周世勋量子力学波函数与薛定谔方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

1第二章

波函数与薛定谔方程ThewavefunctionandSchrödingerEquation第1页2

2.1波函数统计解释

TheWavefunctionanditsstatisticexplanation

2.2态叠加原理

Theprincipleofsuperposition

2.3薛定谔方程

TheSchrödingerequation

2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws

2.5定态薛定谔方程

TimeindependentSchrödingerequation

2.6一维无限深势阱

Theinfinitepotentialwell

2.7线性谐振子

Thelinearharmonicoscillator

2.8势垒贯通

Thetransmissionofpotentialbarrier学习内容第2页31.了解微观粒子运动状态描述波函数及其统计解释。2.经过对试验分析,了解态叠加原理。3.掌握微观粒子运动动力学方程波函数随时间演化规律SchrÖdinger方程。4.掌握定态及其性质。5.经过对三个实例讨论,掌握定态SchrÖdinger方程求解。学习要求第3页4

微观粒子因含有波粒二象性，其运动状态描述必有别于经典力学对粒子运动状态描述，即微观粒子运动状态不能用坐标、速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子运动时，要有创新概念和思想来统一波和粒子这么两个在经典物理中截然不一样物理图像。§2.1波函数统计解释1．微观粒子状态描述微观粒子运动状态可用一个复函数来描述，函数—

称为波函数。★

描述自由粒子波是含有确定能量和动量平面波★假如粒子处于随时间和位置改变力场中运动，它动量和能量不再是常量（或不一样时为常量）粒子状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂波描写，普通记为：描写粒子状态波函数，它通常是一个复函数。第4页5三个问题？(1)

是怎样描述粒子状态呢？(2)

怎样表达波粒二象性？(3)

描写是什么样波呢？§2.1波函数统计解释（续1）I0

1XP电子单缝衍射试验2．波函数统计解释电子源感光屏PPQQO电子小孔衍射试验第5页6▲两种错误看法（1）波由粒子组成如水波，声波，由物质分子密度疏密改变而形成一个分布。这种看法与试验矛盾，它不能解释长时间单个电子衍射试验。电子一个一个经过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可展现出衍射花纹。这说明电子波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有现象，单个电子就含有波动性。实际上，正是因为单个电子含有波动性，才能了解氢原子（只含一个电子！）中电子运动稳定性以及能量量子化这么一些量子现象。§2.1波函数统计解释（续2）

波由粒子组成看法仅注意到了粒子性一面，而抹杀了粒子波动性一面，含有片面性。（2）粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子某种实际结构，是三维空间中连续分布某种物质波包。所以展现出干涉和衍射等波动现象。波包大小即电子大小，波包群速度即电子运动速度。第6页7§2.1波函数统计解释（续3）什么是波包？波包是各种波数（长）平面波迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。假如粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义，与试验事实相矛盾。

试验上观察到电子，总是处于一个小区域内。比如一个原子内电子，其广延不会超出原子大小≈1。

电子终究是什么东西呢？是粒子？还是波？

“

电子既不是粒子也不是波

”，既不是经典粒子也不是经典波，不过我们也能够说，“

电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾统一。”这个波不再是经典概念波，粒子也不是经典概念中粒子。1.有一定质量、电荷等“颗粒性”属性;2．有确定运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中粒子意味着

第7页81.实在物理量空间分布作周期性改变;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着

（1）入射电子流强度小，开始显示电子微粒性，长时间亦显示衍射图样;▲玻恩解释：OPP电子源感光屏QQ衍射试验事实：§2.1波函数统计解释（续4）（2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样.波动观点粒子观点明纹处:电子波强

(x,y,z,t)

2大

电子出现概率大暗纹处:电子波强

(x,y,z,t)

2小电子出现概率小第8页91926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数统计解释：

波函数在空间中某一点强度（波函数模平方）与粒子在该点出现概率密度成百分比。

可见，波函数模平方与粒子时刻在处附近出现概率成正比。§2.1波函数统计解释（续5）设粒子状态由波函数描述，波强度是则微观粒子在t时刻出现在处体积元dτ内概率这表明描写粒子波是几率波(概率波),反应微观客体运动一个统计规律性，波函数有时也称为概率幅。按Born提出波函数统计解释,粒子在空间中某一点处出现概率与粒子波函数在该点模平方成百分比第9页10

（1）“微观粒子运动状态用波函数描述，描写粒子波是概概波”，这是量子力学一个基本假设（基本原理）。

知道了描述微观粒子状态波函数，就可知道粒子在空间各点处出现概率，以后讨论深入知道，波函数给出体系一切性质，所以说波函数描写体系量子状态（简称状态或态）（2）波函数普通用复函数表示。（3）波函数普通满足连续性、有限性、单值性。必须注意

称为几率密度(概率密度)§2.1波函数统计解释（续6）令3．波函数归一化条件第10页11和所描写状态相对概率是相同，这里

是常数。时刻，在空间任意两点和处找到粒子相对概率是：可见，和描述是同一概率波，所以波函数有一常数因子不定性。§2.1波函数统计解释（续7）非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这么，对一个粒子而言，它在全空间出现概率等于一，所以粒子在空间各点出现概率只取决于波函数在空间各点强度相对百分比，而不取决于强度绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写粒子状态不变，即和描述同一状态这与经典波截然不一样。对于经典波，当波幅增大一倍（原来2倍）时，则对应波动能量将为原来4倍，因而代表完全不一样波动状态。经典波无归一化问题。第11页12为消除波函数有任一常数因子这种不确定性，利用粒子在全空间出现概率等于一特征，提出波函数归一化条件：§2.1波函数统计解释（续8）又因其中称为归一化常数于是归一化条件消除了波函数常数因子一个不确定性。满足此条件波函数称为归一化波函数。第12页13Ex.1

已知一维粒子状态波函数为求归一化波函数，粒子概率分布，粒子在何处出现概率最大。

归一化常数

归一化波函数解：(1).求归一化波函数§2.1波函数统计解释（续9）（2）概率分布：

（3）由概率密度极值条件

因为

故处，粒子出现概率最大。第13页14注意（1）归一化后波函数仍有一个模为一因子不定性（δ为实数）。若是归一化波函数，那么也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。若对空间非绝对可积时，需用所谓δ函数归一化方法进行归一化。（2）只有当概率密度对空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。§2.1波函数统计解释（续10）第14页平面波归一化IDirac

—函数定义：或等价表示为：对在x=x0

邻域连续任何函数f（x）有：

—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,则性质：0x0x第15页16Solve：

归一化常数★比如平面波归一化问题

ex.2

已知平面波,求归一化常数§2.1波函数统计解释（续11）归一化平面波：

利用归一化条件第16页17补充作业题1.以下一组波函数共描写粒子几个不一样状态?并指出每个状态由哪几个波函数描写。2.已知以下两个波函数试判断:(1)波函数和是否描述同一状态?(2)对取两种情况,得到两个波函数是否等价?第17页18开1闭2，衍射花样（兰曲线）开2闭1，衍射花样（紫红曲线）同时开1，2，衍射花样（黑曲线）实验事实显然§2.2态叠加原理1.电子双缝衍射试验

12

表明概率不恪守迭加标准，而波函数（概率幅）恪守迭加标准：第18页19物理意义

当两个缝都开着时，电子既可能处于态，也可能处于态，也可处于和线性迭加态。可见，

若和是电子可能状态，则也是电子可能状态。

反言之，电子经双缝衍射后处于态，则电子部分地既可处于态，也可部分地处于态。§2.2态迭加原理（续1）迭加态概率:

干涉项电子穿过狭缝１出现在Ｐ点概率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点概率密度

当两个缝几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态,其概率为干涉项第19页20

态迭加原理是量子力学一个基本假设，它正确性也依赖于试验证实。

1.若是粒子可能状态，则粒子也可处于它们线性迭加态2．态迭加原理§2.2态迭加原理（续2）

2.当体系处于态时，发觉体系处于态概率是，而且3．电子在晶体表面衍射，动量空间波函数

d电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种不一样动量运动，出射后电子为自由电子，其状态波函数为平面波。第20页21

电子从晶体表面出射后，既可能处于态，也可能处于、

等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子状态可表示成

取各种可能值平面波线性叠加，即§2.2态迭加原理（续3）考虑到电子动量能够连续改变衍射图样正是这些平面波叠加干涉结果第21页22§2.2态迭加原理（续4）而（2）（1）

即显然,二式互为Fourer变换式,所以与一一对应,是同一量子态两种不一样描述方式。以坐标

为自变量波函数，坐标空间（坐标表象）波函数以动量为自变量波函数，动量空间（动量表象）波函数给出t时刻粒子处于位置处几率密度

给出t时刻粒子动量为几率密度二者描写同一量子状态若归一化，则也是归一化第22页23§2.2态迭加原理（续5）Prove:此显示出把平面波归一化为函数目标一维情况下，与Fourer变换关系：若取t=0第23页24§2.3薛定谔方程1．微观粒子运动方程应含有特点（1）含有波函数对时间一阶导数（2）方程必为线性（3）质量为非相对性粒子(即低速运动粒子),其总能为

本节研究量子力学动力学问题，建立量子力学动力学方程——Schrödinger方程

2．自由粒子运动方程（2）

（1）

第24页25又（3）将（1）和（2）式代入（3）式，得§2.3薛定谔方程（续1）（4）

满足运动方程应含有三个特点，此即为自由粒子基本运动方程——自由粒子Schrödinger方程。讨论经过引出自由粒子波动方程过程能够看出，假如将能量关系式E=p2/2μ写成以下方程形式：即得自由粒子Schrödinger方程（4）。再做算符替换：（5）称为能量算符称为动量算符第25页263．势场中运动粒子Schrödinger方程设势场中运动粒子状态波函数为（6）

§2.3薛定谔方程（续2）用能量关系式乘以波函数

按（5）式，将能量和动量分别用能量算符和动量算符替换，即得Schrödinger方程粒子哈密顿函数作动量算符替换第26页27哈密顿函数4．多粒子体系Schrödinger方程§2.3薛定谔方程（续3）则利用哈密顿算符，可将Schrödinger方程（6）写成另一形式（7）称为哈密顿算符哈密顿算符

（8）Schrödinger方程（9）第27页28

（1）Schrödinger作为一个基本假设提出来，它正确性已为非相对论量子力学在各方面应用而得到证实。注意

（2）Schrödinger方程在非相对论量子力学中地位与牛顿方程在经典力学中地位相仿,只要给出粒子在初始时刻波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻波函数。§2.3薛定谔方程（续4）第28页29§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律1．概率守恒定律由Schrödinger方程

（1）则设是粒子状态归一化波函数取复共轭

讨论粒子在一定空间区域内出现概率将怎样随时间改变代入（1）式后，有

（2）第29页30令称为概率流密度概率连续性方程（3）（2）

概率连续性方程与经典电动力学中电荷守恒方程含有相同形式。（3）式对空间V作体积分§2.４粒子流密度和粒子数守恒定律（续1）(4)(4)式表明:粒子单位时间在内出现概率增量等于单位时间内流入内概率(负号表示流入)。(4)式是概率守恒守律积分形式。第30页31当时(4)式即表明粒子总概率不变,即概率守恒。表明波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未毁灭。§2.４粒子流密度和粒子数守恒定律（续２）(4)2．电荷守恒定律，粒子数守恒—电荷密度设粒子电荷为，质量为—质量密度—电流密度—质量流密度—电荷守恒律——物质守恒律第31页323．波函数标准条件（1）依据Born统计解释，是粒子在

时刻出现在点概率密度，这是一个确定数，所以要求应是单值函数且有限。（2）依据粒子数守恒定律:此式右边含有及其对坐标一阶导数积分，因为积分区域是任意选取，所以是任意闭合面。要使积分有意义，必须在变数全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。

概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数标准条件。§2.４粒子流密度和粒子数守恒定律（续3）第32页33§2.5定态薛定谔方程1．定态，定态波函数（1）（2）若与无关，则能够分离变量，令(2)代入(1)式，两边同除，得到（3）

等式两边是相互无关物理量，故应等于与无关常数（4）（5）第33页34（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可见分离变量中引入常数为粒子能量，当粒子处于由波函数（6）所描述状态时，粒子能量有确定值，这种状态称为定态；描述定态波函数（6）称为定态波函数。定态波函数§2.5定态薛定谔方程（续1）2．定态Schrödinger方程

当粒子处于定态中时，含有确定能量，其空间波函数由方程（3），即由 在给定定解条件下求出，方程（7）称为定态Schrödinger方程。

（7）第34页35§2.5定态薛定谔方程（续2）3.Hamilton算符和能量本征值方程（8）（9）这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数上，得出定态能量乘以该定态波函数，所以算符（10）均称为能量算符（11）利用哈密顿算符(能量算符)可将方程(9)和定态Schrödinger方程(7)和分别写成第35页36§2.5定态薛定谔方程（续3）（12）

（13）

和两式均称为哈密顿算符(能量算符)本征方程

本征函数能量本征值

为本征波函数

当体系处于能量本征波函数所描写状态(又称本征态)中时，粒子能量有确定值。

讨论定态问题就是要求出体系可能有定态波函数及这些态中能量

；解能量算符本征方程（12）求定态波函数问题又归结为解定态Schrödinger方程+定解条件组成本征值问题:

定解条件本征能量值谱：本征函数系：第36页37§2.5定态薛定谔方程（续4）本征波函数任意状态

4.求解定态问题步骤（1）列出定态Schrodinger方程（2）依据波函数三个标准条件求解能量本征值问题，得：本征函数本征能量（4）经过归一化确定归一化系数（3）写出定态波函数即得到对应第个本征值

定态波函数第37页38与无关5．定态性质（2）概率流密度与时间无关（1）粒子在空间概率密度与时间无关与无关判别定态方法：§2.5定态薛定谔方程（续5）（1）能量是否为确定值（2）概率与时间无关（3）概率流密度与时间无关第38页391.以下波函数所描述状态是否为定态？为何？（1）

（2）

（3）

思索题

2.假如一个粒子只有两个可能位置,在量子力学中其波函数怎样?意义又怎样?√第39页40§2.6一维无限深势阱在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单问题——一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯通）。（1）有利于详细了解已学过基本原理；（2）有利于深入说明其它基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系许多特征都能够在这些一维问题中展现出来；

（4）一维问题还是处理各种复杂问题基础。其好处主要有四：考虑一维粒子运动，其势能为:-aa0U(x)第40页411．定态Schrödinger方程哈密顿算符§2.6一维无限深势阱（续1）(1)(2)2．定态Schrödinger方程解因及有限，由（2）

（3）从物理考虑，粒子不能透过无穷高势壁。令（4）（1）第41页42§2.6一维无限深势阱（续2）其通解为：（5）

利用连续性，由（3）和（5）得当，有（n为偶数）

(6)当，有（n为奇数）

(7)(6)和(7)两式统一写成（8）本征能量：（9）第42页43本征函数§2.6一维无限深势阱（续3）（10）

为偶数（11）

为奇数(10)和(11)两式统一写成由归一化条件求得归一化常数第43页44推导:（取实数）§2.6一维无限深势阱（续4）（12）归一化本征函数or

由此可见：粒子每个定态波函数是由两个沿相反方向传输平面波叠加而成驻波。3．粒子定态波函数第44页454．概率幅与概率密度曲线图§2.6一维无限深势阱（续5）对于不一样量子数，在阱内某一特定点，粒子出现概率是不一样。波函数与横轴相交次数（不含两端）称为节点数，显然为n-1第45页465.宇称空间反射：空间矢量反向操作。称波函数含有正宇称（或偶宇称）称波函数含有负宇称（或奇宇称）（3）在空间反射下，假如则称波函数没有确定宇称。（1）在空间反射下，假如有：

则称波函数有确定宇称。§2.6一维无限深势阱（续6）第46页47讨论基态能量§2.6一维无限深势阱（续7）（2）能量取分离谱，即能量是量子化。(3)粒子能量最低态称为基态与经典最低能量为零不一样，这是微观粒子波动性表现，因为“静止波”是没有意义，亦即

态不存在，无意义。（1）束缚态——通常将在无穷远处为零波函数所描写状态称为束缚态。（4）当为偶数时，，即含有负宇称（奇宇称）。当为奇数时，，即含有正宇称（偶宇称)。本征函数含有确定宇称是由势能对原点对称：而造成。第47页48§2.7线性谐振子

在经典力学中，当质量为粒子，受弹性力作用，由牛顿第二定律能够写出运动方程为：其解为。这种运动称为简谐振动，作这种运动粒子称为（线性）谐振子。经典允许振动范围谐振子在运动中能量守恒。其能量是振幅连续函数。1.经典谐振子谐振子哈密顿量：引言谐振子能量：第48页49

量子力学中线性谐振子是指在势场中运动质量为粒子

2.量子谐振子比如双原子分子，两原子间势是二者相对距离函数，如图所表示。自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近小振动，比如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场振动等往往都能够分解成若干彼此独立一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动初步近似，所以简谐振动研究，不论在理论上还是在应用上都是很主要。§2.7线性谐振子（续1）第49页50在处，有一极小值。在附近，势能够展开成泰勒级数：axV(x)0V0记若取，即平衡位置处于势点；并记，则§2.7线性谐振子（续2）第50页51Hamiltonoperator定态Schrödinger方程：

1.Schrödinger方程（1）改写成令

（为待定常数）（2）

（3）

§2.7线性谐振子（续3）于是方程（2）可写成（4）

第51页522.方程求解当时，方程（4）渐近形式为

（5）

方程（5）在处有限解为

令方程（4）解

（6）

代入方程（4）可得满足微分方程

§2.7线性谐振子（续4）（称为厄密方程）(7)(8)用常微分方程幂级数解法求厄密方程（7）满足有限性条件（8）有限解，可得厄密方程本征值问题本征值：(9)第52页53§2.7线性谐振子（续4）第53页54本征函数:称为厄密多项式§2.7线性谐振子（续5）厄密多项式微分形式几个厄密多项式：满足递推公式第54页55由归一化条件(10)并利用积分公式：

求得归一化常数(11)3.线性谐振子能量本征函数(12)归一化本征函数§2.7线性谐振子（续6）第55页56本征波函数(13)4.线性谐振子本征能量由(2)和(9)式,即由和得本征能量:

(14)§2.7线性谐振子（续7）第56页571能量本征值：

（1）能量谱为分离谱，两能级间隔为

（2）对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并，每个能级简并度为1（一能级对应量子态数称为该能级简并度）（3）基态能量：（又称零点能）

零点能不等于零是量子力学中特有，是微观粒子波粒二相性表现，能量为零“静止”波是没有意义，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子晶体散射试验所证实。讨论§2.7线性谐振子（续8）第57页58基态能量：基态本征函数：2.基态在处势能：在范围内动能由概率密度看出,粒子在处出现概率最大；在范围内，粒子出现几率不为零。对其它各能级状态下波函数可作类似分析。

§2.7线性谐振子（续9）第58页59

在经典情形下，粒子将被限制在范围中运动。这是因为振子在处，其势能，即势能等于总能量，动能为零，经典粒子动能不能够小于零，所以粒子被限制在

可见，量子与经典情况完全不一样。3.含有宇称§2.7线性谐振子（续10）

上式谐振子波函数所包含是偶函数，所以宇称由厄密多项式宇称决定。因为最高次项是。当偶数，则厄密多项式只含ξ偶次项(偶宇称)；当奇数，则厄密多项式只含ξ奇次项(奇宇称)。所以,含有宇称第59页604．本征函数与概率密度§2.7线性谐振子（续11）线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度第60页61§2.7线性谐振子（续12）线性谐振子n=11时概率密度分布虚线代表经典结果：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现概率小；在两端速度为零，出现概率最大。

从以上本征函数与概率密度曲线图看出，量子力学谐振子波函数ψn有n个节点，在节点处找到粒子概率为零。而经典力学谐振子在[-a,a]区间每一点上都能找到粒子，没有节点。第61页62xn很大EnE1E2E00V(x)§2.7线性谐振子（续13）概率分布特点:E<V区有隧道效应第62页63势垒贯通是能量为E粒子入射被势场散射问题§2.8势垒贯通IIIIII其结果是：部分波反射（Reflecting）部分波透射（Transmitting）1.定态薛定谔方程第63页64（1）E>U0情形令

§2.8势垒贯通续1则有分区取解ⅠⅡⅢ2.方程求解向右传输入射平面波向左传输反射平面波由左向右透射波因Ⅲ区无由右向左传输平面波，故三式均为两个左右传输平面波叠加第64页65

可得透射波振幅及反射波振幅与入射波振幅间关系联立这四个方程式，消除与由波函数连续性条件

（4）§2.8势垒贯通续2第65页66经过前两式可得经过后两式可得联合上两组式子可得两式左右两端分别相比第66页67整理得将代入第67页68第68页69（5）利用概率流密度公式:求得入射波概率流密度

透射波概率流密度

反射波概率流密度

§2.8势垒贯通续3第69页70

为了定量描述入射粒子透射势垒概率和被势垒反射概率，定义透射系数和反射系数。3.透射系数和反射系数透射系数（6）反射系数（7）以上二式说明入射粒子一部分贯通势垒到III区域，另一部分则被势垒反射回来。表明粒子数守恒§2.8势垒贯通续4第70页71（2）E<U0情形

是虚数令是实数其中在(4)和(6)式中，把换为

，得到透射波振幅:（8）§2.8势垒贯通续5IIIIII第71页72透射系数:（9）隧道效应（tunneleffect）粒子能够穿透比它动能更高势垒现象称为隧道效应.它是粒子含有波动性生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。右图给出了势垒穿透波动图象。此结果表明，即使，透射系数普通不等于零。§2.8势垒贯通续6IIIIII第72页73当很小，或，而

又不太小时，有，则讨论于是（10）式(9)化成1.低能粒子穿透因与

同数量级，则

故4可忽略§2.8势垒贯通续7表明

随垒宽

和垒高

增大而成指数减小。第73页74

2.任意形状势垒可把任意形状势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。对每一小方势垒透射系数E0abV(x)§2.8势垒贯通续8则贯通整