信号与系统：第24讲 Z变换_第1页
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第二十四讲Z变换内容提要Z变换的定义Z变换的收敛域Z反变换内容提要Z变换的定义Z变换的收敛域Z反变换Z变换的定义几点说明：1)2)Z变换仅对某些z的取值才是收敛的

3)如果|z|=1在ROC内，则Z变换举例例1：当时，上式收敛，且结果为：令a=1可得u[n]的Z变换为：ROC的几何表示Z变换举例例2：Z变换举例例3：Z变换与拉普拉斯变换的关系离散时间序列可以看作由连续时间信号采样得到：

xp(t)的拉普拉斯变换为：

而x[n]的Z变换为：

Z变换与拉普拉斯变换的关系对比上述两式可知：

S平面Z平面内容提要Z变换的定义Z变换的收敛域Z反变换Z变换收敛域的性质性质1：X(z)的ROC是z平面内以原点为中心的圆环。Z变换收敛域的性质性质2：ROC内不包含任何极点。Z变换收敛域的性质性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能去除z=0和/或。Z变换收敛域的性质性质4：如果x[n]是右边序列，而且的圆在ROC内，那么的全部有限z值都一定在ROC内。Z变换收敛域的性质性质5：如果x[n]是左边序列，而且的圆在ROC内，那么的全部z值都一定在ROC内。Z变换收敛域的性质性质6：如果x[n]是双边序列，而且的圆在ROC内，那么该ROC一定是由包含的圆环所组成。Z变换收敛域的性质性质7：如果x[n]的Z变换X(z)是有理的，那么它的ROC是被极点所界定或者延伸到无穷远。Z变换收敛域的性质性质8：假设x[n]的Z变换X(z)是有理的。若x[n]是右边序列，则其ROC在z平面上位于最外层极点的外边，也就是半径等于X(z)极点中最大模值的圆的外边；而且，若x[n]是因果信号，则其ROC也包含。Z变换收敛域的性质性质9：假设x[n]的Z变换X(z)是有理的。若x[n]是左边序列，则其ROC在z平面上位于最里层的非零极点的里边，也就是半径等于X(z)的除去z=0的极点中最小模值的圆的里边，并且可能延伸到z=0；而且，若x[n]是反因果信号，则其ROC也包含z=0。拉普拉斯变换收敛域的性质性质10：如果x[n]的Z变换X(z)的ROC包含单位圆，则x[n]的傅里叶变换存在。内容提要Z变换的定义Z变换的收敛域Z反变换Z反变换对于ROC内的任意z=rejw，根据傅里叶反变换公式，可得：

Z反变换由于z=rejw，因此对于给定的r，dz=jrejwdw，故：

Z反变换的公式表明，信号x[n]可以被分解为复振幅为的复指数信号的线性组合Z反变换的计算部分分式展开法所以：

Z反变换的计算区域III：

区域II：

区域I：

Z反变换的计算幂级数展开法根据观察可知：

Z反变换的计算由于，所以，此时可以利用如下的泰勒级数展开式：根据上式有：

因此：

Z反变换的计算长除法(幂级数展开法)

ROC为|z|<|a|呢?

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