2.3.1离散型随机变量均值和方差(3课时)(选修2-3)习题全市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课

12.3离散型随机变量的均值和方差1/96设离散型随机变量可能取值为

为随机变量概率分布列，简称为分布列.取每一个值概率则称表

对于离散型随机变量，确定了它分布列，就掌握了随机变量取值统计规律.在实际应用中，我们还经常希望直接经过数字来反应随机变量某个方面特征，最惯用有期望与方差.2/96思索一:45678

9100.020.040.060.090.280.290.22某射手射击所得环数分布列以下：在100次射击之前,试预计该射手100次射击平均环数.分析：平均环数=总环数

100所以,总环数约等于（4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+10×0.22)×100.故100次射击平均环数约等于4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+10×0.22=8.32.3/96普通地：对任一射手,若已知他所得环数分布列，即已知则能够预计他任意n次射击平均环数是记为

我们称为此射手射击所得环数期望，它刻划了所得环数随机变量所取平均值。4/96

引例1：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg

3种糖果按3：2：1百分比混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果质量都相等，怎样对混合糖果定价才合理？定价为能够吗？5/96x182436p1/21/31/618×1/2+24×1/3+36×1/6=23=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)样本平均值权数加权平均6/96

则称为随机变量X均值或数学期望,数学期望又简称为期望。

X……P……普通地,若离散型随机变量X概率分布为它反应了离散型随机变量取值平均水平。1、离散型随机变量均值定义7/96归纳求离散型随机变量均值(期望)步骤：①、确定离散型随机变量可能取值。②、写出分布列，并检验分布列正确是否。③、求出均值(期望)。8/96引例2、随机抛掷一个均匀骰子，求所得骰子点数X均值X123456P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X均值为E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能了解3.5含义吗？变式：将所得点数2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y均值？9/96X

1

23

4

5

6P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量Y取值为3，5，7，9，11，13其分布列为所以随机变量Y均值为E（Y）=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2E（X）+1Y35791113变式：将所得点数2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y均值？10/96离散型随机变量均值线性性质11/96例题分析例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球一次得分X期望.解：依题意，P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，∴EX=1×P(X=1)＋0×P(X=0)=1×0.7＋0×0.3=0.7普通地，假如随机变量X服从两点分布，那么EX=1×p+0×(1-p)=p于是有若X服从两点分布，则EX=pX10P0.70.3则X分布列为：12/96例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚2次球得分X期望.解：依题意可知，X~B(2，0.7)∴该运动员得分期望为思索：你能找出该期望值1.4与这个二项分布X~B(2,0.7)之间规律吗？2×0.7=1.413/96二项分布数学期望：………Pnk…10X=np(p+q)n-1=np若X～B(n，p)，则EX＝np14/96离散型随机变量均值性质(1)线性性质

若X~B(n，p)，则E(X)=np(2)两点分布均值(3)二项分布均值若X~B(1，p)，则E(X)=p15/961、随机变量ξ分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.

2、随机变量ξ分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=

b=

.0.40.116/962.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中概率为0.7，则他罚球1次得分ξ期望为

．1.（1）若E(ξ)=4.5,则E(－ξ)=

.（2）E(ξ－Eξ)=

.

0.7-4.50这是一个特殊二项分布(两点分布)随机变量期望,那么普通地,若ξ~B(1，p)，则Eξ=?P17/96

姚明投篮命中率为0.8，假设他每次命中率相同，他在某次训练中连续投篮，则他投20次平均投中次数期望是_______练习三1618/96练四.(·上海理)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ

表示选出志愿者中女生人数,则数学期望

E(ξ)=______(结果用最简分数表示).

解析

ξ可能取值为0,1,2,19/961、本节课学习了离散型随机变量ξ期望及公式：（1）E(aξ+b)=aEξ+b;（2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np

2、会依据离散型随机变量分布列求出期望。20/96212.3离散型随机变量的均值和方差21/96温故而知新1、离散型随机变量X均值（数学期望）2、均值性质3、两种特殊分布均值（1）若随机变量X服从两点分布，则（2）若，则反应了离散型随机变量取值平均水平.22/962323/96解：设X1表示甲选正确题数、X2表示乙选正确题数它们都满足二项分布：X1～B(20，0.9)X2～B(20，0.25)所以：EX1=np=20×0.9=18EX2=np=20×0.25=5甲所得分数均值为：18×5=90乙所得分数均值为：5×5=2524/96解：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数则Y1=5X1Y2=5X2所以：EY1=E(5X1)=5EX1=90EY2=E(5X2)=5EX2=25Xx1x2…x20Pp1p2…p20Y5x15x2…5x20Pp1p2…p2025/96随机变量均值样本平均值？比如取糖果问题，将每次取出糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有改变，样本平均值也会跟着改变；而随机变量均值是常数。思索甲同学一定会得90分吗？90表示随机变量X均值；详细考试甲所得成绩是样本实际平均值；26/962727/962828/962929/963030/96思索1.某商场促销决议：

统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可赢利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可赢利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解:因为商场内促销活动可获效益2万元设商场外促销活动可获效益

万元,则

分布列P

10－40.60.4所以E=10×0.6＋(-4)×0.4=4.4因为4.4>2,所以商场应选择在商场外进行促销.31/96思索2.

有场赌博，规则以下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?对你不利!劝君莫参加赌博.32/96彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不一样外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢规则为：6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元你动心了吗?

思索3：33/96课堂训练

1.甲、乙两名射手一次射击中得分为两个相互独立与,且，分布列为123P0.30.40.3123P0.30.10.6甲、乙两人谁射击水平高？随机变量34/962.一次小测验由3道题目组成，每道题10分，学生甲做对题目个数分布列为ξ0123P0.10.50.30.1(1)甲做对题目个数期望(2)写出学生甲得分η分布列(3)甲得分期望35/9636/96注意概念步骤期望概念区分期望与对应数值算术平均数。求期望三个步骤归纳小结提炼升华37/96某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则要求：每小题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每小题回答正确概率均为0.8，且各题回答正确是否相互之间没有影响．(1)求这名同学回答这三个问题总得分X概率分布和均值；(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)概率．备用题：38/96[解析]

(1)X可能取值为－300、－100、100、300.P(X＝－300)＝0.23＝0.008，P(X＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096，P(X＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(X＝300)＝0.83＝0.512.所以X概率分布为X－300－100100300P0.0080.0960.3840.51239/96E(X)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.(2)这名同学总得分不为负分概率为P(X≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.40/96[分析]

(1)求X可能取值，即是求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200＝－100分，答对两道题得2×100－100＝100分，答对3道题得300分；(2)总分不为负分包含：总分为100分和总分为300分两种情况．41/96422.3离散型随机变量的均值和方差42/964343/964444/964545/9646(3)若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)＝p(1－p)．46/964747/964848/964949/965050/965151/965252/9653练习：53/965454/96例4已知随机变量X分布列是试求D(X)和D(2X－1)．[分析]

已知分布列求方差，可先求出均值，再套用公式计算．X01234P0.20.20.30.20.155/96[解析]

E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.∴D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.对于D(2X－1)，可用两种方法求解．方法1：2X－1分布列以下表：∴E(2X－1)＝2.6.∴D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.2X－1－11357P0.20.20.30.20.156/96方法2：利用方差性质D(aX＋b)＝a2D(X)∵D(X)＝1.56.∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.[点评]

求随机变量函数Y＝aX＋b方差，一是先求y分布列，再求其均值，最终求方差；二是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求．57/96已知X是一个随机变量，随机变量X＋5分布列以下表：试求D(X)．X＋5－2－1012P0.20.10.10.40.258/96[解析]

∵X＋5分布列已知，∴E(X＋5)＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋0×0.1＋1×0.4＋2×0.2＝0.3，∴D(X)＝D(X＋5)＝(－2－0.3)2×0.2＋(－1－0.3)2×0.1＋(0－0.3)2×0.1＋(1－0.3)2×0.4＋(2－0.3)2×0.2＝2.01.59/96例5.已知某运动员投篮命中率p＝0.6.(1)求一次投篮命中次数X期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η均值与方差．[分析]

(1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数X服从两点分布．(2)重复五次投篮投中次数η服从二项分布．60/96[解析]

(1)投篮一次命中次数X分布列为则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．由二项分布期望与方差计算公式，有E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.X01P0.40.661/96[点评]求离散型随机变量期望与方差关键步骤是以下两点：(1)写出离散型随机变量分布列；(2)正确应用均值与方差公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布期望与方差公式)．62/96一次数学测验由25道选择题组成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题概率为0.6，求此学生在这一次测验中成绩均值与方差．练习：63/96[解析]

设该学生在这次数学测验中选择正确答案个数为ξ，所得分数(成绩)为η，则η＝4ξ.由题知ξ～B(25,0.6)，∴E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×0.4＝6，E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝16×6＝96.该学生在这次测验中成绩均值与方差分别是60与96.64/96一、选择题1．甲，乙两个运动员射击命中环数ξ，η分布列以下表．其中射击比较稳定运动员是(

)A.甲B．乙C．一样D．无法比较环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4课堂练习65/96[答案]

B[解析]

E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，乙稳定．66/962．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(

)A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45[答案]

A67/9668/96[答案]

C69/96二、填空题4．某射手击中目标概率为p，则他射击一次击中目标次数X均值是________，方差是________．[答案]

p

1－p70/965．随机变量X分布列以下表：其中x、y、z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)值是______．X012Pxyz71/9672/96三、解答题6．设在15个同类型零件中有2个是次品，每次任取1个，取出后不再放回，共取3次．若以X表示取出次品个数，求X均值和方差．[分析]首先求出各种情况概率，写出概率分布，注意零件取后不放回．73/9674/9675/96机动练习117100.8====ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1则，～、已知==+=hxxhDD则，且、已知,13813276/963.若随机变量服从二项分布，且E=6，D=4,则此二项分布是

。设二项分布为

~B(n,p),则E=np=6D=np(1-p)=4n=18p=1/377/964．随机变量X分布列以下：其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则D(X)值是______．X－101Pabc78/96解析：a＋b＋c＝1.又∵2b＝a＋c，故b＝由E(X)＝故a＝D(X)＝答案：79/96对随机变量X均值(期望)了解：(1)均值是算术平均值概念推广，是概率意义上平均；(2)E(X)是一个实数，由X分布列唯一确定，也就是说随机变量X能够取不一样值，而E(X)是不变，它描述是X取值平均状态；(3)E(X)公式直接给出了E(X)求法．80/96(·衡阳模拟)一厂家向用户提供一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这么：一次取一件产品检验(取出产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就马上停顿抽检，而且用户拒绝接收这箱产品．(1)若这箱产品被用户接收概率是，求n值；(2)在(1)条件下，记抽检产品件数为X，求X分布列和数学期望．81/96（1）利用古典概型易求.（2）X取值为1、2、3，求出分布列代入期望公式.82/96∴X概率分布列为：X123P83/96【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝2.(2)X可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=84/96例2．(·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家企业招聘面试．企业要求面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，不然两人都不签约．设每人面试合格概率都是，且面试是否合格互不影响．求：(1)最少有三人面试合格概率；(2)恰有两人签约概率；(3)签约人数数学期望．85/96解：(1)设“最少有3人面试合格”为事件A，则P(A)＝(2)设“恰有2人签约”为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2；则：B＝B1＋B2P(B)＝P(B1)＋P(B2)86/96(3)设X为签约人数．X分布列以下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=87/96X01234P88/96举一反三1.某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.要求答题次序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，不然中止答题.假设你答对问题A、B概率依次为、.若你按先A后B次序答题，写出你取得奖金数额ξ分布列及期望值Eξ.ξ039p解析：若按先A后B次序答题，取得奖金数额ξ可取值为0,3(万元)，9（万元）.∵P（ξ=0）=,P（ξ=3）=,P（ξ=9）=.∴ξ分布列为89/96题型二求随机变量方差【例3】编号1，2，3三位学生随意入座编号1，2，3三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同学生人数是X.（1）求随机变量X概率分布列；（2）求随机变量X期望与方差.ξ数学期望为E（ξ）=90/96分析（1）随机变量X意义是对号入座学生个数，全部取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X概率分布列为

(2)E(X)=D(X)=91/96举一反三2.设在15个同类型零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，而且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品个数.