2023-2024学年上海市部分学校高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023.2024学年上海市部分学校高三（上）开学数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知直线。：3x-（a+2）y+6=0,直线，2：ax+（2a-3）y+2=0,则“a=-9”是

*〃，2”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6：5：4,现用分层抽样

的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取人.（）

A.16B.18C.20D.24

3.已知角a的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）

A.sina,cosa,tanaB.sina,tana,cosa

C.sin2a,cosa,tan2aD.cos2a,sin2a»tan2a

4.对于某一集合4若满足a、b.任取a、b、都有“a、b、c为某一三角形的

三边长”，则称集合力为“三角集”，下列集合中为三角集的是（）

A.{x|x^AABC的高的长度}B.{x|0}

C.{x\\x-1|+|x—3|=2}D.{x\y=log2（3x—2）}

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.已知集合/={1,3,%},集合B={7,1}.若/uB=4,则实数％=.

6.复数z=i（2-i）,则|z|=.

7.已知%>1,求％的最小值是___.

x-1

8.已知抛物线y2=2p%（p>0）的焦点坐标为（2,0）,贝Up的值为.

9.在（2%+1）5的二项展开式中，/的系数是.

10.已知向量五=（一m,1,3）,b=（2,n,1）»若云〃石，则小九的值为.

11.在平面直角坐标系％Oy中，若角。的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边

与以点。为圆心的单位圆交于点则sin（28-方的值为.

12.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为.

13.某个品种的小麦麦穗长度（单位：an）的样本数据如下:10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、

9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,则这组数据的第80百分位数为.

14.函数y=3$仇2%+2/3s讥xcosx+cos?%,xe[0,，]的值域为.

15.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作(每项1人)，其中

甲不参加测温的分配方案有种.(结果用数值表示)

16.在面积为2的平行四边形中4BCD中，ND4B=3点P是4。所在直线上的一个动点，则

O

而2+正之一丽.正的最小值为.

三、解答题(本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题14.0分)

若数列｛2｝是等差数列，则称数列｛a“｝为调和数列.若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是

an

a和c的调和中项.

(1)求加1的调和中项；

(2)已知调和数列｛%｝,%=6,a4-2,求｛即｝的通项公式.

18.(本小题14.0分)

已知关于x的一元二次函数/'(x)=ax2—bx+1.

(1)若/(x)<0的解集为｛x[x<或x>1｝,求实数a、b的值.

(2)若实数a、6满足6=a+1,求关于x的不等式f(x)<0的解集.

19.(本小题14.0分)

如图所示，四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为菱形，且直线P4，平面4BCD,又棱24=4B=2,

E为C。的中点，JLABC=60°.

(I)求证：直线后4_1_平面。48；

(n)求直线4E与平面PCD所成角的正切值.

20.(本小题18.0分)

已知椭圆r：\+3=l(a>b>0)的长轴长为242，离心率为?，直线/与椭圆r有两个不

同的交点4，B

(1)求椭圆厂的方程；

(2)若直线1的方程为：y=x+t,椭圆上点M(-|W)关于直线I的对称点N(与M不重合)在椭

圆「上，求t的值；

(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆厂的另一个交点为C,直线PB与椭圆厂的另一个交点为D,若点

C,。和点Q(C)三点共线，求%的值.

21.(本小题18.0分)

已知函数/'(x)=(2—a)lnx+:+2ax(a<0).

(1)当。=0时，求/(x)的极值；

(II)当a<0时，讨论f(x)的单调性;

(皿)若对任意的aG(-3,-2),勺,X2£[1,3],恒有(m+ln3)a-2伍3>|/(勺)一/(&)|成立,

求实数小的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：直线小3%-(a+2)y4-6=0,直线ax4-(2a-3)y+2=0,

(3,(2fl-3)+(a+2),Q=0

vG//^2t-2-(a+2)-6-(2a-3)^0,解得a=-9.

则“a=-9”是“Z"%”的充要条件,

故选：C.

根据直线平行，充分必要条件的定义，判断即可.

本题考查直线平行，充分必要条件的定义，属于基础题.

2.【答案】4

【解析】解：高三年级学生的人数所占的比例为小工=2,

6十5十415

故应从高三年级抽取的学生的人数为：60x^=16,

故选：4.

用样本容量乘以高三年级学生的人数所占的比例，即为所求.

本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解:因为sin2a=cos2a•taMa,所以cos?。,s讥a,tan2a一定成等比数列,故选:D.

根据同角三角函数的关系，三项成等比数列的关系即可判断.

本题考查同角三角函数关系，等比数列的定义，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：对于4：当等腰三角形的顶角4B4C无限小时，且

底边上的高比较大，BE1AC,CF1AB,如图所示：

显然BE+CFCAD,故BE、CF、4D不满足三角形的三边，故

选项A错误；

对于B：由W<0,解得1Wx<2,任取与，且与2犯，则2M

+x2<4,0<xr—x2<又14%3V2,

所以％1-%2<%3V久1+即选项B成立；

对于C：因为—1|4~\x—31=2>当％Ml时，一(x—1)—(%—

3)=2,解得x=l；

当x23时，(x-l)+(x-3)=2,解得x=3；当l<x<3时(x-l)-(x-3)=2,即2=2恒

成立，所以l<x<3；

综上可得1<%<3,BP[x||x-1|+|x-3|=2}={x|l<x<3},

令。=/?=1,c=3,显然a+b<c,不满足a,b,c为某一三角形的三边长，故选项C错误；

对于。：因为y=log2(3x-2),所以3x-2>0,解得工>|,所以{%|y=log2(3x-2))={x\x>|],

令a=b=l,c=3,显然a+b<c,不满足a,b,c为某一三角形的三边长，故选项。错误.

故选:B.

利用特殊三角形判断选项A,解分式不等式即可证明选项B；利用零点分段法解方程，求出选项C

所对应集合，再利用特殊值排除选项G根据对数的性质求出选项。的集合，再利用特殊值排除

选项。.

本题以新定义为载体，综合考查了不等式及方程的解，三角形的边长关系，对数函数的性质的应

用，属于中档题.

5.【答案】或0

【解析】解：集合4={1,3,行，集合B={%2,1},AUB=4

BQA,

■■X2=3或=X,

解得x=±q,或x=0,或x=1(舍).

故答案为：±V"?或o.

由4UB=4得BU4从而/=3或/=x,再由集合中元素的互异性能求出结果.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】<5

【解析】解：•••z=i(2-i)=l+2i,

•••\z\=Vl2+22=5-

故答案为：<5.

利用复数代数形式的乘除运算化筒，再由复数模的计算公式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

7.【答案】5

【解析】【分析】

直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值.

本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题.

【解答】

解：由于x>l,所以x-l>0,

所以x+言=(%-1)+言+122J(x-1).言+1=5，

当且仅当x=3时，等号成立.

故答案为：5

8.【答案】4

【解析】解：由于抛物线/=2Px(p>0)的焦点坐标为(2,0),

所以与=2,p=4.

故答案为：4.

根据抛物线的焦点坐标求得p的值.

本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

9.【答案】80

【解析】【分析】

本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.

利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中/的系数.

【解答】

解:设求的项为。+1=%(2x)5-r,

今r=2,

333

T3=2C1x=80x.

・•・二的系数是80.

故答案为：80.

10.【答案】-2

【解析】解:va.//b>且k=(一m,1,3),b=(2,n,1)>

/.-一-m=-1=一3,

2n1

解得m=-6,n=I，

mn=—2

故答案为：-2.

根据向量共线定理的坐标式，建立方程，即可求解.

本题考查向量共线定理的坐标式，方程思想，属基础题.

11.【答案】

【解析】解：由题意知，cosd=-|,

所以sin(29-今=-COS26=-(2cos26-1)=1-2cos20=1-2X(-|)2=

故答案为:去

运用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式计算即可.

本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题.

12.【答案】•兀

【解析】【分析】

本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题.

根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，勾股定理得出圆锥的高，代入

体积公式计算即可.

【解答】

解：设圆锥的底面半径为r,则2nr=2兀，.,・丁=1.

，圆锥的IWJh=V22—I2=A/-3.

••・圆锥的体积V=^nr2h=

故答案为：浮兀.

13.【答案】10.8

【解析】解:数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、

11.7,共有12个,

所以12x80%=9.6,

所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.

故答案为：10.8.

将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.

本题考查百分位数的运算，属于基础题.

14.【答案】[1,4]

【解析】解：y=3sin2x+2\/~^sinxcosx+cos2%=2sin2x+2V_3sinxcosx+1=1—cos2x+

y/~3sin2x+1=y/~3sin2x—cos2x+2=2sin(2x-1)+2,

因为xe[0,刍，

所以〃-旌V片]，

所以sin(2x—S)61],

所以2sin(2x—看)+26[1,4].

故答案为：[1,4].

结合二倍角公式、辅助角公式可得y=2sin(2x-J)+2,再根据x6[0,刍及三角函数的性质求值

域即可.

本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质，属于基础题.

15.【答案】96

【解析】解：从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作(每项1人),

则甲不参加测温的分配方案有盘房=96种，

故答案为：96.

由排列、组合及简单计数问题，结合乘法原理求解即可.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了乘法原理，属基础题.

16.[答案]2A/--3

【解析】解：取BC的中点Q,连接PQ,

则而+正=2而，

则而-PC=\[(PB+PC)2-(PB-PC)2]=1(4|PQ|2-|CB|2),

~PB2+PC2-RB-PC=(PB+PC)2-3PB-PC=4|PQ|2-^(4|PQ|2-|CB|2)

4

22

=\PQ\+l\BC\>2\PQ\-^-\BC\=^~1\PQ\-\BC\>>^SABCD=2c.

当且仅当|PQ|=?|BC|且PQ1BC时取等号.

故答案为：2c.

取BC的中点Q,连接PQ,可得丽之+时一方.同=।翅|2+:|正『，结合基本不等式与四边

形面积公式可得最小值.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了基本不等式的应用，属中档题.

17.【答案】解：设加1的调和中项为b,依题意得：3、21依次成等差数列，

5D

所以：==2、即b=

b22

(2)依题意，｛；｝是等差数列，设其公差为d,

an

3d=AQd="

所以a/+3T)d=t+(吁1)巨明

故M=磊，

【解析】(1)根据题意得到3、p1成等差数列，从而得到方程，求出b=：,得到答案；

(2)根据题意得到©•｝是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，进而得到｛an｝的

通项公式.

本题是新定义题型，主要考查利用定义求等差数列通项公式，等差中项的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)v/(x)<0的解集为｛洌尤<一：或x>1｝,

•••a<0,与1是一元二次方程ax?-bx+l=0的两个实数根，

(2),・•b=a+1,关于％的不等式/(%)<0化为：ax2一(a+1)%4-1<0,

因式分解为：(ax-1)(%—1)<0,

当a=1时，，化为(％—I)2<0,则第G0；

当时，i<l,解得3<XV1，不等式的解集为｛%弓<%V1｝；

OVa<l时，i>1,解得，>%>1,.,•不等式的解集为>1｝；

。<0时，不等式(ax-1)(%-1)<0化为：(%-：)(x—1)>0,解得％>1或％V，

不等式的解集为｛%|%V%或%>1｝.

【解析】(1)由/(%)V0的解集为｛%[%V或%>1｝,可得QV0,与1是一元二次方程Q/-

hx+l=0的两个实数根，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出.

(2)由b=a+1,关于x的不等式/(x)<。化为：ax2-(a+l)x+1<0,因式分解为：(ax-l)(x-

1)<0,对a分类讨论即可得出.

本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推

理能力与计算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：v/.ADE=/.ABC=60°,ED=1,AD=2,

••.△4EC是以乙4ED为直角的直角三角形；

XvAB//CD,EAJLAB；

又P4_L平面ABC。，E4u平面力BC。，

•••EA1PA-.

S.ABQPA=A,AB,P4u平面P4B,

•••EA，平面P4B；

(2)如图所示，连接PE,过4点作4H1PE于H点，

因为PA_L平面4BCC,CDu平面4BCD,

所以CO1PA,

又•••CCJ.E4且PAnEA=A,PA,E4u平面PAE,

CDJL平面PAE；

又AHu平面PAE,

.-.AH1CD；

又AHIPE,且CDClPE=E,

AH1平面PCO,

NAEP为直线4E与平面PCD所成角

在Rt△PAE中，•••PA=2,AE=VAD2-DE2=V_3.

.„nPA22/3

•11tan^AEP=AE=71=--

【解析】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是

基础题目.

(1)只需证明直线E414B,且E41P4即可；

(2)先证明AH1平面PCD,得出41EP为直线4E与平面PCD所成角，在Rt△P4E中计算tan乙4EP的

值.

20.【答案】解：⑴由椭圆「：务，=l(a>b>0)的长轴长为2「,离心率为?,可得2a=2/3,

即Q=A/-3,

又e=£=冬，解得c=q,则b=V3—2=1,

a3

2

则椭圆「的方程为^■+y2=1：

(2)联立+：；2*=3可得4/+6tx+3产-3=0,

由4=36户-16(3/-3)>0,可得一2<tV2.

设N(a,y()),则=-+、。)=\("。一|)+3解得%o=,-3Vo=《一即N(g—一|)，

又N在椭圆上，可得超T)2+(£—|)2=L解得t=2(舍去)或t=

则2=1;

(3)设4(%1，为),3(%2，丫2)，可得资+3*=3,%3+3退=3,

又P(—2,0),

则直线P4的方程为y=含。+2),与椭圆方程/+3y2=3联立，

可得(7+4/)％2+(12—4xf)x—(7x1+12%J=0,

则x”c=一受著，即有和=一筌詈，yc=含(心+2)=君五，

Bnr,r_7打+12力、

即0(—7+4必'7+4%i)'

同理可得D(-筌岩，悬)，

又QT，»所以近=(看，第濡>⑪=(品Q筌翦)，

由题意可得近〃而，

|.||i1.2,2_7_4_2_2y「7_44.1

人14(7+4勺)•2(7+4X2)-2(7+4%!)'4(7+轨2)'

化简可得%-、2=2(X1-*2)，

则孑=2,即有k的值为2.

xl-x2

【解析】(1)由椭圆的长轴长和离心率，可得a,c的值，再由a,b,c的关系，可得b,进而得到

椭圆的方程；

(2)联立直线，的方程与椭圆方程，运用判别式大于0,可得t的范围，再由点关于直线的对称的知

识，求得N的坐标，代入椭圆方程求得t的值；

(3)设做与,yQ,B(x2,y2),结合椭圆方程，求得直线P4的方程，与椭圆方程联立，解得C的坐标，

同理可得。的坐标，由向量共线的坐标表示，化简整理，结合直线的斜率公式，可得所求值.

本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题.

21.【答案】解：(I)依题意知/。)的定义域为(0,+8),

当a=0时，/(%)=2lnx+f'(x)=|-^=筝，

令(㈤=0,解得x=：,

当0cxeg时，yz(x)<o；

当x>凯寸，f'(x)>0.

又=2/n|+2=2-2ln2,

.,•/(x)的极小值为2-2，n2,无极大值.

(H)/(x)=y-1+2a

_2ax2+(2-a)x-l_(2X-1)(QX+