高中数学同步讲义（人教A版必修二）第20讲 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（学生版）

第03讲7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课程标准学习目标①.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则。②理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题。1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；2进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养；知识点01：复数代数形式的加法运算及其几何意义（1）复数的加法法则设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数（2）复数加法满足的运算律对任意，有交换律：结合律：（3）复数加法的几何意义如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.【即学即练1】（2022·高一课时练习）复数的加、减法运算法则设，则，．复数加法的运算律（1）交换律：．（2）结合律：．复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，则与对应的向量是，与对应的向量是．【答案】知识点02：复数代数形式的减法运算及其几何意义（1）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.（2）复数减法的几何意义复数 向量【即学即练2】（2018·高三课时练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．【详解】∵，∴对应的复数为：，∴点对应的复数为．故选D．知识点03：()的几何意义在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.【即学即练3】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知复数，满足，，则的最大值为.【答案】4【详解】设，则，所以，即，，，当时，则取得最大值，最大值为.故答案为：4题型01复数的加、减运算【典例1】（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知复数，，则．【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023下·北京昌平·高一统考期末）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第象限.【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．题型02复数的加、减运算的几何意义【典例1】（2023下·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（

）A． B． C． D．【典例2】（2022下·山东日照·高一校联考期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为.【典例2】（2022·高一课时练习）如图所示,平行四边形的顶点O,A,C对应的复数分别为0,,,其中i为虚数单位由复数的几何意义,知与对应的复数分别为,.(1)求对应的复数.(2)求对应的复数.(3)求对应的复数.【变式1】（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为．【变式2】（2022下·高二课时练习）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为.【变式3】（2022·高一课时练习）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来题型03与复数的模的几何意义有关的应用【典例1】（2023·江西·统考模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）已知是虚数单位，复数，，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例3】（2022下·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）若(是虚数单位),则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式1】（2022上·湖北武汉·高三校联考阶段练习）复数满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·高一课时练习）若复数z满足|z﹣2i|＝1（i为虚数单位），则|z|的最小值为.题型04根据复数的加、减运算结果求参数【典例1】（2022上·浙江·高三校联考开学考试）若，则的实部可能是（

）A．3 B．1 C． D．【典例2】（2022·河北石家庄·石家庄一中校考模拟预测），若，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2022上·安徽·高三校联考阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（

）A． B．1 C． D．i【变式2】（2022下·河南安阳·高一统考期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为．题型05根据复数的加、减运算结果求复数的特征【典例1】（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2023下·四川眉山·高一仁寿一中校考期中）复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例3】（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（

）A．3 B． C．2 D．【变式1】（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2】（2022下·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【变式3】（2022下·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知复数，且，其中a，b为实数，则（

）A．， B．， C．， D．，2．（2022下·广西钦州·高二统考期末）等于（

）A． B． C． D．3．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．24．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知复数，，则的实部与虚部分别为（

）A．， B．， C．， D．，5．（2023·全国·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A．2 B． C． D．6．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（

）A．3 B． C．2 D．8．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或10．（2021下·山东济宁·高一统考期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（

）A． B．是纯虚数C．若，则 D．若，则的最大值为2三、填空题11．（2023上·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则．12．（2023·河南开封·统考二模）已知复数满足，写出一个满足条件的复数．四、解答题13．（2023·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3).14．（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知复数，，．(1)若是纯虚数，