专题06 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题）（全题型压轴题）试题含解析

专题06一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题全题型压轴题）①已知函数f(x)在区间D上单调 1 2 4 5⑤双变量问题f(x1)>g(x2)型 6f(x)在区间D上单调2x12023春·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考期中）若函数g(x)=x2+alnx2x数，则实数a的取值范围是.22023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考期中）若函数f(x)=x2+lnx-ax在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是.32023春·山东烟台·高二统考期末）若函数f(x)=x2-x+alnx在(1,+m)上单调递增，则实数a的取值范围为.42023春·甘肃酒泉·高二统考期末）已知函数f(x)=ax+xex在(-m,+m)上单调递增，则a的取值范围52023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(x-a)cosx在(|（0,内单调递增，则实数a的取值范围为12023春·吉林白城·高二校考期末）已知函数f(x)=ex+ax在(0,f(0))处的切线与直线l：x一2y+4=0垂直.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对任意实数x，f(x)之一x2一3+2b恒成立，求整数b的最大值.22023·全国·高二专题练习）已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2+x+2.(1)讨论函数y=f(x)在(0,m)(m>0)上的单调性；(2)对一切实数xe(0,+伪)，不等式2f(x)<g,(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.xe32023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）已知函数f(x)=ex(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)+g(x)>0在(0,+伪)上恒成立，求实数m的取值范围.（e为自然对数的底数），函数42023春·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数f(x)=(a-1)lnx+x+，其中aeR.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)若对于任意xe(1,e]，都有f(x)->0成立，求a的取值范围.52023春·山东德州·高二统考期末）已知函数f(x)=xex(1)若x=0是f(x)的极值点，求函数f(x)的极值；(2)若x<0时，恒有f(x)<0成立，求实数a的取值范围.2-2x-ax，aeR.62023春·福建宁德·高二校联考期中）已知函数f(x)=aln(x-1)-x+1，h(x)=--3x+1；(1)求f(x)函数的单调性；(2)设函数g(x)=f(x)-h(x)，对于任意的x1,x2e[2,5]都有>2成立，求实数a的取值范围.12023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）已知函数f(x)=xlnx.(1)求在点(1,0)处函数f(x)的切线方程；(2)若对任意x>0，都有xln(ax)>x-a成立，求正数a的取值范围.22023春·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数f(x)=-2x+lnx，g(x)=xex-3x-m(1)求函数f(x)的极值点；(2)若f(x)<g(x)恒成立，求实数m的取值范围.32023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=lnx+a，若对任意的xe1,e2，f(x)<-恒成立，求实数a的取值范围.42023春·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考阶段练习）已知函数f(x)=ex-alnx-e(aeR)，其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)在x=1处取到极值，求a的值及函数f(x)的最值；(2)若f(x)有极值点，求a的取值范围.52023春·西藏日喀则·高二统考期末）设函数f(x)=ex-ax，x之0且aeR.(1)求函数f(x)的单调性；(2)若f(x)之x2+1恒成立，求实数a的取值范围.12023·全国·高三专题练习）若不等式x2+px>4x+p-3，当0<p<4时恒成立，则x的取值范围是()22022秋·江西抚州·高一金溪一中校考阶段练习）已知函数f(x)=2023x-2023-x+x2023，对任意的ke[-3,3]，f(kx-2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围为.32023·高一课时练习）不等式2x-1>mx对满足0<m<1的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围.f(x1)>g(x2)型12023·全国·高三专题练习）已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m，若对vx1f(x1)>g(x2)，则实数m的取值范围是.22023春·海南海口·高一海口一中校考期中）vxeR，都有f(-x)=f(x)，且f(x)=log2(2x+1)+tx，2e)成立，则k的范围是.32023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=(aeR)．设g(x)=x+-，若对任意的ne[0,2]，存在me[0,2]，使得f(m)>g(n)成立，求a的取值范围.42023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知f(x)=是定义在[－2，2]上的函数，若满足f(x)+f(-x)=0且f(1)=.(1)求f(x)的解析式；252023春·湖北荆门·高一统考期末）已知f(x)=log1x+2(1)求f(2)+f+f(3)+f的值；(2)求证f(x)有且仅有两个零点x1,x2，并求x1x2的值；(3)若g(x)=x2-ax+9，对任意的x1e[2,+伪),x2e[1,4]，不等式f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围.专题06一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题全题型压轴题）①已知函数f(x)在区间D上单调 1 3 8④变更主元法..........................................⑤双变量问题f(x1)之g(x2)型...........................................14f(x)在区间D上单调2x12023春·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考期中）若函数g(x)=x2+alnx2x数，则实数a的取值范围是.得a<-2x2恒成立，即a<-2x2min，xe[1,2]设f(x)=-2x2，xe[1,2]，f,(x)=-4x<0在区间[1,2]恒成立，则函数f(x)的最小值为f(2)=1-8=-7，所以a<-7.故答案为：(-伪,-7]22023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考期中）若函数f(x)=x2+lnx-ax在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是.(-伪,3]【详解】因为函数f(x)=x2+lnx-ax在区间[1,2]上单调递增，所以在区间[1,2]上函数f,(x)=2x+-a之0，所以a<2x+ 1,x 1,设t(x)=2x 1,x 1函数t(x)=2x 1x所以只需a<3即可.32023春·山东烟台·高二统考期末）若函数f(x)=x2一x+alnx在(1,+伪)上单调递增，则实数a的取值范围为.又函数f(x)在(1,+伪)上单调递增，2 4令g(x)=2x2+x，对称轴为直线x 442023春·甘肃酒泉·高二统考期末）已知函数f(x)=ax+xex在(一伪,+伪)上单调递增，则a的取值范围【详解】：f(x)=ax+xex，:f,(x)=a+ex+xex，x所以g(x)在(-伪,-2)上单调递减，在(-2,+伪)上单调递增，所以g(x)min=g(-2)=e-2-2e-2=-，所以-(ex+xex)有最大值，所以a>.故答案为：52023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(x-a)cosx在(|（0,内单调递增，则实数a的取值范围为「π-)【详解】因为f(x)=(x-a)cosx，所以，f，(x)=cosx-(x-a).sinx，即cosx-(x-a)sinx>0，解得a>x-.「π-)「π-)12023春·吉林白城·高二校考期末）已知函数f(x)=ex+ax在(0,f(0))处的切线与直线l：x-2y+4=0垂直.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对任意实数x，f(x)>-x2-3+2b恒成立，求整数b的最大值.【答案】(1)单调递减区间为(-伪,ln3)，单调递增区间为(ln3,+伪).【详解】（1）由f,(x)=ex+a，得k=f,(0)=1+a，又切线与直线l：x-2y+4=0垂直，所以k=-2，即a=-3.所以f,(x)=ex-3，令f,(x)=0，得x=ln3，当x<ln3时，f,(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln3时，f¢(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(-伪,ln3)，单调递增区间为(ln3,+伪).（2）对任意实数x，f(x)之-x2-3+2b恒成立，即对任意实数x,ex+x2-3x+3之2b恒成立.设g(x)=ex+x2-3x+3，即b<g(x)min.x所以h,(x)=ex+2>0恒成立，所以g,(x)=ex+2x-3在R上单调递增.即ex022(5)210-22(5)21所以g(x0)e0)且beZ所以b<1，即整数b的最大值为1.22023·全国·高二专题练习）已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2+x+2.(1)讨论函数y=f(x)在(0,m)(m>0)上的单调性；(2)对一切实数xe(0,+伪)，不等式2f(x)<g,(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析【详解】（1）解：因为f(x)=xlnx,x>0，则f,(x)=lnx+1，令f,(x)=0，可得x=，x②当m>时，令f,(x)<0可得0<x<f,(x)<0，此时函数f(x)的减区间为(0,m)；综上所述，当0<m<时，函数f(x)的减区间为(0,m)；（2）解：因为g(x)=x3+ax2+x+2，可得g,(x)=3x2+2ax+1，由对一切实数xe(0,+伪)，不等式2f(x)<g,(x)+2恒成立，即2xlnx<3x2+2ax+1恒成立，可得2ax>2xlnx一3x2一1，即2a>2lnx3x在xe(0,+伪)恒成立，当x>1时，h,(x)<0，此时函数h(x)单调递减，max3．（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）已知函数f(x)=（e为自然对数的底数），函数(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)+g(x)>0在(0,+伪)上恒成立，求实数m的取值范围.【详解】（1）函数f(x)定义域为(一伪,0)u(0,+伪)，又f,(x)=xeex=ex(2一1)，所以x、f,(x)与f(x)的关系如下所示：x1f,(x)一一0+f(x)单调递减单调递减极小值单调递增（2）不等式f(x)+g(x)>0在(0,+伪)上恒成立，等价于不等式+mx>0在(0,+伪)上恒成立，故不等式m>在(0,+伪)上恒成立，当xe(0,2)时，h,(x)>0，所以h(x)在(0,e4所以h(x)max=e42e442023春·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数f(x)=(a一1)lnx+x+，其中aeR.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)若对于任意xe(1,e]，都有f(x)一>0成立，求a的取值范围.52【详解】（1）f(x)=x+(x>0)，f(2)=52f,(x)=1(x>0)，f,(2)∵当xe(1,e]时，F,(x)>0，所以F(x)在(1,e]上单调递增，52023春·山东德州·高二统考期末）已知函数f(x)=xex-x2-ax，aeR.(1)若x=0是f(x)的极值点，求函数f(x)的极值；(2)若x<0时，恒有f(x)<0成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)极大值为-，极小值为0【详解】（1）f,(x)=(x+1)ex-x-a，因为x=0是f(x)的极值点，所以f,(0)=1-a=0，所以a=1，当x>0或x<-1时，f¢(x)>0；当-1<x<0时，f,(x)<0.所以函数f(x)的单调递增区间为(-如,-1)，(0,+如)，单调递减区间为(-1,0).所以极大值f(-1)=-，极小值为f(0)=0（2）若x<0时，恒有f(x)<0恒成立，即f(x)=xex-x2-ax<0，即ax>xex-x2，因为x<0，所以a<ex-x，62023春·福建宁德·高二校联考期中）已知函数f(x)=aln(x-1)-x+1，h(x)=--3x+1；(1)求f(x)函数的单调性；(2)设函数g(x)=f(x)-h(x)，对于任意的x1,x2e[2,5]都有>2成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析【详解】（1）f(x)的定义域为(1,+伪)，则f,(x)=-1=，当a+1>1时，即a>0时，则f(x)=0即x=a综上所述：当a<0时，f(x)在(1,+伪（2）依题得g(x)=f(x)-h(x)=aln(x-1)-x+1++3x-1=aln(x-1)++2x因为对于任意的x1,x2e[2,5]总有>2成立，不妨设x1>x2由>2，得g(x1)-2x1>g(x2)-2x22xe在[2,5]恒成立；设F(x)=ex-(x-1)(x-3)xe令F,(x)>0，得1<x<3，因为xe[2,5]，所以F(x)在(2,3)单调递增；同理，F(x)在(3,5)单调递减，所以F(x)的最大值为F(3)= 4e12023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）已知函数f(x)=xlnx.(1)求在点(1,0)处函数f(x)的切线方程；(2)若对任意x>0，都有xln(ax)之x-a成立，求正数a的取值范围.【答案】(1)y=x-1【详解】（1）因为f(x)=xlnx，所以f，(x)=lnx+1所以f，(1)=1，所以切线的方程为y=x-所以当x=时，22023春·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数f(x)=-2x+lnx，g(x)=xex-3x-m(1)求函数f(x)的极值点；(2)若f(x)<g(x)恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1，无极小值点；【详解】（1）函数f(x)=-2x+lnx的定义域为(0,+伪)，求导得f，(x)=-2+=，所以f(x)的极大值点为，无极小值点.x所以实数m的取值范围是m£1.32023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=lnx+a，若对任意的xe1,e2，f(x)<_恒成立，求实数a的取值范围.【详解】解法一，由f(x)<_在xe1,e2上恒成立，得+lnx+a<0在xe1,e2上恒成立，即a<__lnx在xe1,e2上恒成立令g(x)=__lnx，xe1,e2所以g(x)在[1,2)上单调递增，在(2,e2上单调递减，所以g(x)min=min{g(1),g(e2)}e2=__lne2=__2<_2，所以g(x)min所以a<__2，即实数a的取值范围为(|（_m,__2.解法二，由f(x)<_在xe1,e2上恒成立，得+lnx+a<0在xe1,e2上恒成立.所以g(x)在[1,2)上单调递减，在(2,e2上单调递增，所以g(x)max=max{g(1),g(e2)}.e22所以a<__2，即实数a的取值范围为(|（_m,__2.42023春·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考阶段练习）已知函数f(x)=ex_alnx_e(aeR)，其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)在x=1处取到极值，求a的值及函数f(x)的最值；∵当(2)若f(x)有极值点，求a∵当当xe(0,1)时，f,(x)<0，即f(x)在(0,1)上单调递减，x)>0，即f(x)在(1,+父)上单调递增，∴f(x)min=f(1)=0，函数无最大值.)有解．即y=a与y=ex在(0,+父)有交点，f,(x)=e=(a) aef,(x)=0(a) aex∴f(x)min=f(1)=0≥0，)，当x>1时，原式等价于a≤e(1)恒成立，令g(x)=e(1)，即a<g(x)恒成立，52023春·西藏日喀则·高二统考期末）设函数f(x)=ex-ax，x>0且aeR.(1)求函数f(x)的单调性；(2)若f(x)>x2+1恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析（2）方法一：ex-ax>x2+1在x>0恒成立，则当x=0时，1>1，显然成立，符合题意；当x>0时，得a<恒成立，即a<min记g(x)=ex-x-1)(x-1),2x构造函数y=ex-x-1，x>0，则y，=ex-1>0，故y=ex-x-1为增函数，则ex-x-1>e0-0-1=0.故ex-x-1>0对任意x>0恒成立，则g(x)在(0,1)递减，在(1,+伪)递增，所以g(x)min=g(1)=e-2方法二：eeeee,2-a1-ae2-a1-ae显然成立.12023·全国·高三专题练习）若不等式x2+px>4x+p-3，当0<p<4时恒成立，则x的取值范围是()【答案】D【详解】不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0，22022秋·江西抚州·高一金溪一中校考阶段练习）已知函数f(x)=2023x-2023-x+x2023，对任意的k=[-3,3]，f(kx-2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围为.【详解】f(x)=2023x-2023-x+x2023，定义域为R，则f(-x)=2023-x-2023x-x2023=-f(x)，可知函数f(x)为奇函数，又y=2023x,y=-2023-x=-x,y=x2023均为增函数，所以f(x)为增函数，由f(kx-2)+f(x)<0，得f(kx-2)<-f(x)，即f(kx-2)<f(-x)，则kx-2<-x，即kx+x-2<0，令g(k) 1,232023·高一课时练习）不等式2x-1>mx对满足0<m<1的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围.【详解】不等式2x-1>mx化为：mx-2x+1<0对于任意的0<m<1恒成立，令f(m)=mx-2x+1，要使f(m)<0对于任意0<m<1恒成立，f(x1)>g(x2)型f(x1)>g(x2)，则实数m的取值范围是.【详解】当x 122y=x2y=x+1单调递增，根据复合函数的单调性可得f(x)=ln(x2+1)此时也单调递增，所以f(x)min=f(0)=0；x-m单调递减，所以g(x)max=g(1)=-m.因为对vx1=[0,3]，vx2=[1,2]，使得f(x1)>g(x2)，所以f(x)min>g(x)max，L)22023春·海南海口·高一海口一中校考期中）ⅤxeR，都有f(-x)=f(x)，且f(x)=log2(2x+1)+tx，2e2)成立，则k的范围是.【答案】【详解】ⅤxeR，都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)=log2(2x+1)+tx为偶函数，所以log2(2-x+1)-tx-log2(2x+1)-tx=0，所以t=-，故f(x)=log2(2x+1)-x，222e2所以函数g(x)在[0,3]上的最小值不小于函数h(x)在[1,3]上的最小值，又h(x)=x2-2kx+1的对称轴为x当k<1时，函数h(x)=x2-2kx+1在区间[1,3]上单调递增，可得h(x)min=h(1)=2-2k，当1<k<3时，函数h(x)=x2-2kx+1在区间[1,k]上单调递减，在区间[k,3]上单调递增，可得h(x)min=h(k)=1-k2，由题意1>1-k2，且1<k<3，所以1<k<3；当k>3时，函数h(x)=x2-2kx+1在区间[1,3]上单调递减，可得h(x)min=h(3)综上可知，实数k的取值范围为,+m.32023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=e(x2x+a)(aeR)．设g(x)=x+一，若对任意的ne[0,2]，存在me[0,2]，使得f(m)之g(n)成立，求a的取值范围.(伪,42e]u【详解】“对任意的ne[0,2]，存在me[0,2]，使得f(m)之g(n)成立”，等价于“在[0,2]上，f(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值”.所以g(x)在[0,2]上单调递增，所以g(x)max=g(2)=2.x2xx，令f,(x)=0，则x=2或x=a①当a<0时，f,(x)之0在[0,2]上恒成立，所以f(x)在[0,2]上单调递增，②当0<a<2时，f,(x)<0在[0,a]上恒成立，f(x)单调递减，f,(x)之0在[a,2]上恒成立，f(x)单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)=(4一a)e一1或f(0)=ae，③当a之2时，f,(x)<0在[0,2]上恒成立，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(0)=ae之2，解得a之，所以a之2.42023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知f(x)=是定义在[－2，2]上的函数，若满足f(x)+f(一x)=0且f(1)=(1)求f(x)的解析式；1.52(2)设函数g(x)=x2【答案】(1)f(x)=<f(x1)恒成立，求m的取值范围. x 【详解】（1）xe[-2,2]，且f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数，将x=0代入f(x)+f(-x)=0可得f(0)=0，即=0，所以c=0，即f(x)=，因为f(1)=，所以f(-1)=-，代入可得〈a5b=51，f(x)=,f(x)==-f(x)，函数为奇函数，满足，故f(x)=.22-x1>0,4-x1x2>0