2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第28炼 三角函数性质含答案

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第28炼三角函数性质 第28炼三角函数及函数性质一、基础知识：1、正弦函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点）：（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数（6）单调增区间：单调减区间：2、余弦函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数（5）对称中心（零点）：（6）单调增区间：单调减区间：3、正切函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称中心：（5）零点：（6）单调增区间：注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴：（5）零点：（6）单调增区间：单调减区间：5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：（1）定义域：（2）值域：（3）周期：（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质二、典型例题：例1：函数（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.在上单调递减D.在上单调递增思路：单调递增区间：单调递减区间：符合条件的只有D答案：D例2：函数的一个单调递减区间为（）A.B.C.D.思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求答案：D例3：的递减区间为（）A.B.C.D.思路：在解函数性质之前首先把的系数变正：，再求其单调区间：，由于，所以区间等同于答案：D例4：已知函数，则下列关于函数性质判断正确的是（）A.最小正周期为，一个对称中心是B.最小正周期为，一个对称中心是C.最小正周期为，一个对称中心是D.最小正周期为，一个对称中心是思路：对称中心：时，一个对称中心是答案：A例5：函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.思路：求单调区间可设，即，只需找到所满足的条件然后解出的范围即可。的取值需要满足两个条件，一是保证，二是取单调增的部分，所以可得：，即，解得：答案：A例6：设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（）A.是偶函数B.的最小正周期是C.图像关于点对称D.在区间上是增函数思路：先判断的周期，可结合图像进行判断，可得：；对于对称轴，对称中心，单调区间，可考虑设，即，借助图像先写出所符合的条件，再求出的值（或范围）即可。对称轴：，不是偶函数对称中心：，关于点对称单调增区间：答案：C例7：函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为（）A.B.C.D.思路：根据图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半，所以间距为：答案：B例8：已知函数的图像关于直线对称，则的值为_______思路一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：因为关于直线对称，思路二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意答案：例9：已知在单调递增，求的取值范围思路：的图像可视为仅由放缩得到。，由在单调递增可得：，即答案：例10：已知函数在区间上为增函数，且图像关于点对称，则的取值集合为______________思路：的图像可视为的图像横坐标变为了，，则，因为在上单调增，所以，即；另一方面，的对称轴为，所以解得，再结合可得答案：三、近年好题精选1、函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称2、（2015，湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A.B.C.D.3、（2016，重庆万州二中）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（）A.B.C.D.4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A.B.C.D.5、（2015，天津）一直函数，若函数在内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为_______6、（2014，安徽）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是__________7、（2014，北京）设函数（是常数，）若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为______8、已知的图像在上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围是______9、（2014，福建）已知函数（1）若，且，求的值（2）求函数的最小正周期及单调递增区间10、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数（）．（1）求最小正周期和单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．习题答案：1、答案：B解析：由最小正周期可得：，向右平移个单位后解析式为，即，由奇函数可知，所以，对称轴：，对称中心：，即，配合选项可得B正确2、答案：D解析：，由可知分别取到最大最小值，不妨设，所以，由可知3、答案：C解析：先求出的单调性，，解得单调递减区间为：，即在上单调递减。所以在单调减，，所以，有，可知C符合题意4、答案：B解析：先利用图像变换求出解析式：，即，其图像可视为仅仅通过放缩而得到的图像。若最大，则要求周期取最小，由为增函数可得：应恰好为的第一个正的最大值点5、答案：解析：，由在内单调递增，且对称轴为可知在达到最大值，所以，由在单增可知，从而解得6、答案：解析：平移后的解析式为：，由对称轴为可知，令即得到最小正值7、答案：解析：由可得为一条对称轴，由可知为一个对称中心。因为在区间单调，所以可知与为相邻的对称轴与对称中心，所以8、答案：解析：由可得：，若恰有一个对称轴和对称中心，则对称轴和对称中心为，所以9、解析：（1）由及可得：（2）解得：的单调递增区间为10、解析：（1）周期单调递增区间：所以单调递增区间：（2）第29炼图像变换在三角函数中的应用在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为（所涉及参数均为正数）1、函数图像的平移变换：（1）：的图像向左平移个单位（2）：的图像向右平移个单位（3）：的图像向上平移个单位（4）：的图像向下平移个单位2、函数图像的放缩变换：（1）：的图像横坐标变为原来的（图像表现为横向的伸缩）（2）：的图像纵坐标变为原来的倍（图像表现为纵向的伸缩）3、函数图象的翻折变换：（1）：在轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于轴对称的图像（2）：在轴上方的图像不变，轴下方的部分沿轴向上翻折即可（与原轴下方图像关于轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：（1）加“常数”平移变换（2）添“系数”放缩变换（3）加“绝对值”翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化例如：可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：有两种方案方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）二、典型例题：例1：要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含的地方进行了变化，所以只有，所以是向右平移个单位答案：C小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。（2）对于前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。例2：把函数的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向右平移个单位，这是对应于这个图像的解析式是（）A.B.C.D.思路：，经过化简可得：答案：A例3：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，，第二步观察可得只是经过平移变换，但是受到系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少，目标函数：；原函数：可得平移了个单位答案：B小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦例4：要得到的图像只需将的图像（）A.先向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的B.先向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的C.先将图像上各点的横坐标缩短至原来的，再将图像向左平移个单位D.先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的倍，再将图像向右平移个单位思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同A.B.C.D.答案：B例5：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从入手化为的形式：，从而得到需要向左平移个单位。答案：D例6：将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．思路：首先先求出平移后的解析式，即，在由已知可得其中一条对称轴为，所以，解得：，当时，答案：C小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目例7：若将函数的图像向右平移个单位可得到一个奇函数的图像，向左平移个单位可得到一个偶函数的图像，则可取的一组值是（）A.B.C.D.思路：本题也可按照例6的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出的方程组求解，但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移个单位后关于对称，则原函数关于中心对称；向左平移个单位关于轴对称，则原函数关于轴对称，从而确定周期，进而，而向右平移个单位得到奇函数，可得答案：C例8：若把函数图像向左平移个单位，则与函数的图像重合，则的值可能是（）A.B.C.D.思路：首先将两个函数的三角函数名统一：，将函数向左平移得到的解析式为，由于两个函数图像重合，可得，所以，解得：，故选择D答案：D例9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（）A.B.C.D.思路：可以考虑先求出的解析式，从而减少中的变量个数。，而，即，所以，依题意，可得：或，解得：或，只有B符合题意答案：B例10：函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度思路：本题分为两步，先根据图像求解析式，再确定图像变换。由图像可得：最小值为，所以，再由对称中心与对称轴距离可得周期，从而。此时，由过可得：，所以，，则需向右平移个单位：答案：A三、近年好题精选1、函数的图像向左平移个单位得函数的图像，则函数的解析式是（）A．B．C．D．2、（2016，陕西八校联考）下图是，在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变3、（2015，山东）要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位4、（2014，辽宁）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（）A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增5、（2014，四川）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度6、为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有点（）A.向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的B.向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍C.向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的D.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的7、把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A.B.C.D.习题答案：1、答案：A解析：2、答案：D解析：由图像可得的周期，所以，另一方面由最值可得，即，由可知，可解得，即。那么。可知按选项D的方式变换即可得到3、答案：B解析：，故将向右平移单位即可4、答案：B解析：变换后的图像解析式为：，考虑其单增区间：，解得：，B正确5、答案：A解析：，故只需将的图像向左平行移动个单位长度6、答案：A解析：可知要经过放缩与平移，若先平移，则要先向左移动，再将坐标变为原来的，A符合7、答案：C解析：第30炼函数解析式的求解在有关三角函数的解答题中，凡涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，本讲主要介绍求解解析式的一些技巧和方法一、基础知识：（一）表达式的化简：1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）（1）降幂公式：（2）（3）两角和差的正余弦公式（4）合角公式：，其中（这是本讲的主角，也是化简的终结技）2、关于合角公式：的说明书：（1）使用范围：三个特点：①同角（均为），②齐一次，③正余全（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为的形式了，通过以下三步：①一提：提取系数：，表达式变为：②二找：由，故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），如，可得：③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：（3）举例说明：①②③（4）注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：，可视为，那么此时表达式就变为：，使用两角差的余弦公式：所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值。3、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议：（1）观察式子：主要看三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）②确定研究对象：是以作为角来变换，还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换。③式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为的形式。例如：齐二次式：，齐一次式：（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式，（还有句老话：平方降幂）例如：，确定研究对象了：，也齐一次，但就是角不一样（一个是，一个是）那么该拆则拆，将打开于是就可合角了（二）求解的值以确定解析式1、的作用（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关（2）：称为频率，与的周期相关，即（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点2、的常规求法：（1）：①对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到②对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解①如果相邻的两条对称轴为，则②如果相邻的两个对称中心为，则③如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围3、确定解析式要注意的几个问题：（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。二、典型例题：例1：化简：解：原式例2：化简：解：例3：解：方法一：拆开化简方法二：将视为一个整体，则例4：如图，函数的图像经过点，且该函数的最大值为，最小值为，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.思路：由题目所给最值可得，图中所给两个零点的距离刚好是函数一个周期的长度。所以，此时解析式为，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐标与的距离为，所以代入可得：，由可解得：，所以解析式为答案：A小炼有话说：（1）本题在求时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点，那么在的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。只要最值点可求，就用最值点求得（2）为什么不能用其它点？不妨以此题为例，代入零点求解再进行对比。代入可得：，从而在中的值有两个：，那么到底哪个是符合图像的呢？不妨再代入最值点验证，会发现时，，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出两个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到时，对应的角只有一个，而正弦值取到时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会出现多解问题。那么时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点和已知图像完全一致，只是在最值点处刚好关于轴对称。如果是曲线上的其它点也是会出现两个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对的取值范围刻画更加严格，那么代入非最值点也可得到唯一解。（3）本题除了可用纯代数方法计算，还可以利用图像变换得到的取