人教版六年级下册数学思维训练讲义-第十二讲 表面积和体积二 （含答案）

第十二讲表面积和体积（二）

第一部分：趣味数学

小石头求积记

小石头来到数学王国，想算算自己的体积。国王了解了小石头的来意后，把它介绍给了体

积大臣。

体积大臣朝小石头上下打量了一番,只见它圆不圆,方不方,遍体是棱,满身是角,沉思了半

天,与小石头商量说：“我看你还是先到石匠师傅那里去趟,加工成长方体也好,正方体也行,或

者是圆柱体、圆锥体，这样，我们就可以按照体积计算公式算出你的体积来了。”小石头听了，

不好意思地说：“不瞒你说,我刚从石匠师傅那里来,师傅说我是一块稀有金属矿石,浑身都是

宝，一加工,势必要造成损失。我今天来请教大臣,就我这个圆不圆方不方的不规则模样,能不

能帮我计算一下体积呢？”

体积大臣对小石头的这番请求感到有些为难,于是只好去向

数学王子请教。数学王子毕竟年轻有为,脑子灵活,见到小石头这

副模样，立即想起了古希腊数学家阿基米德用水测试皇冠含金量

的故事，就把小石头领进了圆柱体室。只见数学王子先在一只圆

柱体玻璃筒里倒进适量的水,量一量水的高度,画上标记;接着把

小石头放进这只盛水的玻璃筒里水的高度随即上升。数学王子让

体积大臣算出了上升部分的水圆柱体的体积。然后告诉小石头

说：“这一部分上升的水的圆柱体的体积就是你小石头的体积。

小石头得到了满意的答复,高高兴兴地谢别了数学王子。

第二部分：习题精讲

例题1:

有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别

沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水

池里，大水池的水面升高多少厘米?

分析:

3x3x0.06=0.54（米3）,而沉入小水池中

根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升

的碎石的体积是：

高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体

2x2x0.04=0.16（米3）.然后求出两块碎

积，所以应先求出两块碎石的体积.沉入在

石的体积和，再根据大水池的底面积，求出

中水池*6厘米=0.06米，4厘米=0.04米。也的水面升高的高度，解决问题.

3x3x0.06=0.54（米3）,

2x2x0.04=0.16（米3）,

0.54+0.16=0.7（米3）,

大水池的底面积是：6x6=36（米2）,

练习1:

1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎石分

别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎

石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？

2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方

体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？

3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大

正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积

例题2：

一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、

高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？

分析：这是有关圆柱体积的应用题,首先我们回忆一下圆柱体积的计算公式：

圆柱体积=底面积X高

1.解决这个题目的关键点是求出铁块的体积，明确放入铁块前后的水的体积不变。

2.放入铁块前后的水的体积不变,根据水深8厘米,可以先求得水的体积,那么放入铁块后,

容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度,减去原来没放入铁块的水深就是上升的高

度。

答案:

3.14x102x84-(3.14x102-8x8)-8,

=25124-250-8,=10.048-8,=2.048(

厘米），

答：水面上升了2.048厘米。

练习2：

1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。现把一个底面半径是1厘

米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（II取3）?

2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积市2平方里。在

这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？

3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长100厘米、底

面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米深。现在把铁棍轻轻地向上

方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米

例题3：

某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴着它一最

大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图28T所示）。

分析:

由图形可知：半圆锥的底面是个半圆，其半

径等于长方体的高和宽，设之为丁，已知长

方体的长是宽和高的2倍，则长为2r,根据

长方体的体积公式：。=就拉，再根据圆锥的

体积公式：v=^Sh,即可求出这个半圆锥的

体积.

答案：

设半圆锥的底面积半径（高和宽）为r,则

长为2r,

rxrx2r=24,

rxrx2r-=-2=244-2,

=12,

半圆锥的体积：

工x3.14xT2xrx--x3.14x12xi,=6.28

3232

立方米），

答：这堆面粉的体积是6.28立方米。

练习3：

1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是216立

方分米。求这个圆锥体的体积。

2、一个正方体的纸盒中如图28-2所示，恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。

纸盒的容积有多大（H取3.14）?

3、如图28-3所掷，圆锥形容器中装有3升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。这个容

器还能装多少水?

例题4：

一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把10包香烟包

装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包转念能够

纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？

分析：

这是一道计算长方体表面积的题目，熟练掌

握计算表面积的公式；

【解题方法提示】

长方体的表面积=（长X宽+长X高+宽X高）

x2,把数据代入公式，分别计算出各种包装

的表面积；

再根据整数大小比较的方法，比较出各种包

装方法用的包装纸的表面积，采用包装纸表

面积最小的比较合理。

答案：

10=10x1x1,10=2x5x1

对于10=10x1x1有以下三种包法:

(2x9x10+2x5x10+9x5)x2

=325x2

=650(平方厘米)

(5x9x10+5x2x10+9x2)x2

=568x2

=1136(平方厘米)

(9x5x10+9x2x10+2x5)x2

=640x2

=1280(平方厘米)

对于5x2x1有以下六种包法:

(2x5x5x2+5x9x2+9x2x5)x2

=2804-2

=560(平方厘米)

(5x9x5x2+5x2x5+2x9x2)x2

=536x2

=1072(平方厘米)

(9x5x5x2+9x2x5+2x5x2)x2

=560x2

=1120(平方厘米)

(2x9x5x2+2x5x5+9x5x2)x2

=320x2

=640(平方厘米)

(5x9x5+5x2x5x2+9x2x2)x2

=361x2

=722(平方厘米)

(9x5x5+9x2x5x2+2x5x2)x2

=425x2

=850(平方厘米)

560<640<650<722<850<1072<

1120<1136<1280,所以包装纸的大小是

560平方厘米的这种方案最合理。

练习4：

1、如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的

包装物，有几种包装方•法？怎样打包，物体的表面积最小？

2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。请你帮厂家设

计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？

3、如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打

包物体的表面积最小呢？

图28—4

例题5：

一只集装箱，它的内尺寸是18X18X18。现在有批货箱，它的外尺寸是1X4X9。问这只

集装箱能装多少只货箱？

答案：

18x(4x4)x184-(1x4x9)+18x2x164-(9x1x4)

,=51844-36+5764-36,=144+16,

=160(个)；

答：这个集装箱能装160个货箱。

分析：

按你的这个尺寸可以放160个货箱，18列4

排2层+4列2排2层=160个，计算即可解答问

题.

练习5：

1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。在这个盒

子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块？

2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下

一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽

可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

3、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体

无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？

第三部分：数学史

棱锥的认识

同学们，你知道什么是棱锥吗？它和棱柱和圆锥会不会有什么关系呢？

一般地，有一个面是多边形，其余各面都有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成

的多面体叫做棱锥。金字塔就是这种形状的！

金字塔是一种特殊的棱锥，它是正四棱锥。它的顶点在底面的射影是底面的中心。

它的底面是一个正方形，侧面四个三角形为全等的等腰三角形。其中，胡夫大金字塔的4

个斜面正对东、南、西、北四方，误差不超过圆弧的3分，底边长227米，倾角为51度

52分。塔高136.5米，相当于一座40层摩天大楼，塔底面呈正方形，占地5万平方米。

可见

胡夫大金字塔是四棱锥。

参考答案：

练习1:1.4厘米=0.04米11厘米=0.11米

（3x3x0.04+2x2x0.11）;（4x4）,

=0.8+16,=0.05（米），=5（厘米）；

答：大水池水面将升高5厘米。

2.V=30x20x5=3000（立方厘米）

3000+（3.14x10x10）=9.6（厘米）

答：应截取圆钢9.6厘米。

3.每个面的面积：54+6=9（平方厘米）；

96+6=16（平方厘米）；150+6=25（平方厘

米）

棱长：3；4；5.

体积：3x3x3+4x4x4+5x5x5=216（立方

厘米）

答：这个大正方体的体积是216立方厘米.

故答案为：

216立方厘米.

练习2：1.水的体积：15x3=45（立方厘米），

现在水面的高度：

454-（15-3x仔）=45+12

=3.75（厘米）

水面上升的高度：3.75-3=075（厘米）.

答：水面升高了0.75厘米。

9

小水的体积为：72x2.5=180（cm2）,

放入铁块后可以看作圆柱体的底面积为：

72—6x6=36（cm2）,

后来水面的高为：180-=-36=5（cm）；

答：这时水面高5厘米。

故答案为：5.

容器中水的体积为

（602—152）x50=168750（cm2）.

当铁棍提起后，仍浸在水中的部分的长为

（168750-602x24）+（602-152）

=24.4

（cm）.

维，露出水面的浸湿部分长为50-

舜，24.4=设正方体的棱长为z分米，

xxxxx=216（立方分米）

圆锥的体积=3.14xa:2x3

=3.14x2164-3

=226.08（立方分米）

答：圆锥的体积是226.08立方分米。

2,解：

正好能装下，所以这个圆柱体的直径与高是

相等的。

6.28x43.14

=2x4

=8立方厘米）

答:纸盒的容积有S立方厘米大。

3.画出圆锥内部的高线与底面半径A与液面的

半径r,这里组成了一个三角形，很显然r

与A的比是1:2,

设水的底面半径是1,则圆锥容器的底面半

径是2；

所以水的体积为：gxnxMx/二端

320

14

容器的容积为：-xnx22xh=-n/）.

oo

所以水的体积与容积之比是：

14

—nh：—nh=1:8,水的体积是3升，

63

所以容器的容积是3x8=24（升），

24-3=21（升）.

答：还能装下21升水。

练习4:1.

【答案】如图2所示的3x4方式打包或按图3所示的2x6的方式打包。

提示：12=3x4=2x6：根据生活经验知道12个长方体应包装成图2或图3的形

状，表面积会小一些,那么图2与图3的表面积究竟谁又会更小一些呢？就要

根据长、宽、高的大小来确定。

设长方体物品的长、宽、高分别是（图1）,比较“3x4”和“2x6”两种

包法，图2中大长方体表面积为8而+6ac+24bc①式。图3中大长方体的表

面积为4a/（+12ac+24bc②式。8«/»+6ac+24/»c=（4a/）+6<ie+24bc）+4M.4al>+

2-分六层，每层两件，长不变，宽是（