2024年高考数学一轮复习（新高考版） 8 .7 抛物线

§8.7抛物线

【考试要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握抛物线的简单几何性质（范围、

对称性、顶点、离心率）.3.了解抛物线的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点/和一条定直线/（/不经过点F）的距离相笠的点的轨迹叫做抛物线.点F

叫做抛物线的焦点,直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x1=2py(p>G)

方程

XK出

图形

/—p-i4V

范围x20,yGRxWO,yCRy20,x£R户0,xGR

像。）G'2)(o,-f)

焦点(-多°)

准线

丫_2

x~2x~2y-2y-2

方程

对称轴x轴y轴

顶点(0.0)

离心率e-=1

【常用结论】

1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2P.

2.抛物线）2=2外。＞0）上一点P（x°,阿到焦点造，0）的距离|PH=xo+g，也称为抛物线的

焦半径.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.（X）

（2）方程），=4f表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1,0）.（X）

⑶抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（X）

(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为f=4y.(V)

【教材改编题】

1.抛物线f=5的准线方程为()

A.产一七B.x=一点

C.产表D.x=上

答案A

解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为(0,专)，准

线方程为尸一七

2.过抛物线尸=4》的焦点的直线/交抛物线于P(X[,>'1),<2(X2，>2)两点，如果XI+》2=6,

则|PQ|等于()

A.9B.8C.7D.6

答案B

解析抛物线V=4x的焦点为F(l,0),准线方程为》=一1.根据题意可得，

|PQ|=|PF|+|Qf1=Xi+I+也+1

=川+及+2=8.

3.抛物线V=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点尸的距离|MQ=4,则抛物线的方程为()

A.y=8xB.产=4»C.y2=2xD.y2=x

答案B

解析由题意可得|Mfl=x“+g,

则3+^=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.

■探究核心题型

题型一抛物线的定义及应用

例1(1)(2022•全国乙卷)设尸为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点8(3,0),若依依

=|8月，则|A8|等于()

A.2B.26C.3D.3y[2

答案B

解析方法一由题意可知尸(1,0),抛物线的准线方程为x=-1.

设A停,他)，

则由抛物线的定义可知|AF|=¥+1.

因为|BF|=3—1=2,

7

所以由|盟=|明，可得于+1=2,

解得刈=±2,所以A(l,2)或A(l,-2).

不妨取A(l,2),

则|A剧=#1一3y+(2_0)2=m=2^2.

方法二由题意可知尸(1,0),故|8用=2,

所以|AQ=2.

因为抛物线的通径长为2P=4,

所以AF的长为通径长的一半，

所以AFLv轴，

所以|AB|=停两=m=272.

(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2^2px(p>0)±,抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的

一点P，IPM+IPF1的最小值为41,则p的值等于.

答案42或22

解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为。，

则|PQ=|P£»|,

\PM\+\PF\=\PM\+\PD\.

当点M,P,。三点共线时，

IPM+IPQ的值最小.

由最小值为41,得20+5=41,解得p=42.

当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点、P,M,尸三点共线时，|PM+|PQ的值最小.

由最小值为41,得[好+(20一阱=41,

解得p—22或p=58.

当p=58时，)?=[16x,点M(20,40)在抛物线内，故舍去.

综上，p=42或p=22.

②

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得

简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.

跟踪训练1⑴已知抛物线产〃后(心0)上的点(xo,2)到该抛物线焦点F的距离为右则m等

于()

A.4B.3C.1D.g

答案D

解析由题意知，抛物线了=机/(加＞0)的准线方程为y=一七，

根据抛物线的定义，可得点(尤(),2)到焦点F的距离等于到准线＞=一七的距离，

可得2+亲=¥，解得机=；.

(2)若P是抛物线V=8x上的动点，P到y轴的距离为4,到圆C：(X+3)2+。-3＞=4上动

点Q的距离为dz，则dy+d2的最小值为.

答案^34-4

解析圆C：。+3产+&-3尸=4的圆心为C(—3,3),半径r=2,

抛物线V=8x的焦点F(2,0),

因为P是抛物线y2=8x上的动点，P到y轴的距离为4,到圆C：(尤+3)?+。-3尸=4上动

点。的距离为刈，

所以要使最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，

如图，连接尸尸，FC,则小+必的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的

距离，

即,\J(—3—2)2+(3—0)2-2-2="\/34-4,

所以d\+di的最小值为五一4.

题型二抛物线的标准方程

例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

⑴准线方程为2y+4=0；

(2)过点(3,-4)；

(3)焦点在直线x+3y+15=0上.

解(1)准线方程为2y+4=0,即y=-2,故抛物线焦点在〉轴的正半轴上，设其方程为d

=2py(p>0).

又§=2,，2p=8,故所求抛物线的标准方程为f=8y.

(2);•点(3,-4)在第四象限，，抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为VnZpMp〉。)或r——2p\y(p\>0).

把点(3,—4)的坐标分别代入)2=23和『=一2口》中，得(一4)2=2p3,32=—2p「(一4),

169

则2〃=至，2P尸不

所求抛物线的标准方程为V=争16;或/=—九Q

(3)令x=0得y=—5；令y=0得x=-15.

.•.抛物线的焦点为(0,—5)或(一15,0).

所求抛物线的标准方程为9=-20)，或)2=-60乂

思维升华求抛物线的标准方程的方法

(1)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

跟踪训练2(1)如图，过抛物线V=2pxS>0)的焦点尸的直线依次交抛物线及准线于点A,B,

C,若山C|=2由且|A~=3,则抛物线的方程为()

23

AA.y=2X

B.)r—9x

C.

D.y2=3x

答案D

解析如图，分别过点A,8作准线的垂线，交准线于点E,D,

设|Bfl=a,则|BC]=2m由抛物线的定义得|BC|="，故/BC£>=30。，

在RtAACE中，21A£]=|AC|,

：|AE|=HF|=3,|AC|=3+3a,

・♦・3+34=6,解得a=l,

'JBD//FG,.•.-=1，

P3

,_3

,'P~2'

因此抛物线的方程为)?=3x.

(2)(2022•烟台模拟)已知点尸为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8,O

为坐标原点，若△OFP的面积为2/，则该抛物线的准线方程为()

A.x=—^B.x=~\

C.x=-2D.x=-4

答案B

解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点造，0),

将点P的横坐标代入抛物线得产=160，可得y=±45，不妨令尸(8,4W)，

则S△oFP=耳义；X4^\E=p\历=2y[:i,解得p=2,

则抛物线方程为V=4x,其准线方程为x=-l.

题型三抛物线的几何性质

例3(1)在抛物线V=8x上有三点A,B,C,尸为其焦点，且尸为△ABC的重心，则|AQ+

|BR+|CF|等于()

A.6B.8C.9D.12

答案D

解析由题意得，/为△ABC的重心，

->■2I-►—►]―►—►

故AF=gX](A3+AC)=](A3+AC),

设点A,B,C的坐标分别为但，yi),(X2,竺)，(X3,券)，

•・•抛物线V=8x,尸为其焦点，・・・p(2,0),

>—►

.,.AF=(2—xl,—yi),AB=(X2—XI,y2~yi),

A

AC=(X3—XI,y3~yi),

'：AF^AB+AC),

.,.2—Xi=g(X2—X1+X3-Xl),

**.X1+及+13=6,

布+|而|+|函=即+及+次+6=12.

（2）（多选）已知抛物线C：）2=2℃。>0）的焦点为F,直线/的斜率为小且经过点凡与抛物线

C交于A,B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D若[Af]=8,则以下结论正

确的是（）

A.p=4B.DF=M

C.\BD\^2\BF\D.18rl=4

答案ABC

解析如图所示，分别过点A,3作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E,M,连接EF.

设抛物线C的准线交x轴于点P,则|Pf]=p.因为直线/的斜率为小，所以其倾斜角为60。.

因为AE〃x轴，所以/E4F=60。，

由抛物线的定义可知，|AE|=|AW，

则△AEF为等边三角形，

所以NEFP=ZAEF=60°,

则NPEr=30。,

所以lAFlMlE/qMZIPMnZpng,得p=4,

故A正确；

因为lAEInlEflnZIPE，3.PF//AE,

所以F为A。的中点，则1亦'=丽，故B正确；

因为ND4E=60。，所以44DE=30。，

所以|BD|=2|8M=2出用,故C正确;

因为|8。|=2|8月，

1IQ

所以故D错误.

思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物

线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.

跟踪训练3（1）（2021・新高考全国1）已知。为坐标原点，抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为F,

尸为C上一点，尸尸与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQJ_OP.若尸。|=6,则C的准线方程

为.

3

答案x=-2

解析方法一（解直角三角形法）由题易得|OQ=§|PQ=p,NOPF=NPQF,

所以tanNOPF=tan/PQ凡

所以叽闿即2=2

m^\PF]~\FQ\,即p—6'

3

解得p=3⑦=0舍去），所以。的准线方程为尸一哀

方法二（应用射影定理法）由题易得|0月=，

[PF]=p,\PF^=\OF]-\FQ\,

即p2=?X6,解得p=3或p=0（舍去）,

3

所以C的准线方程为尸一宗

（2）己知尸是抛物线）?=16x的焦点，例是抛物线上一点，的延长线交y轴于点N,若3前

=2加，则|FN|=

答案16

解析易知焦点厂的坐标为（4,0）,准线/的方程为》=-4,如图,

抛物线准线与x轴的交点为A,作于点8,NCJJ于点C,

„AMN\\BM\-\CN\

AF//MB//NC,则扁=।丽-

由3FM=2MN,

,B\MN\_3

付Wf]一亍

又|CN|=4,\OF]=4,

所以圆途必=苧，|MF|=|BM|=y,需=|，

所以尸N|=16.

课时精练

以基础保分练

1.（2022.桂林模拟）抛物线C丁=一/的准线方程为（）

33

A.x=gB.x=­g

「3n3

c-y食D.产一§

答案A

解析户一方的准线方程为X=].

2.（2023・榆林模拟）已知抛物线』=200>0）上的一点M（xo,l）到其焦点的距离为2,则该抛物

线的焦点到其准线的距离为（）

A.6B.4C.3D.2

答案D

解析由题可知，抛物线准线为y=一多可得1+^=2,解得夕=2,所以该抛物线的焦点到

其准线的距离为p=2.

3.（2023•福州质检）在平面直角坐标系。孙中，动点尸（x,y）到直线尤=1的距离比它到定点

（-2,0）的距离小1,则/>的轨迹方程为（）

A.V=2xB.V=4x

C.y2=~4xD.V=_8x

答案D

解析由题意知动点P（x,y）到直线x=2的距离与到定点（一2,0）的距离相等，

由抛物线的定义知，尸的轨迹是以（一2,0）为焦点，x=2为准线的抛物线，

所以p=4,轨迹方程为V=-8工

4.（2022•北京模拟）设M是抛物线V=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，O是坐标原点，若

ZOFM=\20°,则由M等于（）

47

34C-D-

A.B.33

答案B

解析过点M作抛物线的准线/的垂线，垂足为点N,连接FW,如图所示,

因为/OFM=120。，MN〃x轴，则/FMN=60。，

由抛物线的定义可得|MN|=|FM，所以△FNM为等边三角形，则/FNM=60。，

抛物线V=4x的准线方程为了=-1,设直线x=-l交x轴于点E,则NENF=30。，

易知|EF|=2,NFEN=90。,则|FM|=|FN|=2|E£]=4.

5.（多选）已知抛物线）2=2*（p>0）的焦点F到准线的距离为4,直线/过点F且与抛物线交

于两点A（xi，yi）,8（x2，J2）>若M（，〃,2）是线段AB的中点，则下列结论正确的是（）

A.〃=4

B.抛物线方程为V=16x

C.直线/的方程为y=2x-4

D.|AB|=10

答案ACD

解析由焦点F到准线的距离为4,根据抛物线的定义可知p=4,故A正确；

则抛物线的方程为V=8x,

焦点尸（2,0）,故B错误；

则况=8x”另=8x2,

若M（九2）是线段A8的中点，则力+以=4,

8xi—8%2,

my'~y2-8_8_7

Xi—X2y\+y24，

...直线/的方程为y=2x—4,故C正确；

又由yi+y2=2（xi+及）—8—4,得制+及=6,

|A阴=|AF|+=闲+及+4=10,故D正确.

6.（多选）（2022・金陵模拟）在平面直角坐标系。孙中，点尸是抛物线C：>2="（〃>0）的焦点,

点48，1）,B（a,勿（b>0）在抛物线C上，则下列结论正确的是（）

A.C的准线方程为》=若

B.b=y]2

C.OAOB=2

D.焉+舟喈

答案BD

解析点A0，1)(a>0),B(a,与g>0)在抛物线C上,

T,

则解得1

=

b2=a2,,by[2,

产=啦》，A(坐，1),B(小,y/2),

则抛物线C：

抛物线C的准线方程为x=一乎，故A错误，B正确;

OA-OB=^Xy/2+lXy[2=l+y/2

,故C错误;

抛物线C的焦点0.

2+(0-1尸斗,

则依冏=

+(0-何=乎,

|防=

_____2y[2,2^216^2坊口下油

则|AF|十|8用一3+5—15，故D正确.

7.如图是抛物线形拱桥，当水面为/时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后,

水面宽.米.

4米

答案2班

解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为d=-2py(p>0),则点(2,—2)

在抛物线上，代入可得p=l,所以f=-2y当y=-3时，』=6,所以水面宽为入用米.

8.(2021•北京)已知抛物线C：y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点，且尸M=6,则

M的横坐标是,作轴于N,贝I」SAFMV=

答案54小

解析因为抛物线的方程为V=4x,

故p=2且尸(1,0),

因为尸M|=6,所以x”+§=6,

解得XM=5,

故)M=±2A/5,

所以SAF,W,V=1X(5-1)X2<5=4^5.

9.过抛物线C：，=20。>0)的焦点F作直线I与抛物线C交于A,B两点，当点A的纵坐

标为1时，忸月=2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线C上存在点时(一2,泗)，使得求直线/的方程.

解⑴抛物线C：/=2p,y(p>0)的准线方程为产一多焦点为《0,2).

当点A的纵坐标为1时，|An=2,

...l+g=2,解得p=2,

抛物线C的方程为』=4y

(2);•点M(—2,泗)在抛物线C上，

(-2)2

•••%=七，~=1,M坐标为(-2,1).

又直线/过点F(0,l),...设直线/的方程为y=fcv+l.

y=Ax+l,

由L

|』=4丫，

得%2—4fcr—4=0.

设A(xi,a),8(X2,”),

则X1+X2=4A,X|X2=-4,

MA=(x\+2,yi—1),

MB=(X2+2,y2-l).

.*.(Xi+2)(x2+2)+(j|—1)(y2—1)=0,

.,.-4+弘+4—43=0,解得％=2或无=0.

当％=0时，/过点M,不符合题意，；"=2,

.•.直线/的方程为y=2x+\.

10.已知在抛物线C：/=2外(。>0)的第一象限的点P(x,l)到其焦点的距离为2.

(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；

⑵过点(一1，0的直线/交抛物线C于A,B两点，若NAP8的角平分线与y轴垂直，求弦

AB的长.

解(1)由1+§=2,可得p=2,

故抛物线的方程为炉=4)，，

当>'=1时，/=4,

又因为x>0,所以x=2,

所以点P的坐标为(2,1).

(2)由题意可得直线/的斜率存在，

设直线/的方程为y=k(x+l)+],A(xi,yi),Bgyi),

'1

由，y；口kx—I—k十~沙得34-2=0,

=4y,

所以/=169+4(4k+2)>0,jq+x2=44，为l2=—4%—2,

因为NAPB的角平分线与)，轴垂直，

所以kpA+kpB=3

所以kpA+kpB=*~=0,

x\-2念一2

X2\.XI7

4-'4-1

即-7+—7=0,

X\—2XL?

即x\+X2+4=0,

所以％=—1,X\~\~X2=—4,XIM=2,

所以IAB]=y1+F|X]一及|=「1+W(X1+X2)2—4为念=4.

应综合提升练

11.(多选)(2023・唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，

沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后

必过抛物线的焦点.已知抛物线r：V=x,o为坐标原点，一束平行于x轴的光线/,从点

尸偌，1)射入，经过「上的点A。“)】)反射后，再经;•上另一点8(X2,”)反射后，沿直线，2

射出，经过点。，则下列结论正确的是()

A."2=-1

B.|AB|=||

C.P8平分248。

D.延长AO交直线x=—；于点C,则C,B,。三点共线

答案BCD

解析设抛物线的焦点为F,

则《，0).

因为据,1)

,且/i〃x轴，故A(U),

41

故直线4By=一旷尹一T

'=4_1

由“尹不可得：y2-%一；：。，

、产X，

故》”=一：,故A错误；

又yi=l,故”=一不

故唯，5)，

1125

故丛8|=1+讳+]=京，故B正确；

4125

因为|AP|=而一1=诧=|A3|,

故△AP3为等腰三角形，故/ABP=NAPB,

而八〃/2,故/PBQ=NAPB,

即/ABP=/PBQ,

故PB平分NA8Q,故C正确；

y=x，

直线A。：y=x,由，_1

可得《V，-4)1故优=)*

所以C,B,。三点共线，故D正确.

12.(2022・阜宁模拟)已知抛物线C：)2=2px(p>0)的焦点为凡