山东省郓城第一中学2023-2024学年数学九年级上册期末质量跟踪监视模拟试题含解析

山东省郭城第一中学2023-2024学年数学九上期末质量跟踪监视模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每题4分，共48分)

EF

1.如图，在平行四边形ABC。中，点E是边AD上一点，且A。=3EZ),EC交对角线BD于点F，则而等于()

2.如图，AB是。的直径，AC,CD是Q的两条弦，CDYAB,连接OD,若NC4B=20。，则NBOr)的度

数是()

A.IO0B.20oC.30oD.40°

3.下列说法正确的是().

A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次.其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.

B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

C.天气预报说：明天下雨的概率是50%,所以明天将有一半时间在下雨

D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

4.X=I是关于X的一元一次方程f+办+28=0的解，则为+4匕=()

A.-2B.-3C.4D.-6

5.设抛物线y=6?+。尤+c(αθXo)的顶点为M,与y轴交于N点，连接直线MN,直线MN与坐标轴所围三角形的

面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=I()

A.γ=-3(x-l)2+1B.y=2(x-0.5)(x+1.5)

C.D.y=a2+↑]χ2-4x+2（a为任意常数）

-33

6.如图，已知AE是。的直径,ZB=40o,则ZCAE的度数为（）

B.50°C.60°D.70°

7.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径08=10,水面宽AB=I2,则截面圆心。到水面的距离。。是

A.3B.4C.3√3D.8

8.有5个完全相同的卡片，正面分别写有1,2,3,4,5这5个数字,现把卡片背面朝上，从中随机抽取一个卡片,

其数字是奇数的概率为（）

123

A.1B.-C.D.

555

9.如图，抛物线y=Οr2+⅛x+c的对称轴为X=-1,且过点有下列结论：①6⅛c>0;②0-2Λ+4c>0;

@2a+b=0i④3h+2c>0.其中正确的结论是（）

（D0C.①②D.②④

10.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:

X…-2-1O12•••

y・・.O4664・・・

观察上表，得出下面结论：①抛物线与X轴的一个交点为（3,0）；②函数y=aχ2+bx+C的最大值为6；③抛物线的

对称轴是X=-;④在对称轴左侧，y随X增大而增大.其中正确有（）

,

A.1个B.2个C.3个D.4个

3

11.点A(-3,y,),B(-1,y2)，C(1,y3)都在反比例函数y=--的图象上,则yι,y2,y3的大小关系是()

X

A.yι<y2<yjB.y3<y2Vy1C.y3Vy1Vy2D.y2<y1<y3

12.下列图形中，是中心对称图形的是（

cOd©

二、填空题（每题4分，共24分）

13.比较大小：√101.（填或“V”）

14.如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60Cin,小孔O到像CD的距离是30cm,若物体AB的长为

16cm,则像CD的长是cm.

15.把一袋黑豆中放入红豆10（）粒，搅匀后取出IOO粒豆子，其中红豆5粒，则该袋中约有黑豆_____粒.

16.已知点E是线段AB的黄金分割点,且8£>AE，若AB=2贝!]BE=.

2

17.设Xi,X2是一元二次方程7x-5=x+8的两个根，则xι+x2的值是.

2

18.反比例函数y=—的图象经过（1,j>）,（3,J,）两点，则力yl.（填，"=”或“V”）

X

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图1,在ΔABC中，ACBC,以BC为直径的交AB于点O.

2

(图1)

(1)求证：点。是AB的中点；

(2)如图2,过点。作AC于点E,求证：DE是。的切线.

20.(8分)如图，AB是。O的直径，弦CDJ_AB于点E,G是AC上一动点，AG,DC的延长线交于点F,连接AC,

AD,GC,GD.

(1)求证：ZFGC=ZAGD;

(2)若AD=L

①当AC_LDG,CG=2时，求SinNADG；

②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长.

21.(8分)已知：如图，抛物线＞=0?+笈+6与X轴交于点B(6,0),C(-2,0),与y轴交于点A∙

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点尸是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结24、PB.设APAB的面积为S.点P的横坐标为〃?.

①试求S关于”的函数关系式；

②请说明当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？

③过点尸作X轴的垂线，交线段AB于点。，再过点尸做PE〃*轴交抛物线于点E,连结。E,请问是否存在点P使

△PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.20分)

“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了32

O千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计

运行时间少用16小时.

(1)渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？

(2)专家建议：从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%,以便于有充分时间应对突发事件，这样，

从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值.

23.(10分)如图，在用_ABC中，ZA=90o,AB=12cm,AC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以每秒2cm的

速度移动，点Q沿CA边从点C开始向点A以每秒ICm的速度移动，P、Q同时出发，用t表示移动的时间.

(1)当t为何值时，^QAP为等腰直角三角形？

(2)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与aABC相似?

AD3

24.（10分）如图，在四边形ABCD中，AB±AD,——=-,对角线AC与BD交于点O,AC=10,NABD=NACB,

AB4

点E在CB延长线上，JgLAE=AC.

(1)求证：AAEBSABCO;

(2)当AE〃BD时，求AO的长.

25.(12分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：AABC.求作：菱形DBEC,使菱形的顶

点。落在AC边上.

26.开学初，某文具店销售一款书包，每个成本是50元，销售期间发现：销售单价时10()元时，每天的销售量是50

个，而销售单价每降低2元，每天就可多售出10个，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？要求销

售单价不低于成本，且商家尽量让利给顾客.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：四边形ABC。是平行四边形，AD=3ED,

：.AD//BC,AD=BC=3ED,

：.NEDB=NCBD,NDEF=NBCF,

*EFDE1

1△DFEs/\BFC,»∙,

FCBC3

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题

的关键.

2、D

【分析】连接AD,由AB是。。的直径及CD_LAB可得出弧BC=弧BD,进而可得出NBAD=NBAC,利用圆周角定

理可得出NBOD的度数.

【详解】连接AD,如图所示：

TAB是。O的直径，CD±AB,

，弧BC=弧BD,

ΛZBAD=ZBAC=IOo.

ΛZBOD=2ZBAD=40o,

故选：D.

【点睛】

此题考查了圆周角定理以及垂径定理.此题难度不大，利用圆周角定理求出NBOD的度数是解题的关键.

3、D

【解析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生.

【详解】A.是随机事件，错误；

B.中奖的概率是1%,买IOO张该种彩票不一定会中奖，错误；

C.明天下雨的概率是50%,是说明天下雨的可能性是50%,而不是明天将有一半时间在下雨，错误；

D.正确。

故选D.

【点睛】

本题考查概率的意义，解题的关键是掌握概率的意义.

4、A

【分析】先把x=l代入方程/+以+2。=()得2+2卜=-1,然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值

【详解】将x=l代入方程χ2+αχ+2A=0,

得α+26=-l,2a+4b=2(α+2⅛)=2×(-1)=-2.

故选A.

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键

5、D

【分析】求出各选项中M、N两点的坐标，再求面积S,进行判断即可;

II3

【详解】A选项中，M点坐标为（1,1）,N点坐标为（0,-2）,S=-×l×∣-2-l∣=-×3=-,故A选项不满足;

B选项中，M点坐标为1g,-2N点坐标为(()，—)»5=-×f--j×-2-∣--I=~»故B选项不满足;

22I2J{2)428

11144

C选项中，M点坐标为（2,点N坐标为（0,D,S^-×2×---I=Ix-=-,故选项C不满足;

24

D选项中，M点坐标为（F—，--一+2）,点N坐标为（0,2）,

a^+la^+l

24124

一

X-一=4

22-××

2a+a+2--2l22）2,当a=l时，S=L故选项D满足;

a2+a2+a+j

本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

6、B

【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得NE=NB=40。，再根据直径所对的圆周角是直角得到NACE=90。，最后根据

直角三角形两锐角互余可得结论.

【详解】T在ΘO中，NE与NB所对的弧是AC，

二NE=NB=40。，

TAE是。。的直径，

：.NACE=90。，

二ZAEC=90o-ZE=90o-40o=50o,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角和直角三角形两锐角互余等知识，求出NE=40。，是解此题

的关键.

7、D

【分析】根据垂径定理，OC_LAB,故OC平分AB,由AB=I2,得出BC=6,再结合已知条件和勾股定理，求出OC

即可.

【详解】(W:VOC±AB,AB=12

ΛBC=6

VOB=IO

2222

.∙.OC=yJOB-BC=√10-6=8

故选D.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，能够熟悉定理以及准确的运算是解决本题的关键.

8、D

【分析】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率.

【详解】解：•••从写有数字L2,3,4,5这5张卡片中抽取一张，其中正面数字是奇数的有1、3、5这3种结果，

3

.∙.正面的数字是奇数的概率为M;

故选D.

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数

之比.

9、C

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题.

【详解】由抛物线的开口向下可得：a<0,

根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a,b同号，所以bVO,

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0,

.φ.abc>O,故①正确；

直线x=∙4是抛物线y=aχ2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以・一二・1,可得b=2a,

2a

a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c,

Va<O,

Λ-3a>0,

:∙-3a+4c>0,

即a-2b+4c>0,故②正确；

Vb=2a,a+b+c<O,

Λ2a+b≠0,故③错误；

Vb=2a,a+b+c<O,

1

：•—b+b+cVO,

2

即3b+2cV0,故④错误；

故选：C.

【点睛】

此题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练

运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式.

10、C

【解析】从表中可知，抛物线过(0,6),(1,6),所以可得抛物线的对称轴是x=L,故③正确.当x=-2时，y=0,根据

对称性当抛物线与X轴的另一个交点坐标为X=Lx2+2=3.故①；当x=2时，y=4,所以在对称轴的右侧，随着X增大,

♦

y在减小，所以抛物线开口向下.故其在顶点处取得最大值，应大于6,故②错，④对.选C.

11、C

【解析】将X的值代入函数解析式中求出函数值y即可判断.

【详解】当x=-3时，yι=l,

当X=-I时，y2=3,

当x=l时，y3=-3,

.,.y3<yι<y2

故选：C.

【点睛】

考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

12、D

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称

图形.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

8、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

。、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、>.

【解析】先求出I=囱，再比较即可.

【详解】Vl2=9<10,

.,∙√io>ι.

故答案为>.

【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法.

14、8

【解析】根据相似三角形的性质即可解题.

【详解】解：由小孔成像的特征可知,△OABsaOCD,

由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比，

.*.30:60=CD：16,

解得：CD=8cm.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.

15、1

【分析】先根据取出100粒豆子，其中有红豆5粒，确定取出红豆的概率为5%,然后用100÷5%求出豆子总数,最后

再减去红豆子数即可.

【详解】解：由题意得：取出100粒豆子，红豆的概率为5%,则豆子总数为100÷5%=2000粒，所以该袋中黑豆约

有2000-100=1粒.

故答案为L

【点睛】

本题考查了用频率估计概率，弄清题意、学会用样本估计总体的方法是解答本题的关键.

16、√5-l

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割,

他们的比值岁）叫做黄金比；

【详解】解：•••点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE,

而AB=2,

ΛBE=√5-1;

故答案为：ʌ/ʒ-l:

【点睛】

本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.

1

17、-

7

【解析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系直接求解即可.

【详解】把方程7χZ5=x+8化为一般形式可得7x2-x-13=0,

Vxi,X2是一元二次方程7X2-5=X+8的两个根，

1

.∙.X1+X2=-.

7

故答案是：

【点睛】

hc

主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-2、两根之积等于上是解题的关键.

aa

18、>

【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案.

2

【详解】解：：反比例函数y=—,k=2>o

X

.∙.图象在一、三象限，y随着X的增大而减小

,.∙2<3

二X>J2

故答案是：〉

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，采用的是利用反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系进行的解答.

三、解答题（共78分）

19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（I）连结CD,如图，根据圆周角定理得到NCDB=90。，然后根据等腰三角形的性质易得点D是BC的中点;

（2）连结OD,如图，先证明OD为AABC的中位线，得至（）OD〃AC,由于DEj_AC,贝!）DEJ_OD,于是根据切线

的判断定理得到DE是。O的切线

【详解】（1）连接。C

D

5Γ∙~O~~JC

(国1)

,.∙BC是O的直径

ZBDC=90°

：.CDlAB

：.AC=BC

：.BD=AD

二点。是AB的中点

(2)连接OD

（图2）

•：AC=BC

ʌZA=Zfl

•：OB=OD

：.ZB=ZODB

：.ZA=ZODB

：.ODHAF

工NoDE+/DEF=180。

∙∙∙DELAF

ΛZDEF=90°

/.ZODE=90°

.∙.DE是。的切线

【点睛】

本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆

上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.也考查了等腰三角形的性质、三角形中位线性质.

4

20、（1）证明见解析；（2）①SinNADG=二；②CF=L

【分析】（1）由垂径定理可得CE=DE,CD±AB,由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得NFGC=NADC

=ZACD=ZAGD;

（2）①如图，设AC与GD交于点M,证aGMCs^AMD,设CM=X,则DM=3X,在RtZ^AMD中，通过勾股定

理求出X的值，即可求出AM的长，可求出SinNADG的值；

②S四边彩ADCG=SAADC+SAACG,因为点G是AC上一动点，所以当点G在AC的中点时，^ACG的的底边AC上的高

最大，此时AACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证NGAC=NGCA,NF=NGCA,推出NF=

NGAC,即可得出FC=AC=1.

【详解】证明：（1）VAB是。O的直径，弦CDJ_AB,

ΛCE=DE,CD±AB,

ΛAC=AD,

ΛZADC=ZACD,

•：四边形ADCG是圆内接四边形，

.∙.NADC=NFGC,

VZAGD=ZACD,

：.ZFGC=ZADC=ZACD=NAGD,

.∙.ZFGC=ZAGD;

（2）①如图，设AC与GD交于点M,

,：这G=RG，

.∙.ZGCM=ZADM,

又TNGMC=NAMD,

Λ∆GMC<^∆AMD,

.GC_CM_2_i

**AZ）^DM^6-3,

设CM=X,则DM=3x,

由（1）知，AC=AD,

.∙.AC=1,AM=l-x,

在Rt∆AMD中，

AM2+DM2=AD2,

.∙.(1-x)2+(3x)2=12,

解得，Xi=O(舍去)，X2=∣^,

6_24

ΛAM=1-

5^T

24

AM4

AsinZADG=——

AD5

6

②S四边形ADCG=S^ADC+SAACG,

Y点G是AC上一动点，

，当点G在AC的中点时，AACG的底边AC上的高最大，此时AACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大,

ΛGA=GC,

ΛZGAC=ZGCA,

VZGCD=ZF+ZFGC,

由(1)知，ZFGC=ZACD,且NGCD=NACD+NGCA,

AZF=ZGCA,

AZF=ZGAC,

ΛFC=AC=I.

【点睛】

本题考查的是圆的有关性质、垂径定理、解直角三角形等，熟练掌握圆的有关性质并灵活运用是解题的关键.

21、(1)y=-]f+笈+6；(2)①S=——("L3)?+—，②当m=3时,S有最大值,③点P的坐标为(4,6)或(5-旧,

3√Π-5)∙

【分析】(1)由y=4(x-6)(x+2)=α(χ2-4x-12),贝!j-12a=6,求得a即可；

(2)①过点P作X轴的垂线交AB于点D,先求出AB的表达式y=-x+6,设点尸“2,一^^+2^+6,则点D(m,

1f1∖OOɔɔ

-m+6),然后再表示S=-×PD×OB=3PD=3——ιn2+2m+6+m-6=一二〃2?+9m=——(m-3)2+—即可;

21J222

②由在S=-3(团一3丫+之中，—9<0,故S有最大值；

③4PDE为等腰直角三角形，则PE=PD,然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得IPEl=2m-4,即

-ɪm2+2m+6+m-6=∖2m-4∣求得m即可确定P的坐标.

【详解】解：(1)由抛物线的表达式可化为y=αr2+bx+6=α(x-6)(x+2)=α(χ2-4χ-12),

则-12a=6,解得：a=--,

2

1ʌ

2

故抛物线的表达式为：y=--x+bx+6t

(2)①过点P作X轴的垂线交AB于点D,

由点A(0,6)、B的坐标可得直线AB的表达式为：y=-x+6,

设点P1",一(m2+2m+6∣,则点D(m,-m+6),

222

.∖S=-×PD×OB=3PD=3∖--m+2m+6+m-6∖=--m+9m^--(m-3]+-i

2I2)22'，2

@S=——(m—3)^+――,――<0

2、,22

.∙.当m=3时，S有最大值；

③∙.∙△PDE为等腰直角三角形，

.∙.PE=PD,

:点p[加,-g∕∕+2加+6),函数的对称轴为：x=2,则点E的横坐标为：4-m,

则IPEl=2m-4,

即——m~+2m+6+加-6=∖2m—4∣,

解得：m=4或-2或5+√F7或5-屈(舍去-2和5-如)

1,

当m=4时，m'+2∕M+6=6;

2

当m=5-√F7时，+2m+6=3Λ∕F7-5.

故点P的坐标为(4,6)或(5-如，3√Π-5)∙

【点睛】

本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点，掌握并灵活应

用所学知识是解答本题的关键.

22、(2)2600；(2)2.

【分析】(2)利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了32千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了12千

米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用26小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；

(2)根据题意得出：进而求出即可.

(80+120χi-m¾)(8+ɪw)=1600

【详解】试题解析：(2)设原时速为Xkm∕h,通车后里程为ykm,则有：Q：二X=y，

l(8+16>=320+J

解得：「“=80,

卜：=1600

答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是2600千米；

(2)由题意可得出：，

(80+120)(1-m%)(8+ɪm)=1600

解得：=20,°(不合题意舍去)，

答：m的值为2.

考点：2.一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用.

23、(1)t=2s；(2)f=1.2s或∕=3s.

【分析】(1)利用距离=速度X时间可用含t的式子表示AP、CQ、QA的长，根据QA=AP列方程求出t值即可；

(2)分aQAPs∕^BAC和4QAPs^CAB两种情况，根据相似三角形的性质列方程分别求出t的值即可.

【详解】(1)：点P的速度是每秒2cm,点Q的速度是每秒ICm,

ΛAP=2t,CQ=t,QA=6-t,

∙.∙QA=AP时，AQAP为等腰直角三角形,

：.6—t=2t,

解得：t=2,

.∙.当f=2s时，AQAP为等腰直角三角形.

（2）根据题意，可分为两种情况，

①如图，当AQAPs∆β4c时，0=竺,

ABAC

6-tIt

：.——=一,

126

解得：f=t=L2,

②当AQAPSAC4B,更="

CAAB

.6-t2t

••-----=---9

612

解得：t=3）

综上所述：当f=1.2s或f=3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△钻C相似.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，正确列出关于t的方程式是

解题的关键.

125

24、（1）见解析；（2）—

32

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到NE=NACE,等量代换得到NE=NAAD,根据三角形的内角和和平角的

性质得到㈤B=NOBC,于是得到结论；

（2）过A作AEj-BC与尸，过。作OE_LBC与£,根据平行线的性质得到Nfi=N£>3C,ZEAB=ZABD,推出

OB=OC,求得A尸=