2023-2024学年辽宁省丹东市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省丹东市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.抛物线-=8y的准线方程为()

A.了=-1B.y=-2C.x=-\D.x=-2

【正确答案】B

【分析】由抛物线定义即可求.

【详解】由定义可知，抛物线f=8_y的准线方程为y=-14=-2.

故选：B.

2.学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名

同学选择，则不同的选择方法有()

A.A：种B.Cj种C.甲种D.3•种

【正确答案】D

【分析】由分步计数乘法原理即可求解

【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有丁种

故选：D

3.已知椭圆过点(0,2),焦点分别为耳(O,T),玛(0,1),则椭圆的离心率为()

A.；B.正C.—D.—

2325

【正确答案】A

【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.

【详解】设椭圆方程为4+W=l,右焦点为(c,0),由题有=1

“b[a2-b2=c2=\

c1

则。=2,故离心率为e=—=K

故选：A

4.己知空间向量1(-2,1,-4),6=(1,-1,2),工=(-7,-5,〃?)若，马,1共面,则实数加

的值为()

A.-14B.6C.-10D.12

【正确答案】A

【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.

-2=x-ly

【详解】由£,石，）共面，可设2=口+,，则＜1=一%-5y,

-4=2x+tny

17

x=~~

-2=x-ly17

由।「，解得J,代入第三个方程可得：_4=_?+£,解得加=74.

y=—

12

故选：A.

5.在正方体/BCD—44GA中，点E是。。的中点，则二面角E-8£-C的平面角的正

切值为（）

A.1B.5C.2D.2生

【正确答案】C

【分析1由题可得NEC,为二面角E-4C-C的平面角，后结合题目条件可得答案.

【详解】如图，因几何体为正方体，则用G，面qcoq,c°u面GC。。，则8c，£C,

又GEu平面GC。。，则故NE£C即为二面角E-4C-C的平面角.

过E做直线GC垂线，交qc于F,则尸为GC中点.

EP

故tanNEC尸=—=2

6.双曲线C：/?©。"）的焦点到渐近线的距离等于则双曲线C的渐近线方程

为（）

A.y[lx土夕=0B.x士\[2y=0C.x+y=OD.拒x+y=0

【正确答案】C

【分析】由点到直线距离公式可得a,6间关系，据此可得答案.

【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,右焦点为（c,0）,则

a

be

~r===a0b=a,故渐近线方程为x±y=0.

历

故选：c

7.如图所示为某公园景观的一隅，是由，4BCDE五处区域构成，现为了美观要将五处区域用

鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案

数为（）

ABC

D

E

A.216B.144C.128D.96

【正确答案】B

【分析】依次确定区域8、A、D、C、£的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】区域B有4种颜色鲜花可供选择，区域A有3种颜色鲜花可供选择，区域。有3种

颜色鲜花可供选择，

区域C、E各有2种颜色鲜花可供选择，

由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为4x3x3x2x2=144种.

故选：B.

8.已知圆O:f+V=16与圆C:X,+/+8x+6y+16=0交于Z,8两点，则四边形。4cB的

面积为（）

24

A.12B.6C.24D.—

5

【正确答案】A

【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由4-4,0）和C（-4,-3）可知。则四

边形O4CB的面积S=2SON=2xg.4Hze|,计算即可.

【详解】圆。：/+/=16,圆心坐标为。（0,0）,半径4=4,

圆/+8x+6y+16=0化成标准方程为（x+4『+（y+3『=9,圆心坐标为C（-4,-3）,

半径4=3,

圆。与圆C都过点（-4,0）,则/（-4,0）,如图所示，

又C（-4,-3）,：.OA1AC,由对称性可知，OBVBC,

OA=OB=4,AC=BC=3,则四边形O4CB的面积S=2S3c=2x；・|O4|=4x3=12.

故选：A

二、多选题

9.20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件

产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（）

A.C；,C；9B.C；C：+C；CgC.C：0-C]D.C；,C；9-C；C1

【正确答案】BCD

【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2

件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品（全

为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次

的情况（2个次品）.

【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：

抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法C[C3

抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法C；•C\；

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为C1C；8+CbC8,A错误，B正确；

间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为C：。，抽出的3件产品中没有次品（全

为合格品）的抽法为CL

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为C：o-C；8,C正确；

法二：先抽取I件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为C；-C：9,但2个次品的情况

重复一次，抽出2个次品的抽法为CbC；8，

故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为C1C；9-C，C；8,D正确：

故选：BCD.

10.若（1-X严2=7+罕+&》2+…+。2022%匹，则（）

A.册=1B.a,=2022

C.at+a2+---+a2O22=-1D.a0-a,+a2-a}+---+a2022=1

【正确答案】AC

【分析】对ACD,由赋值法可判断；对B,由二项式展开项通项公式可求.

【详解】对A,令x=0得%=1,A对；

对B,由二项式展开项通项公式可得第2项为

202I

T2=C^221（-X）'=-2022%=qx=4=-2022,B错

对C,令x=l得%+%+%+…+&022=0=6+%+…+%022=_%=T，C对；

对D,令x=—1得%—+。2—%+…+。2022=2~°~，D错.

故选：AC.

11.已知直线/：丘-2y-4k+l=0,则下列表述正确的是（）

A.当％=2时，直线的倾斜角为45。

B.当实数人变化时，直线/恒过点（4,；）

C.当直线/与直线x+2y-4=0平行时，则两条直线的距离为1

D.直线/与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4

【正确答案】ABD

【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误;

B选项，将直线方程整理为Mx-4)+1-2卜=0,由此可得直线所过定点：

C选项，由题可得人=-1,后由平行直线距离公式可判断选项；

D选项，分别令x，J=0,可得直线与歹轴，x轴交点为［4-p°

则围成三角形面积为5--^―-4--L后由基本不等式可判断选项.

【详解】A选项，当人=2时，直线方程为2x-2y-7=0,可得直线斜率为1,则倾斜角为45。,

故A正确;

B选项，由题可得A(x-4)+l-2y=0,则直线过定点(4,；),故B正确；

C选项,因直线/与直线……=。平行，蛆U=T则直线方程为:

-x-2y+5=0,即x+2y-5=0.则/与直线x+2y-4=0之间的距离为

|「4+5|=石

,故C错误;

?+225

1一4k

D选项，分别令X，y=0,可得直线与y轴，X轴交点为0,4-

2r°•

又交点在两坐标轴正半轴，则2n左<0.故围成三角形面积为

4-->0

k

1B-=2+(-4A)+£22+2卜&).士=4,当且仅当

-4A=,即％=-!时取等号.即面积最小值为4,故D正确.

-4k4

故选：ABD.

12.在棱长为2的正方体/BCD-44GR中，E,F分别是4B,8c边上的动点，旦满足

BE=ABA-&[0/，BF=pBC,〃目05.则（）

A.当2=〃=1时，正方体各棱与平面。区尸夹角相等

B.当X=g时，存在〃使得直线8Q与平面REF垂直

C.当〃=：时，满足E"=2EF的点E有且只有两个

D.当2=〃=，时，异面直线EF与与3的距离为Y5

22

【正确答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.

【详解】以D为原点，次，反，西的方向为x轴，V轴，z轴正方向建立如图所示的空间直

角坐标系，

则有0(0,0,0),0,(0,0,2),S,(2,2,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

当;1=〃=1时,£（2,0,0）,尸（0,2,0）,屏=（2,0,-2）,*=（0,2,-2）,

设平面。瓦"的一个法向量为专=贝卜n-D,E=2x-2z=0/、

(x,%z),1/，令z=l,则河=1,1,1,

n-DlF=2y-2z=0

西二(0,0,2),次=(2,0,0),反=(0,2,0),故K°s(西，研=同

理=|cos^Z）C,n^|=—

3

由此可得正方体各棱与平面AM夹角相等，A正确；

当;1=；时，£(2,1,0),0^=(2,1,-2),瓦方=(-2,-2,-2),贝ij丽.印=-4-2+440,即

D[E与6Q不垂直，

所以直线用。与平面〃£尸不垂直，B错误；

当〃=g时，尸(1,2,0),设E(2,6,0)(04642),由EA=2EF,有

22222

V2+/)+2=2A/1+(2-*),化简得3/-166+12=0，

A=162-4X3X12>0,々+b,=?>4,所以这样点E不可能有两个，C错误；

当人〃时，E(2,l,0),F(l,2,0),E尸的中点为G%，o)，郎的中点为“(LU),

WG=|-,y-1I,fF=(-1,1,0),。氏=(2,2,2),则=-§+彳=0,

府函=1+1-2=0,

所以//G是异面直线EF与BQ的公垂线段，且|而卜j+[j+(-1)2=等,

所以异面直线EF与鸟。的距离为巫，D正确.

2

故选：AD

三、填空题

13.已知异面直线相和CD的方向向量分别为次=(1,1,1),3=(-2,0,4)则异面直线N5和

C。所成角的余弦值为.

【正确答案】巫

15

【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.

同.51-24-0+41715

[详解】设异面直线AB和CD所成角为。,则cos。=鬲鬲=71+1+X4+0+16=1T-

故答案为.巫

15

14.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的

《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近

四百年.如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上

一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比

为3:5:5,则这一行是第行.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【正确答案】7

【分析】设这一行为第2〃+l("eN*)行，且这三个数分别为C£\、利用组合

数公式可得出关于〃的等式，解出〃的值，即可得解.

【详解】由题意可知，这一行为第2〃+l(〃eN，)行，且这三个数分别为C*、

^2”+1（2/z+l）!n!-（n+l）!=号=1解得〃=3,

由题意可得（〃_1）!（〃+2）「（2/7+J!

因此，这一行是第2x3+l=7行.

故答案为.7

15.平行六面体的底面是菱形，AB=2,44=4,AB=ZA.AD=60°,

线段4G的长度为2拒，则cosZDAB=.

【正确答案】g##0.5

【分析】利用空间向量基本定理得到离=荏+石+羽，平方后，利用数量积公式列出方

程，求出cos/DNB.

【详解】因为布=标+通+羽，

所以NG=(AB+AD+AA}^=AB+AD+AA1+2AB-AD+2AB-AA}+2AD-AA}

因为/8=/£)=2,AA,=4,4/8=4/0=60。，AC1二2拒,

所以4+4+16+8cos/8N£)+16cos60°+16cos60°=44,

解得.cosNB4D=；

四、双空题

v-22_

16.已知椭圆C:一•+\v=l(q>b>0),直线/与C在第一象限交于4,B两点,直线/与1轴

ab

和y轴分别交于M,N两点，且M4=N8,点E为48的中点，直线。£倾斜角的正切值为显,

2

OE=3,则直线/的方程为；椭圆C的离心率为.

【正确答案】y=--x+2y/3—

22

【分析】利用几何知识求出直线/的斜率，利用中点E坐标求出点〃坐标，即可得出直线/的

方程.设出点48坐标，利用点差法，即可得出椭圆C的离心率.

22

【详解】由题意，在C:二+与=l(a>b>0)中，MA=NB,BA=BE,

ab2

由几何知识得，直线/与直线0E关于点E所在x轴对称，

•••直线0E倾斜角的正切值为此,OE=3

2

，直线/的斜率为-1，

2

设上(4，豆)，

XE=y/6

则<，解得:

丝=也）£=6

:.E（瓜吟,M（0,2万）

'•l\y=-^-x+2y/i>

2

设力(网,必)，8(%,%),

则当+*=1，与+善=1，xt+x2=2xE=2>/6,必+%=2丹=2百

aba~h

A<L^+2£Z21=O,

a2b2

.（必+为）（%-%）_一

.从2月（啦11

,,/一2后［2）2,

22

••a=2b,即a=6tb，

•-c=>Ja2—h2=12b2—b?=b，

./、-cbV2

.•离心率.e=—=1—=-------

a42b2

故y=-#+25与

五、解答题

17.已知圆C的圆心在直线2x+y-6=0上，且与直线丁=》相切于原点.

(1)求原点(0,0)关于直线2x+y-6=0对称点的坐标；

(2)求圆C的方程.

【正确答案】葭)

(2)(x-6)2+(y+6>=72

【分析】(1)若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据

此可得答案；

(2)因圆C与直线N=x相切于原点，则圆C过原点，且圆心在直线V=-x上，又圆心在直

线2x+y-6=0上，可求得圆心坐标与圆的半径.

【详解】(1)设原点(0,0)关于直线2x+y-6=0对称点坐标为(所,％),则两个点的中点坐

标为停图.

•.•中点在直线2x+y-6=0上，得到：2%+%-12=0①.

又过两个对称点的直线与已知直线垂直，...-Zx江=-1,得2%=/②.

xo

联立①②解得对称点坐标为((2彳4,《12、卜

(2)过原点且与直线丁=》垂直的直线方程为y=-x,由题圆心在y=-x上.

[y=-xfy=-6/、

又圆心在直线2x+y-6=0上，联立直线：、<八='/，即圆心为6,-6.

[2x+y-6=0[x=6

由题原点在圆C上，则半径r=6近，则所求圆的方程为.(x-6>+(y+6)2=72

18.如图，在直三棱柱/8C-481G中，AC1BC,AC=BC=CQ=2.

⑴求点A到平面45G的距离;

(2)若点〃是棱8c的中点，求直线4"与平面ABC,所成角的正弦值.

【正确答案】(1)逑

3

⑵萼

【分析】如图，建立以C为原点的空间直角坐标系.

(1)求出平面Z2G的法向量心设点片到面28G的距离为"，则〃=一^

问

(2)设直线用M与平面48G成角正弦值为sin。，则sin®=卜《(瓦丽)卜n-B}M

同啊

【详解】(1)因为直三棱柱/BC-44储底面三角形/8C满足：AC1BC,

且4C=8C=CG=2,则以C为坐标原点，声的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系c-斗.

则8(0,2,0),A(2,0,0),C(0,0,2),B、(0,2,2),M(0,1,0),

存=(-2,2,0),不=(2,0,-2).设面的法向量为。=(x,y,z),

ii-AB=-2x+2y=0,、

则一',取万=1,1,1).

n-CiA=2x-2z=0

——|万•88122、万

又8耳=(0,0,2),设点用到面的距离为d,则^=壬=/色

|«|V33

(2)由题可得丽=(0,-1,-2),设6M与面ZBG的夹角为巴

则s*H"，啊=■(=舄=曝

19.双曲线cJ4=l(a>0/>0)的一条渐近线方程为尸瓜，且经过点工(2询.

(1)求C的方程；

(2)。为坐标原点，过双曲线C上一动点“(也在第一象限)分别作C的两条渐近线的平行

线为4，4且4，4与X轴分别交于P，。，求证：I。叩。。|为定值.

【正确答案】⑴工-仁=1

39

(2)证明见解析

【分析】(1)根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案;

(2)由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线44的直线方程,

求出。/的坐标，整理|。斗|。。|的表达式，利用整体思想，可得答案.

【详解】(1)•••渐近线为y=Ex,则2=6,b=®，：£上=\,

aa3a

43

A在双曲线。上，得一•-不亍=1解得/=3,

a3a

22

...曲线C的标准方程为三-匕=1.

39

(2)设点”坐标为(%,No)

则4：y-%=6(xr。)，得尸石犷。,0,则|。尸|=，7)'。,

同理：

l2：y-y0=-^(x-x0),得。，宵。,0,则|0°|=6.。,

则|附0@=凤二打虫厚%=3%亦

V33

又•.•点〃在曲线C上，.•.3/2-汽2=9

39

则|。外|。°卜宣宝=3，二得证|。斗|。。|为定值3.

20.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，过尸的动直线与C交于/,B两点.

(1)若直线的倾斜角为45。，求弦的长度；

⑵设48两点到x轴的距离分别为4，d2,求&+4的最小值.

【正确答案】(1)8

(2)4

【分析】(1)先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得卜"+%=：,然后用

〔必必=-4

弦长公式即可求解；

fV,4-y=4/w

(2)设直线的方程为x=2y+l,与抛物线联立可得3A,，所以

I%%=-4

4W=园间=4,然后用基本不等式进行求解即可

【详解】(1)由抛物线C：/=4x可得焦点尸(1,0),

当直线倾斜角为45"时，直线48的方程为尸x-1,

联立0[y==4x-x1化简得：卜任4=。，经验证2。成立,

%+为=4

设，(国,必),8(3力),此时

=-4

2。

：.\AB\^一对=4=8

(2)由题可知，直线的斜率不为0,又焦点网1,0),所以设直线的方程为》=叩+1,

IX=7WV+1、

联立\化简得：/_4〃沙-4=0,经验证A>0成立,

[y2=4x

%+%=4机

设4(%,%)，8(%,%)，此时

%乂=-4

由题可得：4=|对,&=|%|，则44=闻旧=4,

又4+d2>2^W即4+424,

当且仅当4=4=2,直线Z8与X轴垂直，即弦Z8为通径时等号成立,

所以&+4的最小值是4.

21.如图，PO是三棱锥P—/8C的高，PA=PB,AB1AC,E是PB上的动点.

(1)若OE〃平面P4C,请确定点E的位置，并说明理由；

3

(2)若/50=4,当E是P8中点，且二面角尸-48-C的正切值为万

时.求二面角C-4E-8的正弦值.

【正确答案】(1)E是5尸中点，理由见解析

咪

【分析】(1)通过证明三△PO5,得到。/=。8,再通过线面平行的性质，即可确定

点E的位置.

(2)建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面ZE8和面/EC的法向量，即可求出二

面角C-/E-8的正弦值.

【详解】（1）由题意，E是8P中点，理由如下：

延长80交/C于点连接尸。、0A,取中点“，连接QW.

V尸。/面ABC,：.ZPOA=ZPOB=90°.

又•：PA=PB,：./\POA=/\POB,：.OA=OB.

是N8中点，Z.OMLAB.

VACLAB,：.OM//AC,二。是8。中点.

又；O£u面8PD,面8P£）n面P/C=P。，

若0E〃面刃C,则由线面平行性质定理得OE〃PO.

是8。中点，二E是8P中点.

（2）由题意，以A为坐标原点，方的方向为x轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz,

由（1）,可知z轴在平面/OP内.

二BD=2OA=8,

：.AD=4,AB=4BAC=\2,

.•.O（2百,2,0）,8（46,0,0）,C（0,12,0）,

由（1）,可得POJ■平面Z8C,OMLAB,：.PMLAB,

NPMO为二面角P-AB-。的平面角，

3

tanZPMO=—

OM2

又OM=2,,PO=3,...尸（2道,2,3）.

・・・E是P5中点，・•・£

（36,1,1）,方=（40,0,0）,JC=（0,12,0）.

/.AE=

设平面4E8的法向量为工=(xj,z),

M-^E=3>/3X+7+|Z=0

则取万=（0,-3,2）.

«-J5=4>/3x=0

设平面NEC的法向量为而=(a,6,c)