2023年南充高中自主招生考试题及答案版

南充高中面向省内外自主招生考试

数学试卷（顺庆校区）

（考试时间：120分钟试卷总分：150分）

第I卷（选择.填空题）

一、选择题（每题5分，合计20分.下列各题只有一种对的的选项，请将对的选项的番号填

入答题卷的对应位置）

1、已知sina・cosa=L且45°<a<90°,则cosa-sina日勺值为

8

A.—B.--C.-D.±—

2242

2、若a,b,c为正数，已知有关x日勺一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等日勺实根，则方程

（a+l）x2+（b+2）x+c+l=0的J根日勺状况是（）

A、没有实根B、有两个相等日勺实根

C、有两个不等的实根D、根日勺状况不确定

3、已知半径为1和2日勺两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线日勺距离为

A.-B.-C.-D.3

432

4、下图的长方体是由A,B,C,D四个选项中所示日勺四个几何体拼接而成日勺，并且这四个

几何体都是由4个同样大小的小正方体构成日勺，那么长方体中，第四部分所对应日勺几何

体应是

二、填空题（每题5分，合计60分，请将答案填到答题卷的对应位置处）

5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得-2分.若小丽这次测

验得分是质数，则小丽这次最多答对题.

6、已知。0日勺直径AB=20,弦CD交AB千G,AG>BG,CD^16,AE1CD于E,BFLCD于F,

则NE-8月为

7、女图，两个反比例酶歹=和>=在第一象限

内日勺图象依次是G和G，设点。在G上，夕。”轴于点C,交G于点4

尸DLy轴干点Q,交G于点民则四边形尸/03的面积为

_f%2—y2=1

8、若二次方瞄组有唯一解，则k日勺所有也许

1歹=左。-2）+1

取值为

9、设正ZU8C的边长为2,〃是4g中点，。是8。边上任意一点，P4+PA%勺最大值和最小

值分别s为和t,则/"=

10、在AJ8C中，AC=,BC=,/3=在2010+2011贝1Jsin/・cosC=

1k已知〃也c为实数且4=］上=1则.华=

a+b3/7+c4a+c5ab+bc+ca

12、已知也448。日勺三个顶点48、。均在抛物线y=Y上，且斜边48平行于％轴，设斜边

上日勺高为h,则h日勺取值为

13、方程2x-，=2日勺正根个数为

X

14、已知,〃+6=4〃+2,曲=1,若1942+149曲+1962的值为，贝【J〃=

15、任意选择一种三位正整数，其中恰好为2日勺幕的概率为

16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起诸多人的爱好.1955年希腊发行了二枚以勾股图

为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形日勺

三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定

理.在右图的勾股图中，已知ZACB=9O°,

（第16题）

4BAC=30。，AB=4.作2XPQR使得4R=90。，点H在边

QR上，点D,E在边PR上，点G,F在边PQ上，那公APaR的周长等于

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要欧J阐明，证明过程和推演环节）

17.（本小题10分）能否在图中日勺四个圆圈内填入4个互不相似日勺数，使得任意两个圆圈中

数日勺平方和？假如能填,

18.（本小题12分）如图是一种长为400米日勺环形跑道，其中A,B为跑道对称轴上日勺两点,

且A,B之间有一条50米的直线通道.甲乙两人同步从A点出发，甲按逆时针方向以速度看

沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度为沿跑道跑步，当跑到B

时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步日勺时间足够长.求：

（1）假如匕：匕=3:2,那么甲跑了多少旅程后，两人初次在A点处相遇；

（2）假如匕：彩=5:6,那么乙跑了多少旅程后，两人初次在B点处相遇.

19.（本小题12分）已知：如图，BD为。。日勺直径，点A是劣弧般H勺中焉

AD交BC千点E,连结/A

⑴求证：AB2=AE-AD；

（2）过点。作。。日勺切线，与日勺延长线交于点凡

若AE=2,ED=4,求EF日勺长.

20.（本小题12分）3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴伴随就是海啸。

山坡上有一棵与水平面垂直日勺大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶

部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡日勺坡角乙4EQ23。，量得树干日勺倾斜角为

0C=38。,大树被折断部分和坡面所成H勺角口ZX?=60P/O=4m。

（1）求乙CMC日勺度数；

（2）求这棵大树折点C到坡面AE日勺距离？

（成果精确到个位,参照数据：&=1.4,由=1.7,6=2.4）.

21.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-1）日勺抛物线交歹轴于4点,

交x轴于8,C两点（点8在点C日勺左侧），已知〃点坐标为（0,3）0

（1）求此抛物线日勺解析式；

（2）过点8作线段48的垂线交抛物线于点。，假如以点C为圆心日勺圆与直线8。相切,

请判断抛物线日勺对称轴/与。C有怎样日勺位置关系，并给出证明；

（3）已知点尸是抛物线上的一种动点，且位于4,C两点之间，问：当点P运动到什么位

置时，AP/C的面积最大？并求出此时尸点的坐标和MZC日勺最大面积.

八

22.（本小题12分）如图1,在平面直角坐标系xOy中，以〉轴正半轴上一点/（0,⑼（机为

非零常数）为端点，作与歹轴正方向夹角为60。的射线/,在/上取点8,使48=4左（攵为正整

数），并在/下方作乙^3。=120。，BC=2OA，线段OC的中点分别为DE.

⑴当m=4,k=\时，直接写出8,。两点日勺坐标；

（2）若抛物线y=-+2石产+1）X+m日勺顶点恰好为D点,且DE=25,求抛物线日勺解析式

及此时cos乙OQE日勺值；

（3）当仁1时，记线段48,OC的中点分别为。，为；当Q3时，记线段48OC的中点分别

为。3,E3,求直线E向的解析式及四边形。用的面积（用含加时代数式表达）.

图1备用图

南充高中面向省内外自主招生考试答案

一、选择题：（每题5分，合计20分）

题号1234

答案BDBA

二、填空题：（每题5分，合计60分）

5.176.127.k\一左2

(2010尸

8.±19.4出10.

2011

]_

11.12.113.0

6

1

2或一3______27+1373_____

14._15._7nn16._

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的J阐明，证明过程和推演环节）

17.（本小题10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相似日勺数，使得任意两个圆圈中

所填日勺数日勺平方和等于此外两个圆圈中所填数日勺平方和？假如能填，请填出一种例;假

如不能填，请阐明理由。

解:不能填。...............................2分

理由如下：

设所填的互不W日勺4个数为a,b,c,d;!J.

弓CCZill

a2-hs2=范廿

a2+d2=c2+b:

cP+b2=c2+d"自

①一②得C。-42=/一c。即C。=/

由于：crd,只能是c=-d④

同理可得c2=b2由于c邦，只能c=-b⑤

比较④，⑤得b=d,与已知b*矛盾，因此题设规定的填数法不存在。........10分

18.（本小题12分）如图是一种长为400米日勺环形跑道，其中A,B为跑道对称轴上日勺两点,

且A,B之间有一条50米日勺直线通道.甲乙两人同步从A点出发，甲按逆时针方向以速度与

沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度＞，0;跑道跑步，当跑到B

时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步日勺时间足够长.多L

⑴假如巧：彩=3:2,那公甲跑了多少旅程后，两人初次J、点处相J乙J

⑵假如匕：彩=5:6,那么乙跑了多少旅程后，两人初次在B点处相遇r

解：（1）设甲跑了n圈后，两人初次在A点处相遇，再设甲、乙

两人日勺速度分别为匕=3加,%=2m

由题意可得在A处相遇时，乙跑步日勺旅程是幽・2加=出〃

3m3

因乙跑回到A点处，因此等〃应是250日勺整数倍，从而知n的最小值是15,此时，甲跑过

日勺旅程为400x15=6000（米）

故甲跑了6000米后，两人初次在A点处相遇.........................6分

（2）设乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米时，两人初次在B处相遇，设甲、乙两人

日勺速度分别为％=5见匕=6机，由题意可得4°的+2°°=250p+20°,^8£±4=5£±4

5m6m56

因此48q+24=25p+20,即48q+4=250（夕国均为正整数），P,4日勺最小值为4与2

此时，乙跑过昨J旅程为250x4+200=1200米

故乙跑了1200米后，两人初次在B点处相遇................................12分

19.（本小题12分）已知：如图，8D为。。的直径，点4是劣弧8C的中点，AD交BC干

A

点E,连结AB.尸

⑴求证：初=/EZD；（/

D

(2)过点。作。。日勺切线，与8C日勺延长线交于点E

若AE=2,ED=4,求EF日勺长.

(1)证明：如图4.

•••点4是劣弧8C的中点，

4BC=ADB...............................2分

又,:Z-BAD—Z-EAB,

:.AABE~AADB...................................4分

.ABAD

••-----=-------.

AEAB

AB2=AE-AD...................................................................................6分

（2）解：•••AE=2,ED=4,

:・AB2=AE,AD=AE（AE+ED）=2x6=12.

:.AB=2也（舍负）............................................................................................8分

••・为。。日勺直径，

:.ZJ=90°.

又：。歹是。。日勺切线，

:.DFLBD.

:.乙BDF=90。.

在RtAABDtanzADB=-=^-=^-,

AD63

:.乙408=30。.

:.Z-ABC=Z-ADB=30°.

:/DEF=，4EB=60°,

ZEDF=ZBDF-NADB=900-30°=60°.

Z-F=180°-ADEF-AEDF=60°.

ADEF是等边三角形.

:，EF=DE=4................................................................................................12分

20.（本小题12分）3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴伴随就是海啸。

山坡上有一棵与水平面垂直昨）大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树昨J顶

部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡日勺坡角乙4EF=23。，量得树干日勺倾斜角为血C=38°,

大树被折断部分和坡面所施勺角以0060^40=4111。

（1）求乙CMC日勺度数；

（2）求这棵大树折点C到坡面AE日勺距离？

（成果精确到个位,参照数据：及=1.4,也=1.7,76=2.4）.

解：⑴延长8Z交班1于点G.

在RtZUGE中，NE=23°,

AZGAE=67°.3分

又；NBAC=38：

AZCAE=180°-67°-38°=75°.............5分

（2）过点力作于点“，CMLKE于点M............6分

在中，ZADC=60°,AD=4,

cosNADC=也，；,DH=2................7分

AD

sinNADC=型，：.AH=2百..............8分

AD

在RtZUC“中，NC=180°-75°—60°=45°,…9分

:.AC=2瓜'CH=AH=243.............10分

••.CD=DH+CH=2上+2,在RtACDM中，4CDM=60°,sin4CDM=黑,.・.CM=3+Vi=5（米）

即这棵大树折点C到坡面AE日勺距离为5米.----------------------------12分

21.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-1）日勺抛物线交y轴于/点,

交x轴于8,C两点（点8在点。日勺左侧），已知4点坐标为（0,3）o

（1）求此抛物线日勺解析式；

（2）过点8作线段48日勺垂线交抛物线于点。，假如以点C为圆心日勺圆与直线8。相切,

请判断抛物线日勺对称轴/与。。有怎样的位置关系，并给出证明;

（3）已知点。是抛物线上的一种动点，且位于N,。两点之间，问：当点P运动到什么位

y

•••抛物线为/*4)-="".........3分

（2）答：/与。。相交.........................................................4分

证明：当;(x-4)2-1=0时，%)=2,x2=6.

22

:・B为(2,0),C为(6,0).AAB=V3+2=V13................5分

设。。与8。相切于点E,连接CE,则/8£。=90。=乙4。反

vZABD=90°,ANCBE=90°-NABO.

又；ZBAO=90°-ZABO,AZBAO=ZCBE.：•MOB〜ABEC....6分

,CE_BC.CE6-287分

OBAB2V13V13

•••抛物线日勺对称轴/为x=4,二。点到/时距离为2.

.•・抛物线日勺对称轴/与。。相交....................................8分

⑶解:如图，过点。作平行于夕轴日勺直线交4C于点0。

可求出4c日勺解析式为y=-gx+3.

设尸点日勺坐标为（阳，工--2加+3）,则0点日勺坐标为（机，--m+3）.

42

]]13

PQ=--w+3-（—m2-2加+3）=一1加2+—w.

11,3327

S^PAC=SSPAQ+S^PCQ=2X^-4+]加）*6=_]（加_3）~+彳,

.•.当〃2=3时，APZC日勺面积最大为卫.

4

此时，尸点的坐标为（3,.....................................12分

4

22.（本小题12分）如图1,在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点/（0,⑼（加为非

零常数）为端点，作与歹轴正方向夹角为60。的射线/,在/上取点8,使46=4左/为正整

数），并在/下方作乙48。=120。，BC=2OA，线段48,OC日勺中点分别为“E.

⑴当加=4,时，直接写出B,。两点日勺坐标；

⑵若抛物线卜=-一^2+也竺〃商顶点恰好为。点，且DE=2S,求抛物线日勺解析

k+23（4+2）

式及此时cos4OQEKj值;

⑶当E时，记线段45,OC日勺中点分别为5,&;当仁3时，记线段=8,OC的中点分别

为。3,石3,求直线E闽日勺解析式及四边形。Q百片日勺面积（用含小日勺代数式表达）.

解：（1）8点日勺坐标为（2百,6）......................................................1分

C点的J坐标为（6百,2）......................................................3分

⑵当AB=4k,40,⑼时，OA=m,与（1）同理可得8点日勺坐标为8（2限,2%+根），。点日勺坐标为

C（2®+百加,2左）.

如图8,过点8作V轴日勺垂线，垂足为F,过点。作X轴日勺垂线，垂足为G,

两条垂线的交点为H,作DM上FH于点M,EN1OG于点N.