河南省郑州市第四中学2023-2024学年九年级上册数学期末经典试题含解析

河南省郑州市第四中学2023-2024学年九上数学期末经典试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）

2g

A*-----B.—C*------D.

3535

2.在同一坐标系内，一次函数丫=ax+b与二次函数y=;'x?+8x+b的图象可能是

-X

D.H/

1^\x

3.如图，AB是。。的直径，D,E是半圆上任意两点，连4妾AD,DE,AgBD相交于点C,要使AADC与ABDA相似

,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是（）

玲

A.ZACD=ZDABB.AD=DEC.ADAB=CDBDD.AD2=BDCD

4.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与AA&G相似的是（）

5.阅读理解：已知两点加（西,%），N（%,%），则线段MN的中点K（x,y）的坐标公式为：x=二,y=丐&.如

图，已知点。为坐标原点，点A（—3,0）,。0经过点A，点3为弦Q4的中点.若点则有满足等式：

/+62=9.设3（〃?,〃），则相,〃满足的等式是（）

m-3y~+如9

A.m2+n2=9

C.(2m+3)2+(2/?)2=3D.(2m+3『+4/=9

6.如图，在,ABC中，中线AD,BE相交于点F,EG〃BC,交于AD于点G,下列说法①BE>=2GE；②A尸=2ED；

③AGE与3Z邛面积相等；④4?尸与四边形DCEF面积相等.结论正确的是（）

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④

7.设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为g,那

么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球.（游戏用球除颜色外均相同）（）

A.4B.5C.6D.7

8.小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏.若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）

1221

A.-B.—C.—D.一

3392

9.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为g,点

A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为（）

A.（3,2）B.（3,1）C.（2,2）D.（4,2）

4

10.关于反比例函数》=--的图象，下列说法正确的是（）

X

A.经过点（-1,-4）

B.图象是轴对称图形，但不是中心对称图形

C.无论x取何值时，y随x的增大而增大

D.点（；，-8）在该函数的图象上

11.已知关于x的一元二次方程q（x—2）2+c=O的两根为玉=-2,乙=6,则一元二次方程以2-2OX+Q+C=（）的

根为（）

A.0,4B.一3，5C.一2，4D.一3,1

12.在下列各式中，运算结果正确的是（）

A.x2+x2=x4B.x-2x=-x

C.x2»x3=x6D.（x-1）2=x2~1

二、填空题（每题4分，共24分）

k

13.如图，四边形。ABE中，NO45=NB=90。，点A在工轴上，双曲线y二二一过点尸，交A8于点E,连接若

X

BF2

豆=5,s“6,则女的值为一

y.

14.若/_3》+1=0,则代数式依2一3办+Q+2019的值为.

15.将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是.

16.在平面直角坐标系中，抛物线>=好如图所示，已知4点坐标为（1,1）,过点A作441〃x轴交抛物线于点为,

过点4作AIA2〃OA交抛物线于点①，过点①作A2&〃x轴交抛物线于点4,过点4作4/4〃04交抛物线于点

A4,过点A4作44〃X轴交抛物线于点AS，则点&的坐标为.

17.已知二次函数的顶点为（0,0）,且经过p（2,2）,将该抛物线沿X轴向右平移，当它再次经过P点时，所得抛物线

的表达式为.

18.如图，有九张分别印有如下车标的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同）现将带图案的一面朝下摆放，从中任

意抽取一张，抽到的是中心对称图形车标卡片的概率是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知关于X的方程*”.，卜@-二H虬

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数二的取值范围；

（2）若该方程的一个根为1,求。的值及该方程的另一根.

20.（8分）今年我县为了创建省级文明县城，全面推行中小学校“社会主义核心价值观，迸课堂.某校对全校学生进行

了检测评价，检测结果分为A（优秀）、8（良好）、。（合格）、。（不合格）四个等级.并随机抽取若干名学生的检测结果

作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图.

请根据统计表和统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次随机抽取的样本容量为;

（2）统计表中。=,b=.

（3）若该校共有学生5000人，请你估算该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数.

3

21.（8分）如图，抛物线y=ax2+5x+c（a^O）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于

点D,已知点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,2）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如

果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形

CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.

22.（10分）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为

25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量》（台）和销售单价》（万元）满足如图所示的一次函数关系.

（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售

单价应是多少万元？

23.（10分）已知：如图，抛物线丁=0?+公+6与x轴交于点3（6,0）,C（-2,0）,与），轴交于点A.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点P是线段A8上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB.设的面积为S.点P的横坐标为〃？.

①试求S关于m的函数关系式；

②请说明当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？

③过点P作x轴的垂线，交线段AB于点。，再过点P做尸石〃工轴交抛物线于点E,连结OE,请问是否存在点P使

△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（T,1）,8（—3,1）,C（-l,4）.

（1）将一A6C绕着点8顺时针旋转90。后得到VABC-请在图中画出VA]G；

（2）若把线段BC旋转过程中所扫过的扇形图形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥底面圆的半径（结果保留根号）.

25.（12分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,

再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：

（1）两次取出的小球标号相同；

（2）两次取出的小球标号的和等于4.

26.如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度AB的长，他过A、3两点画两条相交于点。的射线，在射线上取两点

O、E,使型=丝=3,若测得OE=37.2米，他能求出A、8之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请

OB0A2

你帮他设计一个可行方案.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【详解】过B点作BD_tAC,如图，

由勾股定理得，AB=712+32AD=V22+22=272»

AD2>/2275

cosA=—-=1—=-----，

AB晒5

故选D.

2、C

【分析】x=0,求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a>0,然后确定出一次

函数图象经过第一三象限，从而得解.

【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b,

所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；

由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，

所以，a>0,

所以，一次函数丫=2*+1）经过第一三象限，

所以，A选项错误，C选项正确.

故选C.

3、D

【详解】解：VZADC=ZADB,ZACD=ZDAB,

/.△ADC^ABDA,故A选项正确；

VAD=DE,

AD=DE，

NDAE=NB,

/.△ADCSABDA，.,.故B选项正确；

VAD2=BD»CD,

/.AD：BD=CD：AD,

/.△ADC^ABDA,故C选项正确；

•/CD・AB=AC・BD,

/.CD：AC=BD：AB.

但NACD=NABD不是对应夹角，故D选项错误，

故选：D.

考点：1.圆周角定理2.相似三角形的判定

4、B

【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【详解】解：因为AABCi中有一个角是135。，选项中，有135。角的三角形只有B,且满足两边成比例夹角相等,

故选B.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

5、D

【解析】根据中点坐标公式求得点8的坐标，然后代入满足的等式进行求解即可.

【详解】点A（—3,0）,点点3（加,〃）为弦Q4的中点，

:.m=-—-3+-a.n=0+Z?

22

:.a-2m+3,〃=2〃，

又。力满足等式：4+〃=9,

A（2m+3）2+4/?=9,

故选D.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式.

6、D

【分析】为BC,AC中点，可得AE=EC,3E>=DC;由于GE.8C,可得A£：AC=1:2；可证班>=2G£故①正确.②

由于GE:8O=1:2,则GF：FD=l:2可证A尸=2尸D,故②正确.设SGEF=x,,可得

SMF=4x,SAM=8x,SAGE=3x,S四渤陟^柘=8x可判断③错，④正确.

【详解】解：①•••2E为BC,AC中点，

:.AE=EC,BD=DC;

GEBC,

:.AE:AC=i:2t

.-.GE:CD=l:2,GE:BD=l:2,:.BD=IGE.故①正确.

②GE:BD=\-.2,:.GF-.FD=\-.2,

G4:G£）=1:1,..AF:也>=2:1,AF=2尸£>,故②正确.

③④设SGEF=X，则SBDF=4x,SABF=8x,5ACE=3x,S四哪OC'EF=",

故③错，④正确.

【点睛】

本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系.

7、A

【分析】利用概率公式，根据白球个数和摸出1个球是白球的概率可求得盒子中应有的球的个数，再减去白球的个数

即可求得结果.

【详解】解：•.•盒子中放入了2个白球，从盒子中任意摸出1个球是白球的概率为:，

.•.盒子中球的总数=2+；=6,

其他颜色的球的个数为6-2=4,

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率公式的应用，灵活运用概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.

8、A

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可

求得答案.

【详解】解：画树状图得：

开始

小华笑剪刀布

，拽月石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布।

•.•共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，

31

小华获胜的概率是：-=

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9、A

【详解】•••正方形ABC。与正方形8E/G是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为g,

*_A_D_1

*._=«

BG3

VBG=6,

：.AD=BC=2,

'：AD//BG,

：30ADs4OBG,

•0A1

,,丽=3，

OA1

••~=-9

2+OA3

解得：OA=1,OB-3,

••.C点坐标为：（3,2）,

故选A.

10、D

k

【分析】反比例函数^=、（人工0）的图象k>0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k<0时

位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则

可.

4

1y—=—8

【详解】..•当x时，)4

22

...点(1，-8)在该函数的图象上正确，故4、5、C错误，不符合题意.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质及代入求点坐标是解题的关键.

11、B

【分析】先将斗=-2,%=6代入一元二次方程。(x—2)2+c=()得出。与。的关系，再将。用含。的式子表示并代

入一元二次方程ax2一2ox+a+c=()求解即得.

【详解】•.•关于x的一元二次方程“。一2)2+。=0的两根为苞=-2,赴=6

/.a(6-2)2+c=0^tz(-2-2)2+c=0

.,.整理方程即得：16a+c=0

c——16a

将c=T6。代入苏-2ux+a+c=0化简即得：x2-2x-15=0

解得：芯=-3,x2=5

故选：B.

【点睛】

本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数

的一元二次方程.

12、B

【分析】根据合并同类项、完全平方公式及同底数幕的乘法法则进行各选项的判断即可.

【详解】解：A、炉+炉=勿2,故本选项错误；

B、x-2x=-x,故本选项正确；

C、x2»x3=x5,故本选项错误；

D、(x-1)2=/-2x+l,故本选项错误.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了合并同类项、完全平方公式及同底数幕的乘法运算等，掌握运算法则是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【分析】过点F作FCLx轴于点C,设点F的坐标为（a,b）,从而得出OC=a,FC=b,根据矩形的性质可得AB=FC=b,

BF=AC,结合已知条件可得OA=3a,BF=AC=2a,根据点E、F都在反比例函数图象上可得EA=g,从而求出BE

然后根据三角形的面积公式即可求出ab的值，从而求出k的值.

【详解】解：过点F作FCJ_x轴于点C,设点F的坐标为（a,b）

，OC=a,FC=b

■:AOAB=NB=AFCA=90°

，四边形FCAB是矩形

:.AB=FC=b,BF=AC

BF2

22

:.BF=-OA,^AC

AOC=OA-AC=-OA=a

3

解得：OA=3a,BF=AC=2a

...点E的横坐标为3a

•••点E、F都在反比例函数的图象上

:.k=ab=3a・yE

bb

・••点E的纵坐标九二§,即EA二§

2b

・•.BE>=AB-EA=—

■:S^EF=6

:.LBE・BF=6

2

12

即上xW/?x2a=6

23

解得：ab=9

；.k=ab=9

故答案为：1.

【点睛】

此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函数比例系数与图形的面积关系和三角

形的面积公式是解决此题的关键.

14、2019

【分析】所求的式子前三项分解因式，再把已知的式子整体代入计算即可.

【详解】解：VX2-3x+l=0>改2-3or+a+2019=。卜2—3x+1）+2019=ax0+2019=2019.

故答案为：2019.

【点睛】

本题考查了代数式求值、分解因式和整体的数学思想，属于常见题型，灵活应用整体的思想是解题关键.

15、y=x*+l

【解析】分析：先确定二次函数y=x-1的顶点坐标为（0,-1）,再根据点平移的规律得到点（0,-1）平移后所得

对应点的坐标为（0,1）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

详解：二次函数y=x>-1的顶点坐标为（0,-1）,把点（0,-1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0,1）,

所以平移后的抛物线解析式为y=X*+l.

故答案为y=x'+l.

点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析

式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移

后的顶点坐标，即可求出解析式.

16、（-3.9）

【分析】根据二次函数性质可得出点4的坐标，求得直线为尸X+2,联立方程求得人的坐标，即可求得4的坐

标，同理求得4的坐标，即可求得人的坐标.

【详解】点坐标为（1,1）,

工直线04为尸x,Ai（-1,1）,

,：AXA2//OA,

直线AiA?为y-x+2,

y-x+2|x=-lx-2

解，得：或

.y=%Iy=iy=4

•♦&（2,4）,

••43（-2,4）,

'：AiA4//OA,

直线43A4为j-x+6）

y=x+6f%=-2fx=3

解，得：/或c

y=x"[y=4[y=9

，4(3,9),

.,.A5(-3,9),

故答案为：(-3,9).

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的

关键.

11、2

17,=-4x+8^y=-(x-4)-

【分析】由二次函数解析式的顶点式写出二次函数坐标为、=数2,将点P坐标代入二次函数解析式，求出”的值，

如图，抛物线向右平移再次经过点P,即点P的对称点点Q与点P重合，向右移动了4个单位，写出抛物线解析式即

可.

【详解】由顶点坐标(0,0)可设二次函数解析式为y=at2,

将P(2,2)代入解析式可得a=；,

1,

所以y=]X,

如图，图像上，点P的对称点为点Q(-2,2),

I17

所以抛物线解析式为y=5V一以+8或），=5（x-4厂

112

故答案为丁=吊/一4%+8或），=5（X—4）-.

【点睛】

本题主要考查二次函数顶点式求解析式、二次函数的图像和性质以及二次函数的平移，本题关键在于根据题意确定出

向右平移的单位.

1

18、—

9

【分析】首先判断出是中心对称图形的有多少张，再利用概率公式可得答案.

【详解】共有9张卡片，是中心对称图形车标卡片是第2张，则抽到的是中心对称图形车标卡片的概率是［,

故答案为：

【点睛】

—事件A可能出现的结果数

此题主要考查了概率公式和中心对称图形，关键是掌握随机事件的概率（）

APA一所有可能出现的结果数.

三、解答题（共78分）

19、（1）a<3；（2）a的值是一1,该方程的另一根为-3.

【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；

（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.

试题解析：（1）Vb2-4ac=22-4xlx（a-2）=12-4a>0,解得：aVl,

a的取值范围是a<l；

（2）设方程的另一根为xi，由根与系数的关系得：

1+x,——2a——1

<c，解得：/

1-x,=a-2[X]=-3

则a的值是-1,该方程的另一根为-1.

20、（1）100;（2）30,03;（3）1500人

【分析】（1）用B组的人数除以B组的频率可以求得本次的样本容量；

（2）用样本容量XA组的频率可求出a的值，用C组的频数除以样本容量可求出b的值；

（3）用5000XA组的频率可求出在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数.

【详解】解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35+035=100,

故答案为：100;

（2）a=100x0.3=30,

b=30+100=0.3,

故答案为：30,0.3:

（3）5000x0.3=1500（人）,

答：达到“A（优秀）”等级的学生人数是1500人.

【点睛】

本题考查条形统计图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答.

1333535

21、（1）y=--x2+—x+2（2）（二，4）或（二，37）或（二，--）（3）（2.1）

’2222222

【解析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可.

（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP=CD时，②当DP=DC时，分别求出点P坐标即可.

（3）如图2中，作CM-LEF于M,设+/+；a+2）J,则

1,3f1>1,

EF=--a'+—a+2-\~—a+2\=--a~+2a,（o<a<4）>根据SMI彩CDBF=

乙乙\乙J乙

SABCD+SACE计5人!《^=36。・。。+（£尸-。/+3£7入6%,构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

,3

a.----Fc—0

【详解】解：（1）由题意2

f=2,

,_1

解得《“一5

c=2.

1）3

・•・二次函数的解析式为y=—大/++z

当DP=DC时，6[1'|），《|，-1

综上所述，满足条件的点P坐标为（g,4

（3）如图2中，作CNLLEF于M,

・,・直线BC的解析式为y=-gx+2,设+2尸]〃,一；〃？+3々+2）

S四边形CDBF=SABCD+SACEF+SABEF="BDtOC+—EF•CM+—EF•BN,

222

51/12-、1乙J12c1

=—+—a——a~+2(7——a+2。，

22I2J2I2J

-a2+4/。+—5,

2

_(a_2)2+],

13

・・・a=2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为一，

2

AE(2,1).

【点睛】

本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思

想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题.

22、（1）丁与“的函数关系式为y=-5x+200；（2）该设备的销售单价应是27万元.

【分析】⑴根据图像上点坐标（28,60）,（32,40）,代入股履+代用待定系数法求出即可.

（2）根据总利润=单个利润x销售量列出方程即可.

【详解】解：（1）设）'与x的函数关系式为＞=履+匕,

60=28女+上k=-5,

依题意，得，解得1

40=32%+。力=200.

所以）'与％的函数关系式为y=-5%+200.

(2)依题知(％-25)(-5%+200)=130.

整理方程，得％2—65x+1026=0.

解得玉=27,々=38.

■:此设备的销售单价不得高于35万元，

:.%=38（舍），所以x=27.

答：该设备的销售单价应是27万元.

【点睛】

本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.

32

加-+2T7

23、(1)y——+bx+6；(2)①S—2-，②当m=3时，S有最大值，③点P的坐标为(4,6)或(5-J万，

3V17-5).

【分析】(1)由＞=。。-6)(%+2)=〃(/一4%一12),贝!)J2a=6,求得a即可;

(2)①过点P作x轴的垂线交AB于点D,先求出AB的表达式y=-x+6,设点尸1根,-g根？+2〃?+6),则点D(m,

-m+6),然后再表示S=—xPDxOB=3PD-3——m2+2m+6+777-6=—二m?+9m=——(m-3)2H-----即可;

4^

②由在S=—?(“一3丫+卫中，—：＜0,故S有最大值；

222

③4PDE为等腰直角三角形，则PE=PD,然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4,即

-^7?z2+2m+6+m-6=|2m-4|求得m即可确定P的坐标.

【详解】解：(1)由抛物线的表达式可化为丁=仆2+陵+6=。*—6)(尤+2)=。12一4元一12),

则・12a=6,解得：a=——■＞

2

故抛物线的表达式为：y=--x2+bx+6；

-2

设点根，-5加2+2机+6),则点D(m,・m+6),

/tt2+2m+6+w-6j=-|zM2+9w=-|(m-3)2+y；

S=-xPDxOB=3P