

【解析】解：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想.

故选：D.

根据构图的方法解方程，体现数形结合思想.

此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握数学思想方法是解题关键.

9【答案】A

【解析】解：1•,x=1.1时，y=ax2+bx—5=—0.49；x=1.2时，y=ax2+bx-5=0.04；

.•・抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在(1.1,0)和点(1.2,0)之间，

二方程ax?+bx+c=0有一个根在1.1〜1.2之间.

故选:A.

观察表中数据得到抛物线y=ax2+bx-5与x轴的一个交点在(1.1,0)和点(1.2,0)之间，根据抛物

线与x轴的交点问题可得到方程a/+bx-5=0一个根的取值范围.

本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值

即可.

10.【答案】D

【解析】解：••・二次函数为、=/+皿，

•••a=1>0,

•••二次函数的开口方向向上，

排除C选项.

•••一次函数y=-mx+1,

•••b=1>0,

•••一次函数经过y轴正半轴，

••・排除4选项.

当m>0时，则—m<0,

一次函数经过一、二、四象限，

二次函数y=x2+m经过y轴正半轴，

・•・排除B选项.

当m<0时，则一m>0

一次函数经过一、二、三象限，

二次函数y=x2+m经过y轴负半轴，

选项符合题意.

故选：D.

根据一次函数的b=1和二次函数的a=1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正

半轴，从而排除4和C,分情况探讨M的情况，即可求出答案.

本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图

象的关系.

11.【答案】C

【解析】解：ry=/+2x-3(—24xW2),

•1•y=(x+I)2—4,

••・抛物线的对称轴为x=-1,x=-1时y有最小值-4,

•••—2<x<2,

•••x=2时，y=5是最大值.

••・函数的最大值为5,最小值为-4.

故选：C.

先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值.

本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用.

12.【答案】B

【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为x=l,

.,.当x<1时，y随X的增大而增大，

又...当一1<x<m时，y随x的增大而增大，

—1<m<1,

故选:B.

结合函数图象和函数的性质进行判断即可.

本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想和函数的性质是解题关键.

13.【答案】(X-1)2(答案不唯一)

【解析】解：由题意可设y=a(x-h)2+k,

・抛物线的开口向上，并且对称轴为直线x=1,

a>0,/i=1,

可令a-1,k=0,

符合的表达式是y=(%-I)2,

故答案为：(%-1)2(答案不唯一).

此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可.

本题考查了用顶点式求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数中顶点式的性质是

解此题的关键.

14.【答案】1

【解析】解：令-2x+k=0,

••・抛物线与无轴只有一个交点，

4=(一2/一4k=0,

解得上=1，

故答案为：1.

令/-2x+k=0,求Z=0时k的值.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

15.【答案】-1

【解析】解：因为点A在抛物线y=-3/+2的图象上，

所以一3x(-1)2+2=t.

得t=-3+2=-1.

故答案为：-1.

将4点坐标代入y=-3x2+2,计算即可.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键.

16.【答案】一3<x<1

【解析】解：抛物线y=a/+与直线y=巾X+几相交于点4(-3,-6),B(l,-2),

二关于x的不等式a/+bx>mx+n的解集为一3<x<1,

故答案为：—3<x<1.

根据4、8两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可.

本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式

的解集是解此题的关键.

17.【答案】(20-x)(200+8x)=8450

【解析】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60-刀-40=(20-%)元，

每星期可卖出(200+8x)件，

根据题意得:(20-x)(200+8x)=8450.

故答案为：(20-x)(200+8x)=8450.

当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60-x-40=(20-x)元，每星期可卖

出(200+8x)件，利用每星期的销售总利润=每件的销售利润x每星期的销售量，即可得出关于久的

一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

18.【答案】15

【解析】解：在RtA/lBC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,

AC=VAB2-BC2=6cm.

设运动时间为t(0<t<4),则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

*S四边形PABQ=SMBC.SMPQ=^AC-BC~^PC-CQ=|x6x8-^(6-t)x2t=t2-6t+

24=(t-3)2+15,

二当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15.

故答案为15.

在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出4c=6cm,设运动时间为ts(0<t<4),则PC=(6-t)cm,

CQ=2tcm,利用分割图形求面积法可得出S四边癖.BQ=t?-6t+24,利用配方法即可求出四边

形PABQ的面积最小值，此题得解.

本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四形PA%=t2-6t+24

是解题的关键.

19.【答案】解：(1)/+2x—3=0,

(%+3)(%-1)=0,

%4-3=0或％-1=0,

——3,%2=1.

(2)x(%—4)=3(%—4),

x(x—4)—3(%—4)=0,

(%—4)(%—3)=0,

%—4=0或％-3=0,

%1=4,%2=3.

【解析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键.

20.【答案】2.25<

【解析】解：(1)①当％=0时，y=2.25,

.,•水管的长度是2.25m；

故答案为：2.25；

②把x=0,y=2.25；x=1,y=3；x=3,y=0,分别代入y=a(x—九/+k,得：

(ah2+k=2.25

{a(l—h)2+k=3,

1a(3—h)2+k=0

a=-0.75

解得：、h=1,

k=3

2

y=-0.75(x-l)+3；

(2)①•.•不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m,

y=-0.75(x-I)2+3向上平移1个单位，

・•・平移后的解析式为y=-0.75(%一1尸+3+1,即丁=-0.75(%-I)2+4,

当y=0时,-0.75(x-I)2+4=0,

解得X1=g+1,%2=—+1(不合题意，舍去)，

•••皂=V-3+1a3.31；

对于y=-0.6(x—1.5)2+3.6,

当y=0时，-0.6(%-1.5)2+3.6=0,

解得：X[=7~石+1,5,犯=—，%+1-5(不合题意，舍去),

-

d2=A/6+1.5~3.95,

**,d]Vd?,

故答案为：<.

(1)①根据当％=0时，y=2.25即可求解；

②根据待定系数法求解即可；

(2)先求出调试①的抛物线解