2023-2024学年江西省高一年级下册2月月考数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省高一下册2月月考数学试题

一、单选题

1.已知集合A={x|言B={X\2<X<4,X^Z},则AB=()

A.[2,3]B.(2,3]C.{2,3}D.{3}

【正确答案】D

【分析】首先解分式不等式得到厶={划2<》43},再求AcB即可.

x-3

【详解】A=<0,xe/?>=>A={x|2<x<3),

B={x|2<x<4,xeZ}={2,3,41,

所以AcB={3}.

故选：D

2.已知命题p：+'oeR,x；-x。+1<（）,那么命题P的否定是（）

A.叫eR,x；-X。+1<0B.切eR,x：-x（）+120

C.VxeR,x2-x+l>0D.VxeR,x2-x+1<0

【正确答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案.

【详解】“玉KR,片一曲+1<0”的否定是“VxeR,X2-X+1>O，>.

故选：C

3.函数/（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）

A.（0,）B.[1,1]C.（U）D.（2,3）

【正确答案】C

【分析】利用零点存在定理可判断出函数y=/（x）的零点所在的区间.

【详解】易知函数y=/（x）在（o,+8）上单调递增，

X/（l）=-l<0,/（2）=ln2+2>0,

故函数y=/(x)的零点所在区间为(1,2).

故选：c.

'2x''+\,x<\,

4.设函数〃x)=।i则/(7(O))的值为()

log2[尤+

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】A

【分析】根据函数解析式得到"0)=2-'+1=|,/(〃0))=/(|),代入解析式求解即可.

【详解】/(0)=2'+1=|,/(./-(0))=/[|]=log^|+|p

故选：A.

5.已知某种树木的高度/⑺(单位：米)与生长年限，(单位：年，fcM)满足如下的逻

辑斯谛(Logisfic)增长模型：%)=]+，2，其中。为自然对数的底数，设该树栽下的时

刻为0,则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为()

A.2年B.3年C.4年D.5年

【正确答案】C

【分析】根据题意，列方程，即可求解.

【详解】由题意可得，令/⑺=;6=3,即1+/6，+2=2,解得：=4.

l+e

故选：C

6.若函数=在R上单调递减，则实数”的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+<»)C.D.(0,(

【正确答案】D

【分析】要保证函数=在R上单调递减，需使得log“x,x>l和

[-4ax+\,x<l,

+都为减函数，且x=l处函数值满足-4“xl+121og,1,由此解得答案.

|1O2^X,X>\

【详解】由函数F(X)=r,八在R上单调递减,

0<a<1

可得一4“<0,解得Ova4丄，

4

-4axl+l>logrJ

故选：D.

7.已知。>0,。>0,。+2匕=1,则下列选项错误的是()

A.0<。<〈B.T+4b>2V2C.他的最大值是:D.二十"的最小值是

28

5

16

【正确答案】D

【分析】根据题意求出人的范围可以判断A,然后结合基本不等式判断B,C,最后消元通过

二次函数的角度判断D.

h>01

【详解】对A,।正确；

[a=]-2b>02

对B,2"+4〃N2,2“・4"=2A/2心=2品,当且仅当2"=4"时取"=”，正确；

对C,ab=-xax2b<-(^^]=-,当且仅当a=2匕=>〃=:力=丄时取口”，正确；

2212丿824

对D,由题意，a2+h2=(\-2b^+h2=5b2-4b+l=5^-^+1,由厶可知0<〃<丄，所

以巒+从€(I),错误.

故选：D.

8.关于x的方程/+侬+1=0在[0,2]内有解，则实数机的取值范围()

A.(—,-2]B.[2,-KO)C.卜8，-|D.5

—,+00

2

【正确答案】A

【分析】当x=0时，显然不成立，当X€(0,2]时，分离变量，利用导数求得函数的单调性

与最值，即可求解.

【详解】当x=0时，可得1=0显然不成立；

当xe(O,2]时，由于方程X2+侬+1=0可转化为％=-—-%，

1I1_V2

令丁=——X,可得=

xx~X

当o<x<i时，y>o,函数单调递增；当i<x<2时，y<o,函数单调递减,

所以当X=1时，函数y=-丄-X取唯一的极大值，也是最大值，

X

所以其皿=-2,所以丁4-2,即加《-2,所以实数机的取值范围(--一2］.

故选：A.

二、多选题

9.下列说法中正确的有()

A.若a>b,c>d,则

B.若实数满足。<b<。，则〃2>/

C.Pa,beR,都有。+力

D.若a,be(O,M),则2+

ab

【正确答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性质判断选项A、B；利用基本不等式判断选项C、D.

【详解】A.a>6,od,-d>-c=>a-d>b-c,所以A正确.

B.a<b<O,:.a2-b2=(a+/?)(a-Z?)>0,故B正确.

C.当a,b为负数时，a+622。不成立，所以C错误.

D.a，%«0,+8),则纟+屋2\口=2,当且仅当时等号成立，故D正确.

ab\ab

故选：ABD

10.某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法、讲宪法“宪法小卫士

活动的完成情况，对本校2000名学生的得分情况进行了统计，按照［50,60)、［60,70)、L、

［90,100］分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是()

频率

A.图中的x值为0015

B.这组数据的平均数为77

C.由图形中的数据，可估计75%分位数是85

D.80分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有80人获得该称号

【正确答案】BC

【分析】由直方图的面积之和为1可判断A选项；求出平均数可判断B选项；求出75%分

位数可判断C选项；计算出该校获得金牌小卫士称号的人数可判断D选项.

【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知0.05+10无+0.35+0.3+0.1=1,解得x=0.02,

A错；

对于B选项，这组数据的平均数为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,B对;

对于C选项，0.05+0.2+0.35=0.6<0.75,0.05+0.2+0.35+0.3=0.9>0.75,

所以，设这组数据75%分位数为。，则”€(80,90),则0.6+(4-80)x0.03=0.75,解得a=85；

对于D选项，由频率分布直方图可知，该校获得金牌小卫士称号的人数为2000x0.4=800人,

D错.

故选：BC.

11.设若"x)-a=0有三个不同的实数根，则实数°的取值可以是

()

A.yB.1C.-1D.2

【正确答案】AB

【分析】先作出函数的图像，0有三个不同的实数根，化为函数

'ya<o)

/«={,,八与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.

log3x(x>0)

3*(x<0)

【详解】解：作出函数h,八图像如下：

|log3x|(x>0)

又a=0有三个不同的实数根，

'3"(x<0)

所以函数/(》)=hI八与直线>有三个交点,

［|log3x|(x>0)

由图像可得

故选：AB

12.我们把定义域为［0,+8)且同时满足以下两个条件的函数段)称为“Q函数”：(1)对任

意的xG［0,+oo),总有y(x)K)；(2)若定0,y>0,则有式x+y闫㈤火)成立,下列判断正确

的是()

A.若f(x)为“。函数”,则"0)=0

B.若/(x)为“。函数”，则/(x)在［0,+8)上是增函数

f0,xe<9,

C.函数g(x)=,八，在［0,+8)上是函数”

D.函数g(x)=x?+x在［0,+8)上是“。函数”

【正确答案】AD

【分析】利用赋值法及条件可判断A,验证“。函数”条件可判断B,取犬=>=兀，则

gS)=g(2兀)=1可判断c,验证“。函数”条件可判断D.

【详解】取x=y=O得至U〃O)2〃O)+/(O),即“0)40,又对任意的x£［0,+s),总有

/(x)20,故/⑼=0,A正确；

由题知/(x)=l(xN0),满足“。函数”条件，段)为“Q函数”，但於)在［0,+8)上不是增函数,

故B错误；

g")=ilx任取户广加，则晨兀)=以2")=1,不满足g(x+y)*g(x)+g(y),故C错

误；

g(x)=x?+x在［0,+8)上单调递增，故g(xL=g(O)=O,即g(x)20,又

g(x+y)=(x+»+(x+y)=(x2+x)+(y2+y)+2Ay=g(x)+g(y)+2Ay,所以

g(x+y)Zg(x)+g(y),故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13.已知/(108力=6+1，贝U/(4)=.

【正确答案】10

【分析】令Iog3X=4,解得x,计算即可得出结果.

4

【详解】/(log3x)=^+l,令l%x=4,解得:%=3=81.

"4)=病+1=10.

故10.

14.函数/(幻=111卜2-2》-3)的单调递减区间为.

【正确答案】(-北一1)

【分析】令，=x2-2尤-3,则y=lnf.根据复合函数单调性的判断方法即可得出答案.

【详解】令f=V_2x_3,贝l」y=lnf,

由f>0,得x<-l或x>3,故函数的定义域为(9,—1)=(3,女).

因为y=ln，在（0,+e）单调递增，一2工一3在（T»,T）单调递减,

所以函数/（1）=広任一21-3）的单调递减区间为（华,-1）.

15.利用随机数表法对一个容量为90,编号为00,01,02,89的产品进行抽样检验,

抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数

表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是

18180792454417165809798386196206765003105523640506

26623897758416074499831146322420148588451093728871

23424064748297777781074532140832989407729385791075

52362819955092261197005676313880220253538660420453

37859435128339500830423407968854420687983585294839

【正确答案】75

【分析】根据随机数表法进行抽样即可.

【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62,符合；第二个

编号为38,符合；第三个编号为97,大于89,应舍去；下一个编号为75,符合.

所以读出的第3个数是：75.

故75.

四、双空题

16.已知/⑺="厶2+1若"。）=2,则/（一。）=；若

/\

flog,x2-l>0,则实数X的取值范围是.

k3>

【正确答案】一2岑］

【分析】先判断函数的奇偶性，由/（。）=2求解；再根据函数的单调性，由/“ogiY-lJwO

求解.

【详解】因为f（x）的定义域为R,且

22~x-l1-2X

/(-x)=In^Vx+1-xj4-H--------

2一"+12A+1

=-ln^TTTl+xj+1;—J=-/（x）,所以f（x）是奇函数，

又/（a）=2,则a）=-2；

因为y=In（GTT+尤）,y=1一9]■在（0,卄）上是增函数，

所以/（X）在（0,+8）上是增函数，又/（力是R上的奇函数，

所以/（加4厶117+q+1_套1在R上递增，且f（0）=0,

所以由flog,x-1>0,得bg产2-藤°,

即logix-21ogI彳，所以，

33

解得-34x<0或0<x43,

33

所以实数x的取值范围是-理,0

故-2,

五、解答题

17.计算求值

213

⑴logs27xlog96+log166+e"

⑵log48-log丄3-loge4

【正确答案】（1）11

⑵-2

【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；

（2）根据对数的运算性质计算即可.

2ln3ln9

【详解】（1）log827xlog,64-logl66+e=log23x1log36x4log62+e

=2log23xI。­2+9=21og23xlog32+9=11.

唸3

⑵log48-log|3-log^4=|log22,^log33_41og^^2=|+l_4=_2

18.已知集合A={x|a+14x43a-5},集合B={x|141og2x44}

⑴当“=4时，求他A)c3；

(2)若,求实数。的取值范围.

在①Ac@B)=0；②“xeA”是“xeB”的充分条件；8)这三个条件中任选一

个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】⑴低A)cB={x|2Vx<5或7<xW16}

⑵447

【分析】(1)根据集合的补集与交集定义运算即可；

(2)选①②③中任何一个，都可以转化为A=讨论A=0与A00求解即可.

【详解】⑴化简集合8={却勺0氏彳44}有8={目2<x<16}

当a=4时，A=1A|5<X<7J,则。4={川尤<5或x>7}

故低A)cB={x[24x<5或7<xW16}

(2)选①②③中任何一个，都可以转化为A=B

(i)当A=0时，“+1>3。-5,即a<3时，AcB

(ii)当AX0时，

+1«3。-5

若则L+l>2,解得34aK7

[3«-5<16

综上(i)(ii),实数。的取值范围是a<7.

19.已知函数/(x)=x2.

⑴当时，不等式/(x)<(2-a)x—l+a恒成立，求实数〃的取值范围；

(2)解关于x的不等式."X)<Mx-l)+x(Ze/?)

【正确答案】(1)[2,内)；

(2)答案见解析.

【分析】(1)由题设可得进而可知在恒成立，即

可求参数范围.

(2)题设不等式等价于讨论£1的大小并根据一元二次不等式的解法求

解集即可.

【详解】(1)当x€(―1,1)时/(x)<(2—a)x-l+。，得x?+(a—2)x+1—a<0,即

(x-l)[x-(l-a)]<0.

由xe(—1,1),贝ij一2<x-l<0,

x>\-a,即x-l>-a,

/.-2>-a,即。22,

实数”的取值范围是[2,E).

(2)由B|Jx2-^k+l)x+k<0,g|J(x-l)(x-/:)<0,

①当左«-8,1)时，不等式的解集为化1)；

②当k=l时，不等式的解集为0；

③当Ze(l,+«>)时，不等式的解集为(1«).

综上，当荘(口』)时，不等式的解集为(火/)；当％=1时，不等式的解集为；当壮。,用)时,

不等式的解集为(1次).

20.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某

校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次

历史测试成绩(满分100分)按照[。,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,1(刈分成5组,

制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中«的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数.

(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分

的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在［0,20),［80,100］的学生

中选取5人,再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.

【正确答案】(1)0.0075；準

频率“

【分析】(1)根据旃*组距=频率和频率总和为1计算出a的值；频率分布直方图中中位

数左右两边的直方图面积相等都为0.5,由此列式即可计算出中位数;

(2)根据频率分布直方图计算出成绩在［0,20),［80,100］的学生频数，根据分层抽样规则计

算出对应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.

【详解】(1)(0.005+0.01+0.015+0.0125+«)x20=l,解得a=0.0075

设中位数为x,因为学生成绩在［0,40)的频率为20X(0.005+0.01)=0.3<0.5,在［0,60)的频

率为20x(0.005+0.01+0.015)=0.6>0.5

所以中位数满足等式0.005x20+0.01x20+0.015x(x-40)=0.5,解得x=?

故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为号.

(2)成绩在［0,20)的频数为0.005x20x100=10

成绩在［80,100］的频数为O.(X)75x2()xl(X)=15

按分层抽样的方法选取5人，则成绩在［0,20）的学生被抽取生5=2人，在［80,100］的学生

被抽取挤5=3人

从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为"1=白，故这2人中至少有1人高

C5

19

考选考历史科目的概率为尸=1一5=..

21.2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且岀现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、

拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整

个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不

能有丝毫放松.在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品.已知某口罩的固定成本为200

万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，x为年产量（单位：万箱）；已知

1,八

—9+360x,0<x<60

2

P(x)=，.通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内

410x+^^-3000,x>60

X

生产的商品能全部售完.（利润=销售收入-总成本）

（1）求年利润与y（万元）关于年产量M万箱）的函数关系式;

（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大.

—x~+40x200,04x<60

2

【正确答案】（l”h

-l0x-^^+2800,尤260

x

(2)90万箱

【分析】（1）分04x<60,xN60两种情况，结合利润=销售收入-总成本公式，口卩可求解.

（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分类讨论求得最大值后比较

可得.

【详解】（1）当04x<60时，

1,1,

y=400%——x2-360^-200=——x2+40x-200,

22

当xN60时，

y=400x-410x-^^+3000-200=-10x-+2800,

xX

--x2+40x-200,0<x<60

故y关于x的函数解析式为y={