2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇 锐角三角函数（拔高卷）教师版

2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇编检测卷（拔高）

第28章锐角三角函数

考试时间：120分钟试卷满分：100分难度：较难

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（本题2分）（2023•湖北宜昌•统考模拟预测）由小正方形组成的网格如图，A,B,C三点都在格点

).

D.6

JC-2

552

【答案】C

【分析】取格点〃连接CO,利用勾股定理计算出C。、8。和3C,从而根据勾股定理逆定理可判断

^BDC=90°,然后根据正切的定义求解即可.

【详解】解：如图，取格点〃连接C。,

由勾股定理可知CD=JV+12=0,BD=厶？+2?=20，BC=712+32=710，

・•・BC2=CD2+BD2,

：.^BDC=90°,

・・亠2尤=8=岑=丄.

DB202

故选C.

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值.利用数形结合的思想是解题关键.

2.（本题2分）（2023春•江苏南通•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点46的坐标

分别为（3,0）,（0,6）,过/、0、8三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连接CO,过点。作CO的垂线

交CB的延长线于点〃，下列说法：@ZAOC=ABOD-,②tan/ODB=；；③CO的最大值为15.其中正确

C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】利用同角的余角相等可以判定①的正确；连接A3,通过证明在Rt^ABO中即可求

得结论，从而说明②正确；利用②的结论CD的值由OC决定，当OC是圆的直径时，C。取得最大值，利

用直径是圆中最长的弦，可求得圆的直径进而求得8的最大值，由此判定③正确.

【详解】解：VOC±OD,BO±AO,

：.ZDOC=ZBOA=90°,

NDOB+ZBOC=NBOC+ZCOA=90°,

/.ZAOC=ZBOD,①正确；

连接43,如图，

•••点4、的坐标分别为(3,0),(0,6),

OA—3,OB—6,

・.・OCLOD.BOLAO,

：.ZC+ZD=90°,ZOAB+ZOBX=90°,

ZC=ZOAB,

・・・ZD=ZOBAf

：.tanZODB-tanZOBA=—=-=1,②正确；

OB62

tanNODB=—,

2

OD=2OC,

CD=ylo^+OD1=^/SOC>

：0C是圆的弦，直径是圆中最长的弦，

...当0C是圆的直径时，CD取得最大值，

:圆的直径AB=VO42+（9B2=36，

CD的最大值为3指x百=15,③正确，

故选：D.

【点睛】本题考查圆的综合题，解题的关键是熟知直角三角形的性质以及圆周角定理，锐角三角函数的定

义.

3.（本题2分）（2023春•河南新乡•九年级校联考开学考试）如图①，在菱形ABCD,ZADC=120°,E

为CD的中点.动点〃从点/出发，沿对角线AC运动至点。停止.设点〃运动的路程为x,MD+ME=y,

y关于x的函数图象如图②所示.则图②中点儿的横坐标为（）

【分析】由后为CD的中点，可得C£>=2CE,由图②可知，当M、C重合时，MD+ME=CD+CE=66=y,

解得CE=26,CD=4一,由菱形ABC。，ZA£）C=120。，可得ZZMB=60。，ZDAC=30°,AD=CD=4y/3,

如图，连接3。，作E关于AC的对称点连接。后，交AC于AT,连接ATE,△BCD是等边三角形，E'

为3c的中点，DE丄BC,由对称的性质可得，MD+ME=M'D+M'E=M'D+M'E'=DE'=y,可知当

4n

D、M\9三点共线时，+=y最小，DE'丄AD,则x=AM'=———=8,然后作答即可.

cosZDAC

【详解】解：为C。的中点,

CD=2CE,

由图②可知，当M、C重合时，MD+ME=CD+CE=673=y,

解得CE=2g,CD=473,

:菱形A3CD,ZAT）C=120°,

AZZMB=60°,ZDAC=30°,AD=CD=4>/3,

如图，连接30,作E关于AC的对称点E',连接£>£,交AC于ML连接ME,

△3CD是等边三角形，£为3。的中点，DE'±BC,

由对称的性质可得，MD+ME^M'D+M'E=M'D+M'E'=DE'=y,

...当。、M'、E'三点共线时，ATO+ME=y最小，DE'YAD,

Ar）

：.x=AMf=--------------=8,

cosZDAC

点儿的横坐标为8,

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，余弦，折叠的性质.解题的关键在于从图象

中获取正确的信息.

4.（本题2分）（2023•河南信阳•校考三模）如图，平面直角坐标系中，对折矩形Q4CB使得08与AC重

合，得到折痕防，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点/的对应点A落在所上，折痕是OA1,连接上歩，

MFYOM,已知点A（0,6）,则点C的坐标是（）

A.（5后6）B.（336）C.（8,6）D.（473,6）

【答案】A

【分析】由矩形折叠可知，OE=g（?A,Q4=Q4',可求出NAOA',^AOM,再根据点儿的坐标求岀3C,

CF,根据特殊角三角函数求出AM,然后求出CM,最后根据AC=A〃+CM得出答案.

【详解】由矩形折叠可知，OE=[OA,OA^OA.

2

OE1

・・・sinZEAfO=——=—.

0Af2

在Rt中，NE4'O=30。，

ZAOAr=60°.

由折叠可知，ZAOM=-ZAOA,-30°.

2

VA（0,6）,

OA=6.

根据矩形的性质，可知3c=6,

由折叠的性质，得CF=3.

在RtAAMO中，ZAOM=30°,

・.・t.an3on0o-_-A--"-,

A0

即AM=—OA=—x6=2y/3.

33

MFYOM,

ZOMF=90°,

：.ZAMO+ZCMF=90°.

又・・•ZAOM-^-ZAMO=90°,

：.ZCMF=ZAOM=30°.

在Rt&VfCF中，ZCMF=30°,

rp

：.tan30°=——,

CM

即CM=GC/=36，

AC=AM+CM=2A/3+36=5A/5.

故点C（56,6）.

故选：A.

【点睛】这是一道关于矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数值等，根据

折叠的性质和矩形的性质得出相应线段的长是解题的关键.

5.（本题2分）（2023•广西北海统考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，BCLAB,BD±AD,CD//AB,

9

D.叵

252~T~

【答案】C

【分析】根据题意得出CD=2,ZADB=NBCD=90°,ZABD=NBDC,然后可得然后问

题可求解.

2

【详解】解：VBD=3,cosZCDB=j,BCLAB

CD=BDxcosZCDB=2,

BC丄AB,BD±AD,CD//AB,

：.ZADB=ZBCD=90°,ZABD=NBDC,

:.AADB^ABCD,

ABBD口口,

nc—,BD2=ABCD,

BDCD

•；BD=3,CD=2,

工AB="9

CD2

故答案为，9

【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定

是解题的关键.

6.（本题2分）（2023春•四川南充•九年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中

点，连接AE、DE,分别交3D、AC于点P、Q,过点尸作尸尸丄AE交CB的延长线于P.下列结论：①

ZAED+AEAC+ZEDB=90°；②AP=FP；®AE=—AO；④若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形

2

A3CD的面积为36；（^）CEEF=EQDE.其中正确的结论有（)

A・5个B・4个C・3个D.2个

【答案】B

【分析】证明N£O5=N£CQ=45。，再利用三角形的外角的性质即可解决问题，得到①正确.利用四点共

圆证明NA严=/厶即=45。即可得到②正确.设BE=EC=a,求出A区04即可解决问题，得到③正确.通

过计算正方形A5CD的面积为48,得到④错误.利用相似三角形的性质证明即可得到⑤正确.

.・.AC±BD,OA=OC=OB=OD,

：.ZBOC=9Q0,

・・・△O3C是等腰直角三角形，

・・•点£是边的中点，

JBE=EC,

：.ZEOB=ZEOC=45°,

•：ZEOB=ZEDB+/OED,ZEOC=ZEAC+ZAEO,

JZAED+NEAC+/EDO

=ZEAC+ZAEO+ZOED+ZEDB

=ZEOC+ZEOB=ZBOC=90°,故①正确，

连接AF.

*.*PFLAE,

：.ZAPF=ZABF=90°,

：.A,P,B,厂四点共圆,

：.ZAFP=ZABP=45°,

：.ZPAF=ZAFP=45°f

:.PA=PF,故②正确，

设BE=EC=a,则AE=y]AB2+BE2=V2a2+a1=后a，

OA=OC=OB=OD=BCsin45°=2ixsin45。=2ax—=伝,

2

.AE45aVlOV10…

・・——=^=--,BnnPAE=^—AO,故③正确，

AO42a22

根据对称性可知，CPE&OQP,

・SOEQ=~S四边形0PEQ=2,

・・OB=OD,BE=EC,

,・O石是△3CD的中位线,

•・CD=2OE,OE//CD,

EQOE_1

OEQsCDQ,

D2CD-2

1•SODQ=2sOEQ=4，SCDQ=4sOEQ=8,

•*-SCD0=S0DQ+SCDQ=12,

**•S正方形A5CD=4sCDO=48,故④错误，

ZEPF=Z.DCE=90°,/PEF=ZDEC,

：・IEPFS&ECD,

.EFPE

••访一耘’

:・CEEF=PEDE,

•：EQ=PE,

：.CEEF=EQDE,故⑤正确，

故正确的结论为：①②③⑤.

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成

比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的

压轴题.

7.（本题2分）（2023春•浙江温州•八年级校联考期中）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以其三边

为边向外作正方形，连结交AC于点尸，过点尸作尸尺丄尸G于点R.过E点作E/丄BA交54延长线

于点J,EJ.JH=1:2,EH=8后,则质的值为（）

A.30B.11C.4這D.5這

【答案】B

【分析】设尸R与A3交于点N,利用正方形性质可证得ACB-EV（AAS）,得出E/=AB,AJ=BC,设

pj1

AB=x,2C=y,根据tanAAHE=胃=，可得夕=2y,m=4y,利用勾股定理建立方程求解可得x=8,

JH2

再由tanNC43=g£=：=:，可得PA=PH,利用等腰三角形性质和解直角三角形可求得PH=3,再证明

ABo2

四边形5GHN是矩形，得出M?=3G=8,利用尸R=PN+NR即可求得答案.

【详解】解：设质与交于点N,

:.AE=ACfBC=BH,AB=BG,/CAE=NCBH=ZABG=/G=9伊，AB//FG,

ZABC=90°,

:.ZABC=ZJ=90°,

.\ZACB+ZCAB=90°,

ZEV+ZC4B=90°,

:.ZACB=ZEAJ,

/._ACB^_EV(AAS),

:.EJ=AB,AJ=BC,

AJ=BH=BC,

设AB=x,BC=y,

则£7=%,AJ=BH=y,

JH=x+2y,

tanZAHE=-,

2

FT1

••——'=—,即JH=2EJ,

JH2

x+2y=2xf

/.x=2y,

EJ=2y,JH=4y,

EJ2+JH2=EH2,

(2y)2+(4y)2=(8A/5)2,

解得：，=4或y=-4(舍去),

:.x=8,

AJ=BC=BH=4,AB=BG=8,

ZABC+ZCBH=180°,

「.A、B、H三点共线，

AH=AB-}-BH=8+4=12,

tan/CAB=些4_J_

AB8-2

/.tanZCAB=tanZAHE,

...ZCAB=ZAHE,

:.PA=PH,

AB//FG,

:.ZPNB=ZPRG=90°f

..AN=-AH=-x12=6,

22

•PN/宀八1

••--=tanNC45=—,

AN2

：,PN=-AN=-X6=3,

22

PR±FG,

:.ZPRG=9Q°,

ZABC=ZG=/PRG=90°,

二•四边形5GRN是矩形，

：.NR=BG=8,

.•.PR=PN+NR=3+8=11.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股

定理，三角函数定义等知识，利用勾股定理建立方程求得超=8,BC=4是解题的关键.

8.（本题2分）（2022秋•江苏南通•九年级校考阶段练习）如图，是。的直径，CE切：。于点C交

的延长线于点E.设点。是弦AC上任意一点（不含端点），若NCEA=3O。，BE=4,则CD+2OD的

【答案】D

【分析】作O尸平分—AOC,交，。于F，连接AF、CF、DF,过点D作。〃丄0c于H,根据切线的性

质和三角形内角和定理可得NCOE=60。，求得NAOC=120。，根据角平分线的性质可得

NAOb=NCO尸=60。，根据含30。角的直角三角形的性质可得OE=2OC,求得OC=4,根据等边三角形

的判定和性质可得AF=AO=OC=FC,根据菱形的判定和性质可得AC平分ZFAO,根据角平分线的性质

和全等三角形的判定和性质可得。尸=00,根据等边对等角和三角形内角和定理求得/OC4=/Q4C=30。，

根据特殊角的锐角三角函数可求得CD=2DH,推得CD+2OD=2（DH+FD）,根据垂线段最短可得，当尸、

D、H三点共线时，DH+Q的值最小，即出丄AC时，CD+2QD的值最小，根据特殊角的锐角三角函数

可求得FH=2W,即可求解.

【详解】解：作NAOC的角平分线OB,交r。于P,连接"、CF、DF,过点。作丄OC于如

图：

OCLCE,

：.ZOCE=90°,

又；ZCEA=30°,

：.ZCOE=180°-90°-30°=60°,

ZAOC=180°-60°=120°,

,/OF平分NAOC,

贝I」ZAOF=ZCOF=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

ZCEO=30°,ZOCE=90°,

：.OC=^OE,即OE=2OC,

又；OE=OB+BE=OC+BE,BE=4,

：.2OC=OC+4,

.,.OC=4,即圆的半径为4,

VOA^OF=OC,ZAOF=ZCOF=60°,

/.^AOF,一COb是等边三角形，

AF=AO^OC^FC,

，四边形AOCV是菱形，

/.AC平分NE4O,

ZFAC=ZOAC,

又：AF=AO,AD=AD,

.・・，FAD^OAD（SAS）,

：.DF=DO,

'：OA=OC,

NOCA=NOAC="厶"=18。。-12。。=3QO,

22

：.DH=DC,sinZDCH=DC-sin30°=-DC,即CD=2DH,

2

・•・CD+2OD=2DH+2OD=2（DH+OD）=2（DH+FD）.

若使CD+2O。的值最小，即。H+ED的值最小，

当F、。、H三点共线时，DH+FD=FH,此时D9+FD的值最小,

即丄AC时，CD+2OD的值最小，

此时，FH=OF-sinZFOH=OF-sin60°=—OF=24i,

2

CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=44,

故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含30。角的直角三角形的性质，等

边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角

函数，垂线段最短，解题的关键是明确当尸、。、H三点共线时，DH+FD的值最小，即CD+28的值

最小.

9.（本题2分）（2023春•安徽•九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，/B=60。，ZC=90°,E为

边3c上的点，VADE为等边三角形，BE=3,CE=2,贝Utan/AEB的值为（）

3/口4-

--------U.----------

55

【分析】作E尸丄43于点尸，AH丄BE于点、H,解直角△証戶，得出==证明,.AEF/qEDC,

得出AF=EC=2,再求出A"=3/,HE=5,然后利用正切函数定义即可求解.

【详解】如图，作EF丄AB于点尸，47丄3E于点H,

丁-0。，BE=8,

：.ZBEF=90°—NB=30°,

BF=LBE=4.

2

・・・VW石为等边三角形，

AZAED=6O°fAE=DE,

VZBAE+ZB+ZA£B=180°,ZDEC-^-ZAED^-ZAEB=180°,

・・・ZBAE=ZDEC,

在△AEF与△E»C中，

ZEAF=ZDEC

<ZAFE=ZC,

AE=ED

：._AEF^_£DC（AAS）,

:.AF=EC=2,

・・・AB=AF+BF=2+4=6f

,/ZA7ffi=90°,ZBAH=900-ZB=30°,

/.BH=^AB=39AH=6BH=35

：.HE=BE—BH=8—3=5,

・•・tanZAEH=—=—

HE5

故选：C.

【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30。角的直角三角形

的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键.

3

10-（本题2分）（2。23.安徽合肥.统考一模）在‘ABC中’回4'sin®C="点〃是点8关于4C

的对称点，连接A。，CD,E,F是AD,BC上两点，作砚T丄3D,FN丄3。，垂足分别为以用若AD〃3C,

AE=BF,则EA/+RV的值是（）

A.不B.5C.2gD.10

【答案】A

【分析】作出相应的图形，由轴对称的性质可得A£>=AB=4,BO=DO,AC1BD,从而可求得30=3,

由勾股定理求得4。=近，再由平行线的性质可得NCBO=NAr>O,可判定V3COAZMO,则有=

AO=CO,再由线段的比即可求解.

【详解】解:如图，

:点〃是点6关于AC的对称点，AB=4,

/.AD=AB=4,ACJ.BD,BO=DO,

3

VsinABAC

4

.BO3

••一，

AB4

BO3

即nn丁=:，

44

解得：BO=3,

♦•AO=\/AB2—OB2=J42—32=5/7，

■:AD//BC,

：.ZCB=ZADO,

在丄5co和ZMO中，

ZCBO=ZADO

<BO=DO,

ZBOC=ZDOA

：.^BCO^DAO(ASA)f

：.BC=AD=4fAO=CO=y/l,

•；EM丄BD,FN.LBD,

：.EM//AO,FN//CO,

.DEEMBFNF

**AD-AO?~BC~~CO'

.^-AEEMBFNF

…4一币'4一S'

,:AE=BF,

.4—BFEM

1BFEM

即l一丁=石'

•i1__N_F_=_E_M_

,,币币'

EM+NF,

V7=

EM+NF=yfl.

故选：A.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，轴对称的性质，平行线的性质，解题的关键是结合图形分析清楚各

边的关系.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（本题2分）（2023•北京•北京四中校考模拟预测）如图，A,6是反比例函数丫=丄（左>0,x>0）图

X

象上的两点，直线A5交y轴正半轴于点反过点46分别作X轴的平行线交y轴于点GD,若点6的横

3

坐标是4,CD=3AC,cosZBED=~,则A的值为.

12

【答案】y

ED3

【分析】由cos/BET”一=一，设。石=3〃，5£=5a,则50=4%可求得折1,设AC4,CD=3A,由AC〃亜,

EB5

可得婴=怨=0，求出6的值，再求出小三口小，/4,〃），利用46是图象上的两点，即可求出

ECED3I33丿

答案.

【详解】解：國>〃光轴,

:.ZEDB=90°,

FD3

cosZBED=——=—,

EB5

设DE=3a，BE—5a,

/.BD=4a,

・・•点8的横坐标为4,

/.4a=4,

则a=l,

DE-3,

CD=3AC,

设AC=b,CD=3b,

AC।BD,

.ACBD_4

…正一-3

3

/.EC=—b,

4

315

.\ED=3b+-b=—b,

44

:.—b=3

4f

4

贝肥=二，

412

/.AC=~,CD=——

55

设8点的纵坐标为n,

/.OD=n,

12

贝IJOOCO+O。=不+〃,

邛，竺+〃

，3(4,n),

(55

k

•A8是反比例函数尸—(k>0,x>0)图象上的两点,

x

A=4n,

5

3

n=—,

12

故答案为：—.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形及勾股定理得应用，表示出点2、8的

坐标是解题关键.

12.（本题2分）（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，已知平行四边形ABC。中，£为5。边上一

点，连接AE、DE,若=AE=DC,BE=4,tanZ^=3,则EC的长为.

【答案】6

【分析】作Ab丄丄AE,根据等腰三角形的性质结合tanN5可求厶石；根据AD〃C5可得

ZB=ZAEB=ZDAE,再次利用等腰三角形的性质结合tanNZME即可求A。，进一步可求EC的长.

【详解】解：作A/丄丄AE,如图所示：

・.・AE=DC,AB=DC

：.AB=AE,NB=ZAEB

・・,AD//BC

：.ZAEB=ZDAE

：.ZB=ZAEB=ZDAE

,:BE=4

：.BF=EF=2

AF

VtanZB=——=3

BF

AF=6,AB=AE=4AFT+BFI=2y/10

AD=DE,DG±AE

：.AG=EG=M

tanZ.DAE=tanZAEB=tanZB=3

DG=3屈,AD=y/DG2+AG2=10

BC=AD=W

"：BE=4

：.EC=BC-BE=6

故答案为：6

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正切的定义，综合性较强.作垂线构造直角三角形是

解题关键.

13.（本题2分）（2022•陕西西安•校考模拟预测）如图，矩形ABCD的45=4,8c=4/，£是C。上

一点（不与久。重合），CF丄BE于公户在跖上，且,么"分别是43、AC上的动点，贝UPMN

周长的最小值为.

【答案】45/21-12

【分析】作点户关于直线43的对称点P，作点戶关于直线AC的对称点尸"，连接P〃、P',PMN周长最

小值为然后由三角形相似和勾股定理求解.

【详解】解：：四边形A3CD是矩形，

ZABC=90°,

,：AB=4,4s

，ZBAC=60°,

作点户关于直线AB的对称P,连接AP’,作点户关于直线AC的对称尸"

连接HP",与A3、AC分别交于点肱N,

由轴对称的性质可知，PM=PM,PN=P"N,

CPMN=PM+PN+MN=P'M+PN+MN=P'P,

此时，周长最小为PP",

由对称性可知，ZBAP'=ZBAP,ZCAP"=ZCAP,AP'=AP=AP",

：.ZBAP'+ZCAP"=ZBAP+ZCAP=ABAC,ZP'AP"=2NBAC=120°,

...为等腰三角形，

；PAW周长最小值P'P"=43AP'=6Ap,当AP最短时，周长最小,

连接。尸，

,:CF丄BE,MPF=73CF,

PC

：.ZPCF=60°,—=2,

CF

9：ZACD=ZBAC=60°,

：./PCF=ZACD,

：.ZPCA=ZFCDf

又••生-2

•CD'

AQPC

・••在与△OfC中，一=—,/PCA=/FCD,

CDCF

jAPCDFC,

・AP-AC

,,市一五'

：.AP=2DFf

'：ZBFC=90°,取3c中点0,

・,•点尸在以BC为直径的圆上运动，当〃、F、。三点在同一直线上时，最短,

DF=DO-FO=OD-^BC=^42+（2>/3）2-；乂46=2币-26,

，AP最小值为AP=2DF,

此时，_PMN周长最小值P'P"=#>AP=4扃-12,

故答案为：401-12.

【点睛】本题考查了轴对称塌短路径问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作

出辅助线是解答本题的关键.

9

14.（本题2分）（2020秋•上海青浦•九年级校考阶段练习）在Rt^ABC中，ZACB^90°,AB=9,cosA=j,

如果将」1BC绕着点C施转至△A?C的位置，使点B'落在/ACB的角平分线上，A®与AC相交于点4

那么线段CD的长等于.

【答案】30V2-12VK）

【分析】如图，过点8'作？尸丄AC于点凡过点A作A'E丄AC于点反利用面积法构建方程即可解决问题.

【详解】如图，过点B'作B'F丄AC于点F,过点A作NE丄AC于点E.

•：NBCB'=ZACB'=ZACA=45°,

....A!EC,AFCB'是等腰直角三角形，

2

在RtZXABC中，AB=9,cosA=-,

3

/.AC=6,BC=375,

AB'F=CF=^^~,EC=AE=3直,

2

SA..£K»C=SAAoBCC=2_AC•_BC=—2x6x3A/5=9-75,

又S..=S,+S.=-CDA!E+-CDB'F=-CD(A!E+B'F\,7

•—、ADRCrAACc£znDRCrLn，222、

3拒+=9氐

CD=30>/2-12VT0.

故答案为：3072-12^

【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等知识，利用

SA'B'C=SACD+sB'CD求出co是解题关键.

15.（本题2分）（2023•河南商丘•校考二模）如图，在矩形纸片A3CD中，AB=4,45=5,点尸是AB

的中点，点E为AO上一动点，作AXE厂关于直线所的对称图形，点/的对应点为点4,作AEF关于

直线4E的对称图形，点尸的对应点为F.当点广落在矩形ABCD的边上时，AE的长为

【答案】2币或典

3

【分析】根据题意可得点P、A'、尸，三点共线，再根据含30。角的直角三角形三边关系计算,具体分（1）

当点F落在边AD上，（2）当点F落在边上两种情况计算即可解答.

【详解】解：由题意得：NA=NE4'E=NE4'尸=90。，

:.ZFAF'=180°,即点尸、A、F三点共线，分以下两种情况讨论：

⑴当点F落在边AD上时，如图:

AEF、△AEF关于直线所对称，AA'EF.AA'E尸关于直线可对称,

ZAFE=ZAFE=ZAF'E,

ZA=90°,

ZAFE+ZA'FE+ZA'F'E=90°,

ZAFE=ZA'FE=ZAF'E=30°,

AF=-AB=2,

2

：.FF'=2.AF=4,AF=26，EF=2AE=EF',

AE=-AF'=—；

33

（2）当点p落在边3C上时，如图：

—AEF、ZkAEF关于直线反对称，△AEF、AA'W关于直线而对称,

：.AF=FA=AF'=2=FB,BPFF'=2FB,

NBF'F=30°,NBFF'=60°,

ZAFF'=180°-60°=120°,

ZAFE=-ZAFF'=60°,

2

AE=退AF=273,

故4'的长为：半或26.

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据轴对称的性质得到等

角及等量线段.

16.（本题2分）（2023•湖北黄石•统考中考真题）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的

首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次

载人飞行任务.如图，当“神舟”十四号运行到地球表面夕点的正上方的尸点处时，从点尸能直接看到的

地球表面最远的点记为。点，己知尸尸土*km,ZFOe=20°,cos20°«0.9,则圆心角NPOQ所对的弧长

约为km（结果保留兀）.

6400

【答案】---------71

【分析】设。尸=OQ=rkm,由尸。是C0的切线，可得cos/R9Q=空，由此构建方程求出r,再利用弧

长公式求解.

【详解】解：设0P=OQ=rkm,

由题意，歹。是C。的切线,

/.FQLOQ,

CO墻

0.9二

6400,

厂+

9

r=6400，

20XTTX64006400

PQ的长=---------71

180

6400

故答案为:---------71

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解.

17.（本题2分）（2023•江苏扬州•校考三模）在边长为6的正方形ABCD中，点E是边8C上的动点（不

与B,C重合），连接AE,将，ABE沿AE向右翻折得厶”£,连接C歹和DF,若为等腰三角形,

则BE的长为______________________

【答案】2有或12-6百

【分析】分两种情形讨论，当OC=O尸时，过户作丄AD交AO于点M,证明利用

相似三角形的性质列式计算即可；当/C=£）尸时，求得/FW=30。，在RtA4BE中，解直角三角形即可

求解.

【详解】解：当。C=OR时，如图，过尸作交AD于点M,则MN13C,

BENc

:正方形ABCD,

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

，四边形ABNM、MNCD都是矩形，

AB=AF=CD=DF=6=MN,AM=BN=3,AABE=/LAFE=90°,

设班=x,

EF=BE=x,EN=3-x,

ZAFM+ZFAM=ZAFM+ZEFN=90°,

ZFAM=ZEFN,

/\FAM^/\EFN,

.AFAM

•・赤一俞’

・6_3

•・提一丽，

・・.FN=~,

2

：.在Rt/XEFN中，EF2=EN2+FN2,

f=(3-x)2+图,

，x=12±6百(较大值舍去)，

/.可得此时BE=12-6A/3；

当尸C=Db时，如图，过尸作MZV1AD交AD于点则ACV1BC,过尸作RK丄CD交CD于点K,

同理，四边形4BMW、MFKD、-VCK都是矩形,

在RtZXAFM中,

由题意可得：AF=CD=6=2FM,

..FM丄

..sinZFAM=---

AF2

ZE4M=30°,

,//BAD=90°,

ZBAF=60°,

：.ZEAB=ZEAF=30°,

在RtAABE中，B£=AB.tan30°=2V3；

综上所述，BE的长为2若或12-6A/L

故答案为：24或12-6百.

【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是正确寻找点尸的位置，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三

角形解决问题.

18.（本题2分）（2023•河南洛阳•统考二模）如图，在ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,对称轴AD

交3c于点。，点E是直线AD上的一个动点，连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转30。得FC,连接。尸，

则OR长的最小值为

【答案】^^/~3+2^/>/3-1/-1+V3

2222

【分析】在AC上取一点G,使CG=CD,连接EG,根据全等三角形的性质可得CD=CG=栃,再求出

/DCF=/GCE,根据旋转的性质可得CE=CF,然后利用“边角边”证明sOCV和全等，再根据全

等三角形对应边相等可得。尸=EG,然后根据垂线段最短可得EG丄AD时最短，再根据NG4D=60。求解

即可.

【详解】解：如图，在AC上取一点G,使CG=CD,连接EG,

AB=AC=2,ZBAC=nO0,

ZACB=30°,

：.CD=6,

旋转角为30。，

「.NEC产=30。，

:.ZECF=ZACB,

:.Z.GCE=ZDCF,

CD=CG,

又二CE旋转到CF,

:.CE=CF,

.-.△Z)CF^AGCE(SAS),

：.DF=EG,

根据垂线段最短，EG丄5时，石G最短，即。尸最短，如图所示:

ZC4£>=1X120°=60°,AG=AC-CG=2-6，

.­.£G=AG-sin600=（2-73）x^=^/3--,

22

.-.OF=73--,

2

故答案为：道-g.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三

角形是解题的关键，也是本题的难点.

19.（本题2分）（2022•福建南平•校考模拟预测）如图，正三角形ABC的边长为a,点月是AB边上的动

点（不与端点48重合），在CE上方作正三角形CEF.当点£由点6向点/运动过程中，①BE二AF；②

四边形AEW的面积随着点£从点8向点力方向的运动而逐渐变大；③若点G为AC的中点，则GF的最小

值为县；④△CEF面积的最小值为±8/.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

416--------------------

【答案】①③④

【分析】证明BCE名ACF,判断①和②；证明得到点P在过点A,平行于BC的直线上运动，

根据垂线段最短，得到GV丄A/时，GF最小，进行求解判断③；根据CE最小时，面积最小，再根

据垂线段最短，得到时，CE最小，进行求解，判断④.

【详解】解：：正三角形ABC,正三角形CEF,

BC=AC,CE=CF,ZACB=60。,NEC产=60°,

ZBCE=ZACF,

.BCE^ACF,

/.BE=AF,故①正确；

,BCEgACF,

•V=Q

••Q,BCE一°ACF，

・・・四边形AEC/的面积=SACFACE=SCEACE

+sB+s=S.ABC

，四边形AFC尸的面积不变，故②错误；

；_BCE\ACF,

：.ZCAF^ZB^60°=ZACB,

：.AF〃BC,

，点厂在过点A,平行于BC的直线上运动，

.•.当GV丄A/时，G尸最小，如图，

BC

：G是AC的中点，

/.AG=-AC=-,

22

ZC4F=60°,

/.GF=AG-sin60°=—6Z,故③正确；

4

过点E作団丄CF,贝U：CH=FH=gcF=gcE,

：.EH=^CE2-CH2=,

2

/.ACEF面积=-CFEH=—CE2,

24

...当CE最小时，△CEF的面积最小，

•・•点£是A3边上的动点，

・••当CE1AB时，CE最小时，如图:

则：BE=-AB=a,

2

•3,…炉当

।=W；故④正确;

：.△CEF面积=十

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形.解题的关键是掌握等边

三角形的性质，证明丝本题的综合性强，难度较大，属于填空题中的压轴题.

20.（本题2分）（2023•山东滨州•统考二模）如图，在,ABC中，ZABC=90°,ZC=30°,以点A为圆

心，以A3的长为半径作弧，交AC于点。，连接3D,再分别以点8,。为圆心，大于;劭的长为半径作

弧，两弧交于点尸，作射线人尸，交3c于点E,连接DE,则下列结论①3E=OE；②OE垂直平分线段AC；

③BD'BCBE;④y£=卓.其中不正确的结论是________.（只填序号）

^/XABC3

【答案】④

【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①正确；利用等边三角形的性质，①的

结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判

断④错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断③正确.

【详解】解：由题意得：AB=AD,A尸为/BAC的平分线，

Z/4BC=90°,ZC=30°,

:.ZBAC=60°,

：.ABD为等边三角形，

/.AP为30的垂直平分线，

BE—DE,

・•.①的结论正确；

亠ABD为等边三角形，

.\ZABD=60°,ZADB=60°

:.ZDBE=30°,

BE=DE,

.•.ZEDB=NEBD=30°,

/.ZADE=ZADB+NEDB=90°,

,\DE±AC.

ZABC=90。，ZC=30°,

:.AC=2AB,

AB=AD,

AD=CD,

「.DE垂直平分线段AC；

二•②的结论正确；

NEDC=ZABC=92。,ZC=ZCf

・...CDEs&CBA,

AD=AB,

DEDEJ?

----==tcinZ-DAE=幻〃30°=—,

ABAD3

*q4CDE_i1

S^CBA3

④的结论不正确；

ZBDE=ZC,/DBE=NCBD,

BDEs、BCD,

BEBD

"BD~BC'

BD2=BCBE,

二③的结论正确,

综上，结论不正确的有：④,

故答案为：④.

【点睛】本题主要考查了含30。角的直角三角形的性质，角平分线的作法，线段垂直平分线的判定与性质,

相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角

形的性质和相似