微积分复习(线面积分)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

怎样学习一、曲线积分计算法二、曲面积分计算法曲线、曲面积分第九章第1页第九章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长曲线积分对坐标曲线积分对面积曲面积分对坐标曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第2页一、曲线积分计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终第3页解答提醒:计算其中L为圆周提醒:

利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则

1(1)第4页1(3).计算其中L为摆线上对应t从0到2一段弧.提醒:第5页

1(6).计算其中

由平面y=z截球面提醒:因在

上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.第6页(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分联络公式.2.基本技巧第7页例1.计算其中

为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(

重心在原点)第8页例2.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心、解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径上半圆周.第9页解法2

它与L所围区域为D,(利用格林公式)思索:(2)若L同例2,怎样计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,怎样计算下述积分:则添加辅助线段第10页思索题解答:(1)(2)第11页证:把例3.设在上半平面内函数含有连续偏导数,且对任意t>0都有证实对D内任意分段光滑闭曲线L,都有两边对t求导,得:则有所以结论成立.(考研)第12页计算其中L为上半圆周提醒:沿逆时针方向.练习题:P244题3(5);P245题6;11.3(5).用格林公式:第13页P245

6

.设在右半平面x>0内,力组成力场,其中k为常数,证实在此力场中场力所作功与所取路径无关.提醒:令易证F沿右半平面内任意有向路径L

所作功为第14页P245

11.求力沿有向闭曲线

所作其中

为平面x+y+z=1

被三个坐标面所截成三提醒:方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形整个边界,功,第15页设三角形区域为

,方向向上,则方法2利用公式斯托克斯公式第16页例4.设L是平面与柱面交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记

为平面上

L所围部分上侧,D为

在xOy面上投影.由斯托克斯公式公式第17页D形心第18页二、曲面积分计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:一直非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面第19页思考题1)二重积分是哪一类积分?答:第一类曲面积分特例.2)设曲面问以下等式是否成立?

不对!对坐标积分与

侧相关第20页2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面技巧(辅助面普通取平行坐标面平面)(3)两类曲面积分转化第21页练习:P244题4(3)

其中

为半球面上侧.且取下侧,原式=P244题4(2),P245题10一样可利用高斯公式计算.记半球域为

,高斯公式有计算提醒:以半球底面为辅助面,利用第22页例5.证实:设(常向量)则单位外法向向量,试证设

为简单闭曲面,a

为任意固定向量,n为

第23页例6.计算曲面积分其中,解:思索:本题

改为椭球面时,应怎样计算?提醒:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.第24页例7.设

是曲面解:取足够小正数

,

作曲面取下侧使其包在

内,为xOy平面上夹于之间部分,且取下侧,取上侧,计算则第25页第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面方向!得第26页例8.计算曲面积分中

是球面解:利用对称性用重心公式第27页备用题1.

已知平面区域L为D边界,试证证:(1)依据格林公式①②所以相等,从而左端相等,即(1)成立.(考研)因①、②两式右端积分含有轮换对称性,第28页(2)由①式由轮换对称性第29页(1)在任一固定时刻,此卫星能监视地球表面积是

2.

地球一个侦察卫星携带广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面每一处景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25R,卫星绕地球一周时间为T,试求(2)在解:如图建立坐标系.时间内,卫星监视地球表面积是多少?多少?设卫星绕y轴旋转第30页(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为(2)在时间内监视地球表面积为点击图片任意处播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0为盲区面积第31页(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为(2)在其中盲区面积时间内监视地球表面积为第32页斯托克斯(Stokes)公式第33页第34页例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得第35页例4.计算曲线积分

其中

为螺旋一段弧.解:

线第36页例5.计算其中

为球面被平面所截圆周.解:由对称性可知第37页例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第38页例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

参数方程为试求力场对质点所作功.其中

为第39页例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取

参数方程第40页三、两类曲线积分之间联络设有向光滑弧L以弧长为参数

参数方程为已知L切向量方向余弦为则两类曲线积分有以下联络第41页类似地,在空间曲线

上两类曲线积分联络是令记A在t上投影为第42页二者夹角为

例6.设曲线段L长度为s,证实续,证:设说明:

上述证法可推广到三维第二类曲线积分.在L上连第43页例7.将积分化为对弧长积分,解：其中L沿上半圆周第44页区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L正向:域内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上含有连续一阶偏导数,或一、格林公式第45页二、平面上曲线积分与路径无关等价条件定理2.设D是单连通域

,在D内含有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点相关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数全微分,即第46页说明:依据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便积分路径;定理2第47页4)若已知du=

Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲定理2线AB,有注:此式称为曲线积分基本公式(P211定理4).它类似于微积分基本公式:第48页例4.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则第49页例5.

验证是某个函数全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使第50页例6.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2可知存在原函数第51页或第52页则对面积曲面积分存在.•对积分域可加性.则有•线性性质.在光滑曲面

上连续,对面积曲面积分与对弧长曲线积分性质类似.•积分存在性.若

是分片光滑,比如分成两片光滑曲面第53页定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在

上连续,存在,且有二、对面积曲面积分计算法

则曲面积分第54页例2.

计算其中

是由平面坐标面所围成四面体表面.解:设上部分,则与原式=分别表示

在平面第55页例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间部分,它在xOy面上投影域为则第56页思索:若例3中被积函数改为计算结果怎样?第57页例5.计算解:取球面坐标系,则第58页有向曲面及曲面元素投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面经典)第59页其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设

为有向曲面,侧要求

指定了侧曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上投影记为面积为则要求类似可要求第60页二、对坐标曲面积分概念与性质

1.引例设稳定流动不可压缩流体速度场为求单位时间流过有向曲面

流量

.分析:若

是面积为S平面,则流量法向量:

流速为常向量:

第61页对普通有向曲面

,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动不可压缩流体速度场进行分析可得,则第62页设

为光滑有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二类曲面积分.以下极限都存在向量场若对

任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标曲面积2.定义：第63页引例中,流过有向曲面

流体流量为称为Q在有向曲面

上对

z,x曲面积分;称为R在有向曲面

上对

x,

y

曲面积分.称为P在有向曲面

上对

y,z

曲面积分;若记

正侧单位法向量为令则对坐标曲面积分也常写成以下向量形式第64页3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用

¯表示

反向曲面,则第65页三、对坐标曲面积分计算法定理:设光滑曲面取上侧,是

上连续函数,则证:∵

取上侧,第66页

•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:假如积分曲面

取下侧,则第67页四、两类曲面积分联络曲面方向使用方法向量方向余弦刻画第68页令向量形式(A在n上投影)第69页例4.

位于原点电量为q点电荷产生电场为解:。求E经过球面

:r=R外侧电通量

.第70页例5.设是其外法线与z轴正向夹成锐角,计算解:第71页例6.

计算曲面积分其中

解:利用两类曲面积分联络,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分下侧.第72页∴原式=原式=第73页一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域

由分片光滑闭曲

上有连续一阶偏导数,函数P,Q,R在面

所围成,则有(Gauss公式)高斯

方向取外侧,第74页例1.用Gauss

公式计算其中

为柱面闭域

整个边界曲面外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3

所围空间思索:

若

改为内侧,结果有何改变?若

为圆柱侧面(取外侧),怎样计算?利用质心公式,注意第75页例2.利用Gauss公式计算积分其中

为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分下侧,

,

,

为法向量方向角.所围区域为

,则第76页一、斯托克斯公式

定理1.