2023-2024学年大连市16中高二数学上学期期中试卷附答案解析

2023-2024学年大连市16中高二数学上学期期中试卷

2023.11

（满分150分考试，时间：120分钟.）

一、单选题（每题5分）

1.已知椭圆C的焦点在*轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点尸3°）,则C的标准方程为（）

2.与圆尤2+丫2=1及圆V+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在（）

A.一个椭圆上B.双曲线的一支上C.一条抛物线上D.一个圆上

22

—3—=l（a>0,b>0]

3.若双曲线6-的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）

A.小B.6C.④D.2

4.经过原点和点（3，一1）且圆心在直线标+?-5=°上的圆的方程为（）

（5丫2_25

22222+v

A（%-5）+（^+10）=125„（x+l）+（y-2y=5„（%-1）+（j；-2）=5D1/3J--9

5.点尸在圆V+，2=4上运动，点Q在直线3x-4y+机=0上运动，若的最小值是2,则加的值为（）

A.10B.±1°C.20D.±2°

22

C：—+-^-=1（«>/?>0）pF

6.已知椭圆。。的左、右焦点分别是《，4,A,B是椭圆C上关于原点对称的两点,

且M=3阿I,若4A6=90。，则椭圆c的离心率是（）

7775710

A.16B.4c.8D.4

5

7.设椭圆G的离心率为13,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线°?上的点到椭圆G的两个焦点的距离的

差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（）

----=1-------=1-------=1--------=1

A.169B.16925c.916D.169144

8.已知月是椭圆C的一个焦点，3是短轴的一个端点，线段,的延长线交椭圆C于点。，且3尸=2即,

1

则椭圆C的离心率为（）

y/3V31y/2

A.3B.2C.3D.2

二、多选题（每题5分）

C：—+/=1Fp

9.设椭圆2的左右焦点为右，生,P是C上的动点，则（）

e.逅

A.1^1+1^1=272B.离心率,2C,短轴长为2,长轴长为4D.』我附不可能是钝角

10.已知圆C:犬+y2_4x+2y+l=0,下列说法正确的是（）

A.点仅⑼在圆C内部

B.圆c与圆Y+V=1相交

C.过点加（3用的直线与圆c相交，弦长为2—,则直线方程为x=3或12尤-5广16=°

1+2>8

D.若机«>0,直线如一股一1=°恒过圆C的圆心，则机n恒成立

cZ_£-i

11.已知双曲线.916的焦点分别为与氏,则下列结论正确的是（）

A.渐近线方程为3%±4丁=°

B.双曲线C与椭圆259的离心率互为倒数

C.若双曲线C上一点尸满足附上2附则△2/笆的周长为28

D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6

2

%y2

12.已知双曲线/一炉一乂">°'>°）的左、右焦点分别为用心，P为双曲线上一点，且归团=2|%|,

sinZFPF

若4,则下面有关结论正确的是（）

Ae=A/5B.e=2c.b=亚（1pb=6a

三、填空题（每题5分）

13.若圆。：/+/-2〃1+4'+1=0关于直线x+y—l=0对称，则此圆的半径为

2

e=@

14.已知双曲线的离心率2，且该双曲线经过点（2,2石），则该双曲线的标准方程为

[■+^-=1（机>0）e=L

15.已知焦点在y轴上的椭圆"4"的离心率2,A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点,

则归W的最大值是

W

16.设B是椭圆C：a2b-（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB区2b,则C的离心率的

取值范围

四、解答题

2

17.已知A,B两点的坐标分别是I-6，。），（6,0）,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是$.求

点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状.

18.已知中，AB=3,AC^2BCt求ABC的面积的最大值.

22

-z-+-^z-=口

19.从椭圆。匕上一点夕向无轴作垂线，垂足恰好为左焦点片，A是椭圆与无轴正半轴的

交点，8是椭圆与y轴正半轴的交点，且钻〃OP,⑶A|=W+石，求此椭圆方程.

20.已知圆M经过“（一2），3（3,0）,c（—5,0）三点.

⑴求圆加的一般方程；

⑵过点尸（一2，°）的直线/与圆M交于E,尸两点，但可=2如，求直线/的方程.

21.如图，在三棱锥P—A5C中，AB1BC,PA=PB=PC=AC=4,0为AC中点.

⑴证明：PO工平面A3C；（2）若点M在棱BC上，=且=求二面角""A-C的大小.

22.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一2逐，0）,离心率为6.

（1）求C的方程；

⑵记C的左、右顶点分别为A,右，过点I-4,°）的直线与c的左支交于M,N两点，M在第二象限，直

线加4与此交于点P.证明:点尸在定直线上.

3

1.A

【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程.

[2a-6bjZ?=l

【详解】由题可知1"3,所以[a=3,

2

x-2_,

万—Iy~1

且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆C的标准方程为9

故选：A.

2.B

【解析】设动圆的圆心为P,半径为r,圆/+丁=1的圆心为o（0,o）,圆1+「-8”12=0的圆心为F

（4.0）,则四卜田=（2+厂）-（1+r）=1<陷=4,根据双曲线得定义可得答案.

【详解】设动圆的圆心为P，半径为r,而圆/+丁=1的圆心为°（0°）,半径为1；

圆x2+y_8x+12=0,即（X_4）2+/=4的圆心为歹（4,0）,半径为

依题意得附=2+/，囱=1+一，^|PF|-|PO|=（2+r）-（l+r）=l<|FO|=4

所以点P的轨迹是双曲线的一支.

故选：B

3.A

【分析】利用点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离为〃，由6=2。计算可得离心率为

【详解】根据题意不妨取焦点月（°,°）,渐近线方程为云+町=°,如下图所示：

bc

H-\\-b

可得焦点到渐近线的距离为6+方。，即6=2a；

则昌心率aa

故选：A

4.D

【分析】令圆心为（无，5一3幻，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.

4

【详解】由题设，令圆心为（无，5一3对，又圆经过原点和点（3,T）,

所以厂2=9+（5-3力2=63）2+（6-302,整理可得x=§,故圆心为争

225「5丫」25

户二——x—+y=——

所以半径平方9,则圆的方程为I3J9

故选：D

5.D

【分析】根据圆心到直线3x-4y+相=0的距离以及|尸。|的最小值求得机.

【详解】圆/+必=4的圆心为（。,。），半径为厂=2,

y

（°⑼到直线3元一分+〃2=0的距离为5,

由于户◎的最小值是2=人所以直线3x-4y+，〃=°与圆相离,

故选：D

6.D

【分析】根据椭圆的对称性及定义，求得耳的长度.根据4月居为直角三角形，利用勾股定理得到

凡c的关系，进而求出离心率.

【详解】由椭圆的对称性，得巾=防.设网设则H娟=3叱

由椭圆的定义，知1时|+1钻1=2。，即加+3加=2a,

m=—IAT^I=IAT^I=—

解得2,故I”23212

在R£A耳片中,由勾股定理，得闺司=M+MI,

M

4c=——+—=——e=-r=-e=----

即442,贝|Ja18,故4.

7.A

5

【分析】根据椭圆和双曲线中。，仇C的关系，结合双曲线定义可解.

2a=26

<c5=13

【详解】在椭圆G中，由题知〔。一13,解得lc=5

所以椭圆G的焦点为耳（-5，。）,鸟（5,0）,

因为曲线上的点到耳，歹2的距离的差的绝对值等于8,且闺月|=10>8,

所以曲线是以片，工为焦点，实轴长为8的双曲线,

所以曲线,?的虚半轴长为^52-42=3,

i

故CZ的标准方程为：169.

故选：A.

8.A

【分析】根据椭圆的定义可得焦点三角形的边长，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解.

22

「+斗=l（a>6>0）

【详解】不妨设椭圆方程为。b-,椭圆另一焦点为E,

\BF\=\BE\=yl\BOf+\OFf=y]b2+c2

由于B是短轴的一个端点，所以

又BF=2FD,所以

i3

\DE\=2a-\DF\=2a——a=­a

由椭圆定义可得।22,

由于ZDBE=2Z.FBO,所以cosNDBE=cos2Z.FBO,

|BD|2+|B£|2-D£|22

=l-2sin2ZFBO=1-2

故2即忸E

故选：A

9.AD

6

【分析】利用椭圆的定义及性质逐一判断即可.

C:—+/=1

【详解】椭圆2-,

a=\/2,b=l,c=1

”用+|阴|=2a=20,人正确；

_c_1_A/2

离心率a插2,B错误；

短轴长为力=2,长轴长为2a=2&,c错误；

当点P在椭圆短轴端点处时，/月尸工最大，

矿+a~—（2c）2+2—4

cosNFiPF-----------^-=----------=0/pppqn

此时2/2x2，得N耳尸《=90,

故/月P用不可能是钝角，D正确.

故选：AD.

10.BCD

【分析】利用点到圆心的距离与半径的关系可判断A选项；利用两圆的圆心距与半径的关系可判断B；利

用点到直线的距离为1可判断C；直线根=°恒过圆C的圆心，可得2枕+〃=1,利用基本不等式求

解可判断D.

【详解】对A,由方程可得圆心C（2，T）,半径为2,所以点@°）到圆心的距离为

J（2一0『+（一1一0『=疵＞2,则点（。，。）在圆外，

故A错误；

对B,两圆的圆心距为I2一°『+（T-0『=』,

因为2-1〈石＜2+1,所以两圆相交，故B正确；

对C,因为过点加（3,4）的直线与圆C相交，弦长为2班，

可得圆心C到直线的距离为1,当直线的斜率不存在时，即％=3符合题意，

当直线的斜率存在时，设直线为4=“（%一3）,

|2左+1+4—3左|_]12

由圆心C到直线的距离为1,可得V^+T,解得卜二餐,

即直线为12116=0,

7

所以直线的方程为x=3或12犬-5〉-16=0,故c正确;

对D,由于直线〃式一孙T=°恒过圆心，

可得2m+〃一1=0即2机+〃=1,又机＞0,n＞0,所以

12/_痴、._In4mo

mnn)mnvmn,

n4m11

———n——in——

当且仅当相〃即〃则2,4时等号成立，故D正确.

故选：BCD.

11.CD

【分析】根据椭圆、双曲线的定义与性质逐项分析判断.

【详解】设双曲线C的实轴长为九,虚轴长为加，焦距2c,

由题意可知：0=3/=4,c=J/+〃=5,且焦点在x轴上，

,4

y=±-x

对于选项A：双曲线C的渐近线方程为-3,即4x±3y=°,故A错误；

_c_5

对于选项B：双曲线C的离心率,a3,

1

设椭圆259的长轴长为2%,短轴长为纥，焦距2。，

则q=5也=3,q=后孑=＜可得椭圆的离心率।q5；

—+^=1

且3,所以双曲线C与椭圆259的离心率不互为倒数，故B错误；

对于选项C：由双曲线的定义可知：陷H*=2熙|一附|=|*=2=6,

可得用=2|%=12,所以工的周长为6+12+10=28,故C正确；

对于选项D：若从双曲线C的左、右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为为=6,故

D正确；

故选：CD.

12.BCD

【分析】利用同角三角函数基本关系式、双曲线定义、双曲线性质、余弦定理、离心率公式运算即可得解.

cos“尸"='1一［巫］=-

【详解】解：当/耳尸区为锐角时，如下图，则4,

8

..|「片|=2归玛|,归耳|—|尸石］=24,.^\PFl\=4a,\PF2\^2a

|2

16a2+44-4C2

2附卜明16a24

e—_—2

，解得：c2=4a\：.c=2a,贝|a一

：.饪+护=4a\b=6a,故BD正确；

i_

cos/4尸月

当/与PE为钝角时，如下图，则4

...|尸周=2|尸词,|「町一|朋|=2a,「耳|=4a,|%|=2a

…人”附「+|也2-忸国216a2+4/一4c21

.2阀PF\―2

•216a4

解得：°2=6/,...c=疯，则e_/_,

：.a2+b2=6a2,解得：b=岛,故A错误，C正确.

故选：BCD.

13.2石

【分析】即圆心在直线上，代入解出即可求.

［详解］因为圆°：工2+/-2办+4>+1=0关于直线％+,-1=0对称,

所以圆心。3一2)在直线x+y-1=0上,

得短=3,得("-3)+(y+2)=12,

9

所以产=12,半径为2指.

故答案为：2G.

【分析】由2得到。=劝，再分焦点在x轴上和焦点在y轴上时，设出双曲线的标准方程,再将点（2,2小）

代入方程求解.

一2

【详解】解：由题意，知解得

-z=l（i7>0,Z?>0）

当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为。b2

•.,点（久2/）在该双曲线上,

J1_20_1_4__型_]

/.«2〃一，即疗炉一，此方程无解；

■^7----y=1（<7>0,/?>0）

当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为。廿

...点（2,2百）在该双曲线上，

20412041

---------=I------------=i

a2b1,即4〃b2,

解得6=1,：.a=2,

£,X2=1

...该双曲线的标准方程为4

,2

匕-/=1

故答案为：4

15.2^3

—+—=1、\PA\=-一（X+3石）~+16r-r-

【分析】根据离心率求得椭圆的方程为43，设尸D（/x，y）,则I13\>，由-。34尤<>/3,

结合二次函数的性质，即可求解.

当■+乙=1（m>0）e=—

【详解】由焦点在y轴上的椭圆机4’的离心率2,

10

e2r._1^+—=\r

可得/4W,解得病=3,所以椭圆的方程为43，则A("o),

俨肝=(%_扃+,2=心_鬲+4(]1]=」彳2_2氐+7=_4+3扃+16

设2a，y),则^I3J33

因为一如VxV百，当工=-6时，可得1PA「取得最大值，最大值为2后，

所以怛闻的最大值为2道.

故答案为：2g.

(0当

16.

-->—bW-b

【分析】利用距离公式将1尸川表示，配方后，分c2和c2两种情况讨论即得.

【详解】设P(X，>),

口[1PB]=y/x2+(y-b)2=J—/y?-2by+O2+b2=j/y+15-)2+a2+b2+^<2b

因为yw[一仇力,

3

b,22

--->一ha+b+^<2b

2

当C即/<2c2时，|PAlmax

力4

[2+人2+<4b2

所以/

化简得：a4-4a2c2+4c4<0

222

(«-2C)<0；显然该不等式不成立,

当c2,即a222c2时，lpAU=V4fl2-4c2<2b,恒成立,

O0<e〈正

由a222c2,得Y2,所以2

综上，离心率的范围为(°当

11

（。,争

故答案为:

22

——=1(x+6)

17•点M的轨迹方程为368轨迹为焦点在九轴上的双曲线，不含左右顶点.

2

【分析】设根据斜率之积是5即可得出方程，判定形状.

【详解】设"（”，），因为A（F°）I（6,。），

^AM'^BM=-------=—(X^±6)-———

所以,BMX+6尤_69，),整理得368

----------=1（xw±6）

故点M的轨迹方程为368',轨迹为焦点在x轴上的双曲线，不含左右顶点.

18.3

【分析】结合余弦定理、同角三角函数的基本关系式、三角形的面积公式求得三角形ABC面积的表达式,

再由二次函数的性质求得面积的最大值.

[x+2x>3

<=>1<x<3

【详解】设3C=X,4C=2X,[2X-X<3

9+x2-4x29-3x2

cosB=

则2x3xx6x

3…尸>二尸『

9丁-54炉+81

5.„=-|AB|-|Ad•sinB=-2%•—

所以c21"1367

=3彳-「鲁-9=|V-X4+10%2-9=|，一『5丫+16

3__

当尤2一5=°，x=占41，3）时，三角形ABC的面积取得最大值7*.

1-1

19.105

【解析】根据椭圆方方程可确定AB，？点坐标，利用.//0尸可构造方程求得〃=c,结合寓A和椭圆a，"。

的关系可构造方程求得,进而得到椭圆方程.

12

【详解】由椭圆方程可知：入3°）,8（0,6）,

设椭圆焦点片（一6°）,又杷HOP,则I'a）

,,_bb-bb2

一^AB~ko;p=••=]

a,ac,aac,整理可得：b=c,

=C+6Z=V10+A/5〃2=匕2+。2=202,/.a=Vw?c=非,。=石，

32-1

,此椭圆的方程为：1。5.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，解题关键是能够根据直线平行得到斜率相等关系，属于基础

题.

20.⑴f+J+2x_4yT5=0

【分析】（1）待定系数法设出圆的一般方程解方程组即可求得答案.

（2）利用直线与圆的位置关系，分两种情况讨论可得答案.

【详解】（1）设圆加的一般方程为f+V+m+4+F=°,

1+4+D—2E+/=0

<9+30+/=0

把A,8,C三点坐标代入可得卜5_5D+尸=0

解得£>=2,EZ,尸=-15,

所以圆M的一般方程为Y+V+2x-4y-15=0.

⑵由⑴得圆M的标准方程为（x+l『+（V—2）2=20,即圆心为M（T2）,半径为2石.

当直线/与x轴垂直，即尤=-2时，此时»#君『-（T+2）=2晒,符合题意；

当直线/与x轴不垂直时，设该直线的方程为y=Mx+2）,即丘-y+2%=°,

d=','=^20-19k=l

则圆心M到直线/的距离+1，解得4,

所以直线/的方程为3x—4y+6=0.

综上，直线/的方程为》=-2或3x-4y+6=0.

13

21.（1）证明见解析

⑵30

【分析】（1）证得PO'AC和PO'OB,然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.

【详解】（1）解：（1）证明：因为弘=PC,且。为AC中点，所以尸°,AC,

OB=-AC=2

因为帅且。为AC中点，所以2,因为PA=PC=AC=4,且O为AC中点,

所以尸°=2右，因为总=牝03=2,P0=2«,^PB2=PO2+OB2,所以POLOB,

叫收=°,所以P。」平面ABC.

（2）解：因为A3=8C,且。为AC中点，所以ACLO3,从而°B,OC,0P两两垂直，

如图，建立以。为原点，以OC,°P分别为x,>,z轴的空间直角坐标系,

易知A(0,—2,0),尸(0,0,2g),C(0,2,0),8(2,0,0)

42

M(-,-50)

设M(x,y,z),由2,即2可求得

42r

所以如=(0,-2,-26),PM=%],-25,

n•PA=0

不妨设平面PAM的一个法向量为n=（尤，％力，则L・PM=°

-2y-2V3z=0

<42

—x+—y-2yjr3z=0

即〔33

令z=i,贝产=2括，y=-6,所以〃=(26,-6,1)

取平面尸AC的一个法向量为根=（L°，°）,