计算方法(六)插值函数的应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

插值函数应用第5章第1页插值函数应用

插值方法是一个主要函数迫近方法，它在数值微积分和常微分方程数值解中有主要应用．第2页由Newton-Leibniz公式，连续函数在上定积分其中是原函数。5.1.1数值求积公式及其代数精度无能为力。

不能用初等函数表示，即找不到原函数；，，没有解析表示式，用表格方式给出时；大多数无穷积分，除特殊无穷积分外。N-L公式已经不过大多数实际问题，经常碰到困难是：第3页即使找到原函数，不过太复杂上述积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。

（5-1）设是定义在上可积函数，考虑带权积分

在上非负可积，且至多有有限个零点。其中权函数所谓数值求积就是用本节只讨论情形。近似计算值。．

（5-2）第4页数值求积公式公式（5-2）称为数值求积公式，是与无关常数，称为求积系数，其中上点称为求积节点。

求积系数求积节点大家熟知第一积分中值定理：不过详细位置未知。其几何意义为：数值积分公式产生背景矩形面积=曲边梯形面积。第5页我们能够采取不一样近似方法得到下述数值求积公式：称为左矩形数值求积公式；称为右矩形数值求积公式；称为中矩形数值求积公式；称为梯形数值求积公式。

第6页（称为步长），将分点取为插值节点（也是求积节点），得到数值求积公式称为插值型求积公式。本节采取迫近函数是在等距节点上插值多项式，进行等分，令将则可表示为它Lagrange插值多项式及其余项之和，即

（5-3）所以第7页称为点Newton-Cotes公式，其中求积系

这么得到插值型求积公式

(5-6)（5-4）(5-5)求积余项

(5-7)标志着求积公式误差大小。第8页时三个公式，

在Newton-Cotes公式中，最惯用是

(5-8)此时这就是梯形求积公式：即梯形求积公式第9页此时第10页这称为Simpson求积公式：

(5-9)深入可得Cotes公式

(5-10)Simpson求积公式Cotes求积公式第11页练习题用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分解：由梯形求积公式：由Simpson求积公式：第12页练习题用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分解：由梯形求积公式：由Simpson求积公式：第13页假如某个数值求积公式对比较多函数能准确成立，即

那么这个公式使用价值就较大，能够说这个公式精度较高．为衡量数值求积公式精度，引进代数精度概念。假如某个数值求积公式，对于任何次数不超出次代数多项式都是准确成立但对于次代数多项式不一定能准确成立，即则称该求积公式含有次代数精度．

定义5.1第14页次代数精度充要条件是它对显然，一个数值求积公式含有这是确定代数精度最惯用方法。都能准确成立，但对不能准确成立。下面求梯形数值求积公式和Simpson数值求积公式代数精度。

，我们可得对于

故梯形数值求积公式含有1次代数精度。第15页

,我们可得对于故Simposon数值求积公式含有3次代数精度。而第16页普通n+1点Newton-Cotes公式求积余项，有以下定理：当然也能够经过求积余项预计,得到代数精度．以下先推导几个求积余项，进而指出n+1点Newton-Cotes公式代数精度。定理5.1

若其中是奇数，且;若，则其中．

定理5.1是偶数，且，则第17页当为偶数时，因为对次多项式所以由上述定理可知，点Newton-Cotes公式代数精度为梯形公式、Simpson公式及Cotes公式代数精度分别为1，3，5.当为奇数时，点Newton-Cotes公式代数精度为第18页第19页本节讨论在大区间上，对于数值积分使用低阶Newton-Cotes5.1.2复化求积公式公式分段处理方法。将等分成若干个小区间，在每个小区间上用点数少Newton-Cotes公式，然后再对全部子区间求和。这么得到数值求积公式称为复化Newton-Cotes公式.将区间进行等分，假如在每个子区间上用梯形求积公式，即每个子区间长度则第20页第21页由此可得复化梯形公式同理可得复化Simpson公式

(5-14）

（5-13）复化梯形公式复化Simpson公式第22页练习题解：由复化梯形求积公式：由复化Simpson求积公式：用复化梯形、复化Simpson求积公式计算积分第23页本节介绍含有最高代数精度数值求积公式，即Gauss型求积插值型求积公式（并未要求取等距节点）代数精度最少为5.2Gauss型求积公式公式。(5-32)形如第24页，则可两点求积公式为：

两点Newton-Cotes求积公式是等距节点梯形公式：其代数精度为1。

若不限制等距节点，我们特意去选取由代数精度定义，分别取令可得到以下非线性方程组：第25页即最少含有3次代数精度，又取时，。

故含有3次代数精度。第26页这么假如我们用代数精度最高标准，经过求解阶非线性方程组来确定全部和共个待定系数，

就能够结构出含有次代数精度数值积分公式。假如形如（5-32）求积公式含有代数精度次，则称其为Gauss型求积公式，并称其中求积节点为Gauss点.

定义5.2

定理5.2要使插值型求积公式

第27页5.2.1Gauss型求积公式与全部次数不超出多项式在上关于权函数正交。

要使插值型求积公式

定理5.2

（5-33）含有次代数精度，必须且只须以节点为零点次多项式定理5.2换句话为：是Gauss点是正交多项式。是Gauss点是正交多项式根。

第28页例1求上关于两点Gauss型求积公式。结构二次正交多项式

，，令此时，得第29页或取，由代数精度定义，得线性方程组则得含有3次代数精度Gauss-Legendre公式：

第30页

则有

，这么。对于任意区间上权函数Gauss型求积公式，只需作变量替换：第31页例，结构求解含有3次代数精度数值积分公式。，此求积公式含有2个Gauss节点。，则取Gauss节点、求积系数：从而，得

解：由作变量替换：第32页若取则含有3次代数精度公式为：

第33页例2，确定使以下求积公式为Gauss型求积公式解：首先结构上关于首项系数为1二次正交多项式，为此可设

，，，从而有

，，。第34页第35页则其零点为：令，用代数精度定义得：

从而。

第36页第37页5.3外推加速与Romberg算法5.3.1逐次分半法能够推出以复合梯形公式为例。和以下关系（逐次分半法）其中第38页复化梯形公式每个小区间上积分余项停顿准则：第39页所以即类似地所以能够将作为迭代停顿标准第40页另外，还能够推出5.3.2外推加速与Romberg算法将复化梯形公式写成上面已经推出，是积分更加好近似。类似能够推出是越来越好近似。第41页普通地，有以下Romberg方法：能够记成当时停顿第42页例.用Romberg方法求，误差小于解.因为停顿运算.取真值为第43页第六章数值积分6.2.广义积分6.2.1无界函数积分设在上连续,在附近无界.计算第44页1)区间迭代法令是一个收敛于点列,比如依次计算能够在时停顿.每一个能够用(比如)Romberg方法计算第45页2)区间截断假如能够推出则能够用近似替换例.计算其中而且解.因为在上,所以要求误差小于能够取第46页3)变量替换比如,计算其中做变量替换,则化成正常积分第47页4)Gauss求积公式使其含有次代数精度.例.求,其中而在附近无界.希望选取使其对准确成立.第48页以为例.求解以下方程组解之,可得第49页6.4矩形域上二重积分6.4.1插值型求积公式考虑二重积分利用梯形公式,有第50页能够深入取求积节点得到复化梯形公式其中系数排成以下矩阵第51页6.4.2Gauss求积公式其中系数和节点由一维Gauss求积公式给出,使得求积公式对全部以下二元多项式准确成立:第52页二维Gauss求积公式系数与节点表Gauss点系数1022130.55555555560.888888888940.34785