2024年福建省三明市大田县部分学校中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年福建省三明市大田县部分学校中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列算式计算结果不是1的是（）A．﹣1+2 B． C．（﹣1）﹣1 D．202402．（4分）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠2＝50°，要使木条a与b平行（）A．10° B．20° C．50° D．70°3．（4分）据研究表明，感冒病毒的平均直径约为100nm到160nm之间，已知1nm＝10﹣9m，将100nm用科学记数法可以表示为（）A．100×10﹣9m B．10×10﹣8m C．1×10﹣7m D．0.1×10﹣6m4．（4分）若某公司25名员工年薪的情况如表，则该公司全体员工年薪的众数是（）年薪/万元30149643.53员工数/人1234564A．30万元 B．6万元 C．4万元 D．3.5万元5．（4分）如图，实数在数轴上对应的点可能是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点6．（4分）若正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为（3，﹣1），则另一个交点坐标为（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）7．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，则∠A+∠B的度数为（）A．35° B．55° C．125° D．110°8．（4分）如图，要将一个底面半径为10cm的圆柱体改成一个四棱柱，先把圆柱体展开，做成四棱柱的底，把展开的侧面围成四棱柱的四个面（）A．2.0cm B．1.4cm C．3.1cm D．6.2cm9．（4分）《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列解题方案：①设井深为x尺，列方程为3x+4＝4x+1；②设绳长为y尺；③设绳长、井深分别为a尺，b尺，其中正确的是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点E，点A在线段PE上，过点A作x轴的平行线，分别过点A，B作x轴的垂线，C，当四边形ABCD为正方形时，点B的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：a2﹣a＝．12．（4分）某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，那么他本学期数学学期综合成绩是分．13．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是．14．（4分）如图，以正六边形ABCDEF的AB为边，在内部作正五边形ABMPN，则∠BCM的度数为．15．（4分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，AB，CD相交于点O．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（m，y1），B（3，y2），C（4，y3），D（n+2，y4），E（2﹣n，y4），若y1＞y2＞y3，则m的取值范围为．三、解答题（共86分）17．（8分）解不等式组：．18．（8分）如图，在菱形ABDC中，点E，BD上，且DE＝DF．求证：∠1＝∠2．19．（8分）小明想把学校新发的10本课本用封皮包好，通过测量发现课本的长为26cm，宽为18.5cm，且都不超过1cm，如果用一张长方形封皮纸包好一本课本（1）如图，若一本课本的厚度为mcm，计算包这本书所用封皮纸的面积是多少？（用含a，m的代数式表示）（2）商店里有规格为40cm×60cm和60cm×100cm的两种长方形封皮纸，从节约材料的角度，请直接写出该选用哪一种规格的封皮纸20．（8分）某公司为解决24位中午没有回家员工的午餐，要求快餐公司每天送餐到公司，为了了解员工的用餐情况（其中当天有外出跑业务的员工没有在公司用餐）用餐人数18192021222324天数41011101285（1）若在这60天中随机抽查一天在公司员工的用餐情况，则这天用餐人数超过20人的概率是多少？（2）公司准备开办食堂让没有回家的员工一起用午餐，经过测算，如果只准备20人用餐，当天用餐人数超出20人，公司需另给超出员工每人每次配送30元的快餐，每天需要540元，请以每天用餐的平均费用为依据，还是准备24人用餐比较省钱？21．（8分）如图，MN是△ABC的中位线．（1）作出点A关于直线MN的对称点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：B，P，C三点在同一条直线上．22．（10分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，AB＝4，求图中阴影部分的面积．23．（10分）为加强2024年体育中考篮球运球绕杆往返训练，学校2计划购买一批A，B两种品牌的篮球．已知A，且同样用600元购买这2种品牌的篮球，会相差一个球．（1）A，B两种品牌篮球的单价各是多少元？（2）若学校计划购买A，B这两种品牌的篮球共30个，其中购买B品牌篮球的数量不超过A品牌篮球数量的一半24．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，0），与y轴交于点，以点P为顶点作∠MPN＝90°，N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若PM＝PN，求MN的长；（3）判断直线MN是否经过定点，并说明理由．

2024年福建省三明市大田县部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列算式计算结果不是1的是（）A．﹣1+2 B． C．（﹣1）﹣1 D．20240【解答】解：A、﹣1+2＝6；B、＝1；C、（﹣5）﹣1＝﹣1，故符合题意；D、20242＝1，故不符合题意；故选：C．2．（4分）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠2＝50°，要使木条a与b平行（）A．10° B．20° C．50° D．70°【解答】解：如图．∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°＝20°．故选：B．3．（4分）据研究表明，感冒病毒的平均直径约为100nm到160nm之间，已知1nm＝10﹣9m，将100nm用科学记数法可以表示为（）A．100×10﹣9m B．10×10﹣8m C．1×10﹣7m D．0.1×10﹣6m【解答】解：∵1nm＝10﹣9m，∴100nm＝100×10﹣5m＝1×10﹣7m．故选：C．4．（4分）若某公司25名员工年薪的情况如表，则该公司全体员工年薪的众数是（）年薪/万元30149643.53员工数/人1234564A．30万元 B．6万元 C．4万元 D．3.5万元【解答】解：在这一组数据中3.5万元是出现次数最多的，众数是8.5万元；故选：D．5．（4分）如图，实数在数轴上对应的点可能是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【解答】解：∵实数≈4.236，∴实数在数轴上对应的点可能是点A，故选：A．6．（4分）若正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为（3，﹣1），则另一个交点坐标为（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为（3，∴另一个交点坐标为（﹣7，1）．故选：A．7．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，则∠A+∠B的度数为（）A．35° B．55° C．125° D．110°【解答】解：连接OC，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，同理：∠A＝∠OCA，∴∠A+∠B＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝55°．故选：B．8．（4分）如图，要将一个底面半径为10cm的圆柱体改成一个四棱柱，先把圆柱体展开，做成四棱柱的底，把展开的侧面围成四棱柱的四个面（）A．2.0cm B．1.4cm C．3.1cm D．6.2cm【解答】解：由于圆柱的底面半径为10cm，则圆柱侧面展开图的长为2π×10＝20π≈62.8（cm），改成四棱柱的底面边长为10≈14.14cm，∴把圆柱体的侧面围成四棱柱的四个侧面，则围成侧面时多出的长度约为62.8﹣14.14×4≈6.2（cm），故选：D．9．（4分）《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列解题方案：①设井深为x尺，列方程为3x+4＝4x+1；②设绳长为y尺；③设绳长、井深分别为a尺，b尺，其中正确的是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③【解答】解：①设井深x尺，两次测量绳长不变．②设绳长为y尺，两次测量井深不变﹣4＝；③设绳长、井深分别为a尺，列方程组为，其中正确的是②③，故选：C．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点E，点A在线段PE上，过点A作x轴的平行线，分别过点A，B作x轴的垂线，C，当四边形ABCD为正方形时，点B的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：设A点的纵坐标为n，∴n＝x+3，解得x＝n﹣3，∴A（n﹣2，n），由题意可知，B的纵坐标为n，∴n＝﹣2x+3，解得x＝，∴B（，n），∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∴＝n，∴B（，），故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：a2﹣a＝a（a﹣1）．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．12．（4分）某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、80分和85分，那么他本学期数学学期综合成绩是82分．【解答】解：根据题意得：他本学期数学学期综合成绩是＝82（分），故答案为：82．13．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是2025．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝7的根，∴a2+a﹣1＝6．当a＝0时，﹣1＝5不成立，∴a≠0．∴在方程a2+a﹣8＝0的两边同时除以a，得a+1﹣＝0．∴a﹣＝﹣3．∴＝2024﹣（﹣1）＝2024+7＝2025．故答案为：2025．14．（4分）如图，以正六边形ABCDEF的AB为边，在内部作正五边形ABMPN，则∠BCM的度数为84°．【解答】解：∵正六边形的每个内角为120°，正五边形的每个内角为108°，∴∠ABC＝120°，∠ABM＝108°，∴∠CBM＝120°﹣108°＝12°，由题意知BM＝BC，∴∠BCM＝∠BMC，∴∠BCM＝，故答案为：84°．15．（4分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，AB，CD相交于点O．【解答】解：连接BC，令小正方形的边长为1，由勾股定理得，BC＝；CD＝；DE＝；∵AE∥BD，∴△AOE∽△BOD，∴，∴OD＝，则OC＝CD﹣OD＝；在Rt△BOC中，sin∠BOC＝．故答案为：．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（m，y1），B（3，y2），C（4，y3），D（n+2，y4），E（2﹣n，y4），若y1＞y2＞y3，则m的取值范围为1＜m＜3．【解答】解：∵C，D两点坐标为（n+2，y4）和（8﹣n，y4），∴抛物线的对称轴为直线x＝．又∵B（4，y2），C（4，y6），且3＜4，y2＞y3，∴抛物线对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小，∴抛物线的开口向下．又∵y1＞y6，且，∴点A在抛物线上的（1，y7）和（3，y2）之间，∴7＜m＜3．故答案为：1＜m＜7．三、解答题（共86分）17．（8分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①，得x＞1；解不等式②，得x＜4；∴原不等式组的解集为1＜x＜5．18．（8分）如图，在菱形ABDC中，点E，BD上，且DE＝DF．求证：∠1＝∠2．【解答】证明：∵ABCD为菱形，∴CD＝BD，在△CDF和△BDE中，，∴△CDF≌△BDE（SAS），∴∠1＝∠2．19．（8分）小明想把学校新发的10本课本用封皮包好，通过测量发现课本的长为26cm，宽为18.5cm，且都不超过1cm，如果用一张长方形封皮纸包好一本课本（1）如图，若一本课本的厚度为mcm，计算包这本书所用封皮纸的面积是多少？（用含a，m的代数式表示）（2）商店里有规格为40cm×60cm和60cm×100cm的两种长方形封皮纸，从节约材料的角度，请直接写出该选用哪一种规格的封皮纸【解答】解：（1）由题意可知：封皮纸的长：18.5×2+4a+m＝m+2a+37（cm）；封皮纸的宽：26+2a（cm）．∴封皮纸的面积：（26+6a）（m+2a+37）＝4a2+（2m+126）a+26m+962（cm2）．答：这本书所用封皮纸的面积是[7a2+（2m+126）a+26m+962]cm6．（2）10本课本，厚度都不超过1cm，为适用于所有课本，则考虑m取最大，即m＝1．∴长＝38+6a，宽＝26+2a，则当26+2a＝40时，a＝8，此时38+2×7＝52＜60，选用规格为40cm×60cm即可．裁剪和包书方案：将封皮纸长截掉60﹣52＝2cm，此时a＝7，m＝1．20．（8分）某公司为解决24位中午没有回家员工的午餐，要求快餐公司每天送餐到公司，为了了解员工的用餐情况（其中当天有外出跑业务的员工没有在公司用餐）用餐人数18192021222324天数41011101285（1）若在这60天中随机抽查一天在公司员工的用餐情况，则这天用餐人数超过20人的概率是多少？（2）公司准备开办食堂让没有回家的员工一起用午餐，经过测算，如果只准备20人用餐，当天用餐人数超出20人，公司需另给超出员工每人每次配送30元的快餐，每天需要540元，请以每天用餐的平均费用为依据，还是准备24人用餐比较省钱？【解答】解：（1）这次乘车人数超过20人的概率＝＝；（2）当公司准备20人用餐时，每天用餐的平均费用为，当公司准备24人用餐时，每天用餐的平均费用为540元，∵539＜540，∴公司准备20人用餐比较省钱．21．（8分）如图，MN是△ABC的中位线．（1）作出点A关于直线MN的对称点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：B，P，C三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，点P为所作；（2）AP交MN于点D点，如图，∵点A与点P关于MN对称，∴AD＝PD，∵MN是△ABC的中位线．∴AM＝BM，AN＝CN，∴AM：BM＝AD：DP，∴MD∥BP，同理可得CP∥DN，∴BP、CP共线，即B，P，C三点在同一条直线上．22．（10分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，AB＝4，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝60°，∵AB＝4，∴OC＝2，在Rt△OCD中，∠D＝90°﹣60°＝30°，∴OD＝7，∴，∴阴影部分的面积＝．23．（10分）为加强2024年体育中考篮球运球绕杆往返训练，学校2计划购买一批A，B两种品牌的篮球．已知A，且同样用600元购买这2种品牌的篮球，会相差一个球．（1）A，B两种品牌篮球的单价各是多少元？（2）若学校计划购买A，B这两种品牌的篮球共30个，其中购买B品牌篮球的数量不超过A品牌篮球数量的一半【解答】解：（1）设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是1.2x元，根据题意得：﹣＝1，解得：x＝100，经检验，x＝100是所列方程的解，∴6.2x＝1.5×100＝120（元）．答：A品牌篮球的单价是100元，B品牌篮球的单价是120元；（2）设购买m个A品牌篮球，则购买（30﹣m）个B品牌篮球，根据题意得：30﹣m≤m，解得：m≥20．设学校购买这些篮球需要w元，则w＝100m+120（30﹣m），即w＝﹣20m+3600，∵﹣20＜6，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最大值．答：学校购买