离散数学（辽宁联盟）智慧树知到期末考试答案2024年

离散数学（辽宁联盟）智慧树知到期末考试答案2024年离散数学（辽宁联盟）用谓词逻辑推理方法，证明下面推理的有效性。

(要求按照教材规定的格式，书写推理过程)

$x(A(x)Ù"y(B(y)®C(x,y)))，"x(A(x)®"y(D(y)®ØC(x,y)))

ÞØ$y(B(y)ÙD(y))

答案:AI参考:根据给定的谓词逻辑推理方法，可以证明下面推理的有效性：\n\n(x(A(x)∧y(B(y)))→C(x,y))\n\n证明过程如下：\n\n1.前提条件：(x(A(x)∧y(B(y))))，表示x和y的谓词逻辑表达式。\n2.结论：(x(A(x)→y(D(y))))，表示当x满足A(x)时，y满足D(y)。\n3.根据逻辑推理规则，可以得出结论：(x(A(x)→y(D(y))))∧(y(B(y))→C(x,y))。\n4.由于前提条件中已经包含了y(B(y))，因此可以将条件拆分为：(x(A(x))→C(x,y))。\n5.根据前提条件中的A(x)，可以得出x满足A的描述条件。\n6.根据结论中的C(x,y)，可以得出C的描述条件为y满足D。\n7.因此，可以得出结论：当x满足A时，y满足D。\n\n综上所述，根据给定的谓词逻辑推理方法，可以证明下面推理的有效性。'判断下面有向图的连通性。

答案:AI参考:好的，这个有向图的连通性是**连通的**。\n\n这个有向图中有三个节点（A、B、C），其中节点A和B之间有一条边相连，节点B和C之间有一条边相连，节点A和C之间有一条边相连。这意味着从节点A出发，可以经过节点B和节点C到达图中的任何其他节点。因此，这个有向图是连通的。'设<G,*>是个群，

R是G中等价关系，定义为：对于任何a,b,c∈G，如果有<a*b,a*c>∈R，则<b,c>∈R.

又定义集合H为

H＝{x|x∈G,

且<x,e>∈R,e是G中幺元}求证<H,*>是<G,*>的子群。（12分）

答案:AI参考:根据题目中的条件，可以证明集合H是G中的一个子群。\n\n首先，我们需要证明H是封闭的。即，如果x和y都在H中，那么它们的乘积x*y也必须在H中。\n\n根据题目中的定义，如果x和y都在H中，且和都属于R，那么也属于R。因此，x*y也在H中。\n\n其次，我们需要证明H中至少存在一个元素g，使得H以g为循环中心。也就是说，对于H中的任意两个元素x和y，都有x*y=y*x=g。\n\n根据题目中的定义，如果e属于R，且和都属于R，那么对于任何元素a∈G，都有∈R。因此，a*x*y=a*y*x=e（这里的e是G的单位元）。因此，我们可以得到g=x*y。\n\n因此，H是G中的一个子群。'谓词逻辑命题符号化

1.如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。

2.所有大学生都喜欢一些歌星。

答案:AI参考:对于选项1，可以使用以下形式化符号来表示：\n\n\n```\n(1)命题形式化：\n(x,y)∈{x,y}∧(x,y)是奇数→(x+y)是偶数\n```\n对于选项2，可以使用以下形式化符号来表示：\n\n\n```\n(2)命题形式化：\n(x)是大学生→(x,y)∈{x}→(y)是歌星\n```\n需要注意的是，对于上述选项的形式化符号，是严格按照谓词逻辑中的基本概念进行的，例如用小写字母表示个体或事物，大写字母表示属性或性质。而"→"表示“如果那么就”，是一种常用的形式化符号。以上答案仅供参考，可能还有更多情况需要考虑。'画出四个元素所有非同构的格。

答案:AI参考:正确选项为：\n\nA.空集\nB.{a,b,c}\nC.{a,b,c,d}\nD.{1,2,3,4}\n\n答案D中的四个元素两两组合都能形成两个不同的格，所以所有非同构的格为：{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}，共计六种可能。其中选项D中恰好包含其中的四个，所以答案为D。'

求(P→ØQ)

«R的主合取范式和主析取范式。

答案:AI参考:主合取范式：\n\n(P→ØQ)∧(Q→R)\n\n主析取范式：\n\n(P∧Q)→R\n\n或者\n\nP→(Q∧R)'分析下图，求a到f

的所有简单通路和初级通路

答案:AI参考:正确选项为：\n\na到f的所有简单通路：通路1、通路2\n\na到f的所有初级通路：通路3、通路4\n\n\n对于图中的路径，首先确定起始节点和目标节点。从a节点开始，沿着节点逐一查看，能够直接到达目标节点f的路径就是简单通路。由于图中显示的信息有限，只能提供目前能确定的通路。\n\n对于初级通路，需要查看整个图的结构和节点之间的关系。根据图中显示的信息，可以确定初级通路需要经过多个简单通路才能到达目标节点f。因此，通路3和通路4都是a到f的初级通路。\n\n需要注意的是，这只是一种可能的答案，具体答案可能会因为图的结构和节点之间的关系而有所不同。'求证P→Q,(¬Q∨R)∧¬R,¬(¬P∧S)⇒¬S

答案:AI参考:对于这个命题：求证“P→Q，（¬Q∨R）∧¬R，¬（¬P∧S）⇒¬S”，根据逻辑推理规则，可以得出以下结论：\n\n首先，根据前提（¬Q∨R）∧¬R，可以得出Q为假，R为真。\n\n其次，由于P→Q，Q为假，所以P也为假。\n\n最后，由于¬（¬P∧S），P为假且S为真，所以可以得出S为假。\n\n因此，结论¬S成立。\n\n所以，原命题的正确答案是“¬S”。'证明(P∧(R∨Q))∨(P∧ØQ∧ØR)ÛP

答案:AI参考:这是一个逻辑命题的转换证明。根据命题逻辑的规则，我们有以下转换规则：\n\n1.析取引入规则：当一个命题中存在两个命题的析取时，我们可以将其转换为与另一个命题的合取。\n\n基于以上规则，我们可以将题目中的命题进行转换：\n\n(P∧(R∨Q))∨(P∧ØQ∧ØR)→P∧(P∨(Q∧ØR))\n\n为了证明上述转换的正确性，我们需要注意以下要点：\n\n1.当我们引入括号来平衡析取式时，应保持其他部分的合取项平衡。\n2.由于∨的存在，我们要将每个分词与另外两个命题合并成新的命题。\n\n由于Q与R不能同时为假（由于⊕的定义），我们可以使用排中律：一个命题要么是真，要么是假。这意味着如果R为真，Q必定为真；如果R为假，Q也必定为假。所以当(P∧Q)∧R为假时，必然P为真。这证明了转换的正确性。\n\n因此，我们得到了证明(P∧(R∨Q))∨(P∧ØQ∧ØR)→P的正确性。这意味着如果(P∧(R∨Q))和(P∧ØQ∧ØR)都是真命题，那么P也是真命题。这就是我们的结论。\n\n所以，答案是P。'使用真值表法，求P→Q的主合取范式

答案:AI参考:正确选项为：P→Q的主合取范式为（┐P∧┐Q）∨（P∧Q）。\n\n解题步骤如下：\n\n1.首先列出P→Q的所有可能取值，即T（真）和F（假）。\n\n*P真Q真\n*P真Q假\n*P假Q真\n*P假Q假\n2.根据逻辑规则，P→Q的真值表如下：\n\n\n\n|P|Q|P→Q|\n|---|---|---|\n|真|真|真|\n|真|假|假|\n|假|真|假|\n|假|假|真|\n3.根据主合取范式的定义，将所有可能的主析取范式表示如下：\n\n*(┐P∧┐Q)表示P和Q都为假；\n*(P∧Q)表示P和Q都为真。\n\n因此，P→Q的主合取范式为（┐P∧┐Q）∨（P∧Q）。'设A

={1,2,3,4},

R

={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>},

求

R的各次幂，分别用矩阵和关系图表示。

答案:AI参考:根据题目所给的条件，A是一个集合，包含了四个元素1、2、3、4，而R是一个集合，包含了五个二元关系，这些关系描述了元素之间的某种顺序或对应关系。为了表示R的各次幂，我们需要先定义一个矩阵来表示这些关系。\n\n首先，我们可以用一个二维矩阵来表示R的各次幂。假设矩阵的行代表元素，列代表关系，那么对于R的幂运算，我们可以按照以下方式进行：\n\n1.第一层幂运算：R^1={〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,3〉,〈3,4〉}\n这个矩阵可以表示为：\n\nA=\n\n<1,2><2,1><2,3><3,4>\n\n\n2.第二层幂运算：R^2={〈〈1,2〉,〈2,1〉〉}={〈〈1,2〉〉}\n由于二元关系的二元性，这一层的幂运算只有一种可能的结果：{〈〈1,2〉〉}，这个结果可以表示为：\n\nA=\n\n<<1,2>,<2,1>>\n\n3.第三层幂运算：R^3={〈〈〈1,2〉>,〈〈2,3〉>,〈〈3,4〉>,〈〈2,1〉>,〈〈2,3〉>,〈〈3,4〉>>}={〈〉}\n这一层的幂运算可能会出现多种结果，但是这里我们只需要考虑最简单的一种情况：结果只有一个元素{〈〉}。这个元素可以表示为：\n\nA=∅\n\n这里，∅表示空集。\n\n以上就是对R的各次幂的表示方法。在关系图中，也可以通过绘制元素之间的箭头来表示这些关系，但这种方式可能会比较复杂。在实际应用中，矩阵是一种更加直观和易于理解的方式。'设

f是格<A1,≤1>到<A2,≤2>的同态映射，证明对任何a,b∈A1,如果a≤1b,则

f

(a)≤2

f

(b)。

答案:AI参考:题目中的映射是同态映射，因此满足像集合的元素和原像集合的元素一一对应。如果原像a≤1像b，那么根据映射的定义，有f(a)≤2f(b)。因此，对于任何a,b∈A1，如果a≤b，则f(a)≤f(b)。所以答案是正确的。'设G为n（n≥2）阶无向欧拉图，证明G中无桥。

答案:AI参考:选择D.欧拉图中的桥必定包含偶数条边。\n\n对于一个无向欧拉图，它必定满足所有顶点数n-1条边的封闭子图，并且这个子图必须是欧拉回路。因此，对于这个子图中的每一条边，它要么被重复使用，要么它被一个桥连接到了另一个顶点。如果这条边被重复使用，那么它不会影响欧拉路径的存在性，因为路径中所有顶点都会被访问到。如果这条边被一个桥连接到了另一个顶点，那么这个桥必定包含偶数条边，否则这个桥将导致图中存在奇数条边的子图，这与欧拉图的定义矛盾。因此，欧拉图中的桥必定包含偶数条边。所以答案是D.欧拉图中的桥必定包含偶数条边。'

判断下面命题的真值，并说明原因。1．若R是A上的传递关系，则R-1也是集合A上的传递关系。

2．四阶群中必有四阶元。3．至少含3个元素的链不是有补格。4．如果图G是不连通的，那么其补图一定是连通图。

答案:AI参考:正确选项是：【1】R是A上的传递关系，则R^-1也是集合A上的传递关系。\n\n原因如下：\n\n传递关系是指对于集合A中的任意两个元素x和y，如果存在一个元素z，使得x与z之间的某种关系成立，并且z与y之间的同一种关系也成立，那么这种关系就是传递关系。传递关系的逆关系也是传递关系。因此，如果R是A上的传递关系，那么R^-1也是集合A上的传递关系。\n\n【2】四阶群中必有四阶元。\n\n四阶群是一个包含四个元素的群，其中至少有一个元素是四阶元。这个结论是根据群的定义得出的，因为在群中，任何一个元素都可以与一个唯一的四阶元结合生成一个新的元素，且不会违反群的封闭性等性质。\n\n【3】至少含3个元素的链不是有补格。\n\n有补格是一个集合中的每一个非空链都有其补链的概念。在链中，元素的个数会影响其是否是补链。如果一个链至少含有三个元素，那么它必然包含至少两个不同的元素，这两个元素的补链也必然至少包含两个不同的元素。因此，至少含3个元素的链不是有补格。\n\n【4】如果图G是不连通的，那么其补图一定是连通图。\n\n这个结论是根据图的补图定义得出的。补图是将原图中所有不联通的部分合并成一个新的节点，并连接所有可能的部分。因此，如果原图G不连通，那么它的补图一定是连通图。'使用等价变换的方法，求P→Q的主析取范式

答案:AI参考:正确选项为：P→Q的主析取范式为M1。\n\n等价变换是一种常用的逻辑推理方法，可以将一个命题转化为更简单的形式。对于P→Q这个命题，如果将其转化为主析取范式，则需要将其中的逻辑关系进行分解和组合，最终得到一个由最小项组成的范式。由于P→Q是一个复合命题，因此需要将其分解为多个简单命题，再逐一进行等价变换。具体来说，可以将P和Q分别进行等价变换，得到一些基本命题，再将它们进行组合，最终得到P→Q的主析取范式M1。所以，答案为M1。'

答案:AI参考:这道题目的答案应该是A，因为这是一个图片链接，链接指向一个名为“1.png”的图片。这个链接应该指向一个可以显示图片的位置，比如一个网页上的图片文件。如果这个链接指向一个不存在的图片或者无法访问的位置，那么这个链接就会失效。所以，这个链接指向的是一张图片，答案是A。'指出下面的语句中，哪个是条件，哪个是结论，为什么？(1)

如果你是计算机学会的会员，那么你可以享受会议注册费八折的优惠。(2)

只要你是计算机学会的会员，你就可以享受会议注册费八折的优惠。

答案:AI参考:(1)条件是“如果你是计算机学会的会员”，结论是“你可以享受会议注册费八折的优惠”。\n\n(2)条件和结论都是“如果你是计算机学会的会员”。\n\n原因：\n\n(1)中的语句是一个条件语句，如果满足条件（如果你是计算机学会的会员），就可以得到结论（你可以享受会议注册费八折的优惠）。\n\n(2)中的语句也是一个条件语句，这个语句的两个部分（"只要你是计算机学会的会员"和"你就可以享受会议注册费八折的优惠"）都可以作为条件和结论，两者之间的关系比较模糊，更像是表示某种关系或者意愿。所以两个语句中的条件和结论都应该是“如果你是计算机学会的会员”。'用谓词推理证明：(A-B)-C=(A-C)-(B-C)

答案:AI参考:正确选项：【问答题】用谓词推理证明：(A-(B-C))-C=(A-C)-(B-(A-C))\n\n这是因为原始表达式(A-B)-C=(A-C)-(B-C)是不准确的，因为它违反了括号优先级。在谓词推理中，应该先计算括号中的表达式，然后再应用运算符。所以，正确的表达式应该是(A-(B-C))-C=(A-C)-(B-(A-C))。这样，运算符的优先级和结合性得到了正确的处理。'判断(¬p∧¬q)∨(q∧r)是合取式，还是析取式。

答案:AI参考:这个命题是合取式。'判断q是合取式，还是析取式。

答案:AI参考:对于问题“判断q是合取式，还是析取式”，选项正确的是q是一个合取式。'设<A,≤>是一个格，任取a,b∈A，a<b

（即a≤b∧a≠b），构造集合：B={x|

x∈A且a≤x≤b}，证明则<B,≤>也是格。

答案:AI参考:给定的题目中，需要证明集合B是一个格。为了证明这一点，我们需要确保集合B满足格的三个性质：自反性、传递性和反对半性。\n\n首先，我们需要证明集合B是自反的。这意味着对于任何元素x∈B，都有x≤x。由于a≤x≤b，所以x≤x对于所有x∈B都成立，因此集合B是自反的。\n\n其次，我们需要证明集合B满足传递性。假设c∈B且c≤d，d≤e。由于a≤c≤d，以及d≤e，我们可以得出a≤e。因此，如果c和d在集合B中，那么c≤d≤e也在集合B中。这就证明了集合B的传递性。\n\n最后，我们需要证明集合B满足反对半性。假设c∈B且c≥d。然而，根据题目的设定，不存在d∈A且a≤d≤b，所以反对半性不成立。因此，集合B不是格。\n\n综上所述，集合B不是格。因此，题目中的正确选项是【问答题】设<A,≤>是一个格，任取a,b∈A，a<b（即a≤b∧a≠b），构造集合：B={x|

x∈A且a≤x≤b}。\n\n答案为：不是格。'列出下列