14.3.2公式法（二）完全平方公式（解析版）

公式法（二）完全平方公式知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究知识点一：因式分解-完全平方公式要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．题型一：判断能否利用完全平方公式因式分解【例题1】（2021·湖南长沙·八年级期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答．【详解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合题意；B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合题意；C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合题意；D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．变式训练【变式1-1】（2021·辽宁沈阳·八年级期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（

）A．x2＋2x﹣1 B．x2﹣x＋ C．x2＋xy＋y2 D．9＋x2﹣3x【答案】B【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．【详解】解：A、x2＋2x﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；B、x2﹣x＋＝(x﹣)2，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；C、x2＋xy＋y2不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；D、9＋x2﹣3x不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式：．【变式1-2】（2020·江苏盐城·七年级期中）下列各式中，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（

）A．4x2+8x+1 B．x2-4x+16 C．x2-6xy-9y2 D．【答案】B【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：由所以能直接运用完全平方公式进行因式分解的是，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式1-3】（2022·江苏连云港·七年级期末）下面的多项式中，能因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】完全平方公式的考察，【详解】A、C、D都无法进行因式分解B中，，可进行因式分解故选：B【点睛】本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：，完全平方公式：题型二：使用完全平方公式因式分解【例题2】（2022·山东济南·中考真题）因式分解：______．【答案】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．变式训练【变式2-1】（2021·宁夏银川·一模）分解因式：___________________．【答案】##【分析】运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式2-2】（2021·广东·梅州市学艺中学八年级期中）因式分解：m2-8m+16=________．【答案】（m-4）2【分析】先将原式写成完成平方公式的形式，然后运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：m2-8m+16=m2-8m+42=（m-4）2．故答案是（m-4）2．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．【变式2-3】（2022·吉林四平·八年级期末）因式分解：____________．【答案】【分析】先把括号里边的展开，然后利用公式法因式分解即可．【详解】解：原式===故答案为：【点睛】本题主要考查公式法因式分解，熟练掌握完全平方式是解题的关键．题型三：先提公因式再完全平方公式因式分解【例题3】（2022·河北·高邑县教育局教研室七年级期末）因式分解：．【答案】2x（x﹣2）2【分析】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：＝2x（x－4x＋4）＝2x（x﹣2）2．【点睛】此题考查了乘法公式和因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2021·山东枣庄·八年级阶段练习）因式分解：﹣3ax2+6axy﹣3ay2；【答案】【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式分解即可；（1）解：﹣3ax2+6axy﹣3ay2＝﹣3a（x2﹣2xy+y2）＝；【点睛】本题考查因式分解，用到了提公因式法与公式法，解题的关键是注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．【变式3-2】（2022·山东德州·八年级阶段练习）因式分解：(2)2x3y+4x2y2+2xy3．【答案】2xy(x+y)2【分析】直接提取公因式2xy，再利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式＝2xy(x2+2xy+y2)＝2xy(x+y)2；【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．【变式3-3】（2022·江苏扬州·七年级期中）分解因式：【答案】5b(a－2b)2【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（1）解：原式=5b(a2－4ab+4b2)=5b(a－2b)2【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．题型四：已知能使用完全平方公式因式分解求参数【例题4】（2022·福建漳州·八年级期中）已知能运用完全平方公式因式分解，则的值为（

）A．12 B． C．24 D．【答案】D【分析】根据题意可知，由此即可得到答案．【详解】解：能运用完全平方公式因式分解，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键．变式训练【变式4-1】（2022·广东肇庆·八年级期末）关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是（）A．﹣6 B．±6 C．12 D．±12【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．【详解】解：∵关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，∴ax=±12x．故选：D．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式4-2】（2021·湖南永州·七年级期中）若多项式能因式分解为，则k的值是（

）A．12 B．12 C． D．6【答案】A【分析】根据完全平方公式先确定a，再确定k即可．【详解】解：解：因为多项式能因式分解为，所以a=±6．当a=6时，k=12；当a=-6时，k=-12．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方式．掌握完全平方公式的特点，是解决本题的关键．本题易错，易漏掉k=-12．【变式4-3】（2022·河北唐山·七年级期末）在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（

）嘉琪：添加，陌陌：添加，嘟嘟：添加，A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都不正确【答案】A【分析】利用完全平方公式分解即可．【详解】解：添加，，故嘉琪的表述是正确的；添加，，故陌陌的表述是正确的；嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的，故选：A【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．题型五：含多项式完全平方公式因式分解【例题5】（2022·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：________．【答案】【分析】将看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．变式训练【变式5-1】（2021·山西运城·八年级期末）分解因式．【答案】（x+y）2（x-y）2．【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．解：=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【变式5-2】（2020·上海市蒙山中学）分解因式：_____________．【答案】【分析】根据完全平方公式可直接进行求解．【详解】解：；故答案为．【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．【变式5-3】（2022·江苏无锡·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】直接根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式因式分解即可求解．解：原式＝=

=．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．题型六：完全平方公式因式分解结合非负数性质求值【例题6】（重庆南开（融侨）中学校七年级期末）若a，b满足a2+b2-2a+6b+10=0，则a+b的值是___________.【答案】-2【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】由a2+b2-2a+6b+10=0，得a2-2a+1+b2+6b+9=0，即(a-1)2+(b+3)2=0，∵(a-1)2≥0，(b+3)2≥0，∴a-1=0，b+3=0，即a=1，b=-3，∴a+b=1-3=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．变式训练【变式6-1】（山东八年级月考）已知，则________.【答案】2【分析】先把元二元二次方程化简，得到利用非负数性质求出x，y，即可求出x+y的值.【详解】解：整理得：∴∴，∴，∴；故答案为：2.【点睛】本题考查了因式分解和整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方式的变形求值.【变式6-2】（上海市田林第三中学七年级月考）若，则____________【答案】4.【分析】利用完全平方公式化简，求得x，y的值，然后计算即可.【详解】解：方程可化为：则有∴，，解得，，∴.故答案为：4.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题的关键.【变式6-3】（全国七年级单元测试）若，则______，______．【答案】24【分析】将原式变形为，然后利用绝对值和完全平方式的非负性求解.【详解】解：∵且∴m-2=0;n-4=0∴m=2;n=4故答案为：2；4.【点睛】本题考查完全平方公式的因式分解和绝对值及完全平方式的非负性，熟练掌握相关计算方法和性质是本题的解题关键.链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·广西河池·中考真题）多项式因式分解的结果是(

)A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2【答案】D【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．【真题2】．（2021·江苏苏州·中考真题）因式分解______．【答案】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．【真题3】（内蒙古巴彦淖尔·中考真题）分解因式：a2-6a+9=___________.【答案】（a-3）2【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可得.【详解】a2-6a+9=a2-2×a×3+32=(a-3)2，故答案为（a-3）2.【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.【真题4】（2021·浙江绍兴·中考真题）分解因式：=___________．【答案】【分析】根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：=故答案为：．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解决此题的关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（全国七年级单元测试）若是完全平方式，则的值为多少？【答案】.【分析】首先把分类整理为，再进一步利用多项式乘法计算展开，把看作整体，在配方成完全平方式，进一步探讨即可得出答案．【详解】∴，即.【点睛】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方．【拓展2】（2021·湖南湘乡市·七年级期末）下面是某同学对多项式因式分解的过程．解：设，则原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）解答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．【答案】