平面向量-高三-一轮复习(完整版)

平面向量一轮复习（全） 平面向量一轮复习（全）PAGE5-高三数学一轮复习平面向量学案学习改变命运，知识成就未来！组编：高三数学组冯丽题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a与非零向量b平行，则a与b的方向相同或相反；3、向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A、B、C、D四点共线；4、若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；5、若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同；11、只有零向量的模等于0；12、共线的单位向量都相等；13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量；15、若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形；16、设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是长度的倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆；18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是20、设是任意的非零平面向量且互不共线，则21、下列命题中：其中正确的是_____________①； ②；③；④若，则或；⑤若则 ⑥；⑦；⑧；⑨二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若（2）若共线定理作用（1）（2）【例2】设两个非零向量与不共线,若求证：A..B.D三点共线;试确定实数k,使和共线。【例3】已知向量=（，1）=（0，-1），=（k，）。若与共线，则k=__________。三、直线的向量参数式方程已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,则对直线l上任意一点P,存在实数t,使关于基底{}的分解式为此向量等式叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足.应用一:前面的系数之和为定值11.（2007·全国Ⅱ）在中，已知是边上一点，若，则（）A． B． C． D．2.(2007·江西)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．应用二:用于向量的线性表示以及求向量的数量比CBPMNA如图,在ABC中,a,b,M,N分别是边上的点,且a,b,设与交于P,用向量a,b表示,并求AP:PN及BP:PM.CBPMNA应用三:证明共线问题DACBDACBMN求证:M,N,C三点共线.应用四：求直线方程在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若C满足,其中R,且,则点C的轨迹为,轨迹方程为.【练习】1、已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))(λ>0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝μeq\o(AF,\s\up6(→))(μ>0)，则eq\f(1,λ)＋eq\f(4,μ)的最小值是A．9 B.eq\f(7,2)C．5 D.eq\f(9,2)()2、如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则mn的最大值为A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3()四、向量的内积1、两个非零向量的夹角已知非零向量.与.,作＝,＝,则____________________叫与的夹角;范围：__________________判断方法：__________________2、数量积的概念向量的投影：__________________,向量在方向上的投影.（如图）投影与射影的关系：_____________________3、数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.4、向量数量积的性质（1）向量的模与平方的关系：____=______________.（2）向量的夹角：_______________________________.例1．(2005年高考·北京卷·理3文4)|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 A．30° B．60° C．120° D．150°例2．(2005年高考·江西卷·理6文6)已知向量 （） A．30° B．60° C．120° D．150°例3．(2005年高考·重庆卷·理4)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为 （） A． B． C． D．－例4．(2005年高考·浙江卷·理10)已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（） A．⊥ B．⊥(－) C．⊥(－) D．(＋)⊥(－)例5．(2005年春考·上海卷5)在△中，若，，则.【例6】1、已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______2、设=（4,3），在上的投影为，在x轴上的投影为2，且求的坐标【例7】已知向量=（1,1），=（2,3），=（m+1,m-1）,（1）若点A、B、C能构成三角形，求m的范围；（2）若在三角形ABC中，角B为直角，求角A；五、向量与三角形四心关系1、三角形四心的概念（1）重心——____________的交点：重心将中线长度分成____________；（2）垂心——____________的交点：高线与对应边____________；（3）内心——____________的交点（__________圆的圆心）：角平分线上的任意点____________________；（4）外心——____________的交点（__________圆的圆心）：外心到三角形各顶点____________________。2、四心与向量的结合（1）是的重心.设,则x=___________________,y=_______________________;（2）为的________心.（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的_______________心；例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的_____________心【自主练习】：1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为______A．2B．C．3D．62．是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若，则是的_________________；3．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=4．（06陕西）已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形5.（12辽宁理数）已知两个非零向量满足，则下面结论正确()A．B． C． D．6．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则()A． B．0 C．1 D．7．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A．0 B． C．D．【总结五个向量中的结论】例题：利用五个结论证明欧拉线六、向量与三角函数1、已知中，，若的面积为，且.（1）求角的变化范围；（2）求的取值范围。2、已知向量，，定义。（1）求函数得最小正周期；（2）若，当时，求的取值范围。3、已知点，且（O是坐标原点）（1）求关于的函数关系式；（2）若的值，并说明此时的图象可由的图象经过怎样的变换而得到。4、向量a，b，设函数a·b.（1）求函数的单调区间；（2）若，求函数的值域。5、在中，分别是角的对边，，，求的面积。6、已知点.（1）若，求角的值；（2）若的值.7．(2005年高考·江西卷·理18)已知向量.是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.8．(200