高考数学复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差市赛课公开课一

第6节离散型随机变量分布列及均值和方差1/54考纲展示1.了解取有限个值离散型随机变量及其分布列概念,认识分布列刻画随机现象主要性,会求一些取有限个值离散型随机变量分布列.2.了解超几何分布,并能进行简单应用.3.了解取有限个值离散型随机变量均值、方差概念.4.会求简单离散型随机变量均值、方差,并能利用离散型随机变量均值、方差概念处理一些简单问题.2/54知识梳理自测考点专题突破解题规范扎实3/54知识梳理自测把散落知识连起来1.随机变量和函数有何联络和区分?提醒:联络:随机变量和函数都是一个映射,随机变量是随机试验结果到实数映射,函数是实数到实数映射,随机试验结果范围相当于函数定义域,随机变量取值范围相当于函数值域.区分:随机变量自变量是试验结果,而函数自变量是实数.2.离散型随机变量分布列性质是什么?提醒:随机变量各个值对应概率在[0,1]上且取全部值概率之和等于1.3.离散型随机变量方差意义是什么?提醒:随机变量取值与其均值偏离程度,方差越大偏离程度越大.【教材导读】4/54知识梳理1.离散型随机变量概念与分布列(1)随机变量:普通地,假如随机试验结果,能够用一个变量来表示,那么这么变量叫做随机变量.通惯用大写字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ,η,ζ)等表示,而用小写字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量取可能值.全部取值能够一一列出随机变量,称为

.离散型随机变量5/54(2)离散型随机变量分布列:若离散型随机变量X可能取不一样值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)概率P(X=xi)=pi以表格形式表示以下:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn将上表称为离散型随机变量X概率分布列,简称为X分布列.有时为了表示简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X分布列.(3)离散型随机变量概率分布列性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=

.16/542.离散型随机变量均值(1)概念:普通地,若离散型随机变量X分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)=

为随机变量X均值或数学期望.它反应了离散型随机变量取值平均水平.(2)性质:若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X数学期望是E(X),则E(Y)=

.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpnaE(X)+b7/543.离散型随机变量方差(1)概念:离散型随机变量X分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,3,…,n)相对于均值E(X)偏离程度.而D(X)=,为这些偏离程度加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X方差,称其算术平方根为随机变量X标准差.(2)性质:D(aX+b)=a2D(X).8/544.两点分布和超几何分布(1)两点分布分布列、均值和方差X01P1-pp若X服从成功概率为p两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p).9/54(2)超几何分布概念与分布列其基本模型为“在含有M件次品N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*”称分布列X01…mP…为超几何分布列,假如随机变量X分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.10/54双基自测1.抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示基本事件是(

)(A)一颗是3点,一颗是1点(B)两颗都是2点(C)一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点(D)甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点D解析:甲是3点,乙是1点与甲是1点,乙是3点是试验两个不一样结果,故选D.11/542.某射手射击所得环数X分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”概率为(

)(A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51CX45678910P0.020.040.060.090.280.290.22解析:P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.12/543.投掷一枚硬币,要求正面向上得1分,反面向上得-1分,则X期望E(X)=

.

解析:X分布列为所求均值为E(X)=-1×0.5+1×0.5=0.答案:0X-11P0.50.513/544.一盒中有12个乒乓球,其中9个新,3个旧,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)值为

.

14/54考点专题突破在讲练中了解知识考点一离散型随机变量分布列【例1】

导学号38486211为推进乒乓球运动发展,某乒乓球比赛允许不一样协会运动员组队参加.现有来自甲协会运动员3名,其中种子选手2名;乙协会运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.15/54(1)设A为事件“选出4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生概率;16/54(2)设X为选出4人中种子选手人数,求随机变量X分布列.17/54跟踪训练1:从集合{1,2,3,4,5}全部非空子集中,等可能地取出一个,记所取出非空子集元素个数为ξ,求ξ分布列.18/5419/54考点二离散型随机变量均值★★★★考查角度1:求离散型随机变量均值【例2】

导学号38486212(·山东德州一模)某班为了提升学生学习英语兴趣,在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛,比赛分为预赛和决赛2个阶段,预赛为笔试,决赛为说英语、唱英语歌曲,将全部参加笔试同学(成绩得分为整数,满分100分)进行统计,得到频率分布直方图,其中后三个矩形高度之比依次为4∶2∶1,落在[80,90)人数为12人.20/54(1)求此班级人数;21/54(2)按要求预赛成绩不低于90分选手参加决赛,已知甲、乙两位选手已经取得决赛资格,参加决赛选手按抽签方式决定出场次序.①甲不排在第一位乙不排在最终一位概率;②记甲、乙二人排在前三位人数为X,求X分布列和数学期望.22/5423/54反思归纳求离散型随机变量均值步骤:(1)了解随机变量X意义,写出X可能取得全部值;(2)求X每个值概率;(3)写出X分布列;(4)由均值定义求出E(X).24/54【例3】

导学号38486213(·武汉市武昌区高三调研)某城市随机抽取一年内100天空气质量指数(AQI)监测数据,结果统计以下:AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数6141827201525/54(1)若此次抽取样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染.依据提供统计数据,完成下面2×2列联表,并判断是否有95%把握认为“该城市本年空气严重污染与供暖相关”?非严重污染严重污染总计供暖季非供暖季总计10026/5427/54P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82828/5429/54反思归纳求解离散型随机变量分布列与数学期望时,一定要明确每个变量取值所对应事件发生过程,这么才能判断事件性质,进而选取对应概率模型求其概率.30/54考点三离散型随机变量方差【例4】

导学号18702589如图,A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能经过信息最大量依次为2,3,4,3,2,现将从中任取三条线且在单位时间内都经过最大信息量总量记为X.求X均值和方差.31/5432/54反思归纳计算离散型随机变量方差关键是先求分布列,只要知道了分布列,就能够求出均值进而依据公式求出方差.33/54考点四超几何分布及其应用★★★★考查角度1:利用超几何分布模型求概率【例5】

导学号18702591在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用ξ表示这10个村庄中交通不方便村庄数,以下概率等于是(

)(A)P(ξ=2) (B)P(ξ≤2)(C)P(ξ=4) (D)P(ξ≤4)34/54考查角度2:求超几何分布均值【例6】

导学号38486214(·山东卷)在心理学研究中,常采取对比试验方法评价不一样心理暗示对人影响,详细方法以下:将参加试验志愿者随机分成两组,一组接收甲种心理暗示,另一组接收乙种心理暗示,经过对比这两组志愿者接收心理暗示后结果来评价两种心理暗示作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接收甲种心理暗示,另5人接收乙种心理暗示.35/54(1)求接收甲种心理暗示志愿者中包含A1但不包含B1概率;36/54(2)用X表示接收乙种心理暗示女志愿者人数,求X分布列与数学期望EX.37/5438/54反思归纳超几何分布是非常主要一个概率分布,它含有极为广泛应用,其基本特点是总体有A,B两类元素(如男女、正品次品等)组成,从总体中不放回地取出一定数目标元素,其中含有一类元素个数即服从超几何分布.超几何分布中随机变量取各个值概率是古典概型,使用古典概型公式进行计算.39/54备选例题【例1】(·北京卷)为了研究一个新药疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,统计了两组患者生理指标x和y数据,并制成下列图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.40/54(1)从服药50名患者中随机选出一人,求此人指标y值小于60概率;41/54(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出两人中指标x值大于1.7人数,求ξ分布列和数学期望E(ξ);42/54(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据方差与未服药者指标y数据方差大小.(只需写出结论)43/54【例2】(·山东泰安一模)在学校组织“环境保护知识”竞赛活动中,甲、乙两班各6名参赛选手成绩茎叶图都受到了污损,如图.44/54(1)求乙班总分超出甲班概率;45/54(2)若甲班污损学生成绩是90分,乙班污损学生成绩为97分,现从甲、乙两班全部选手成绩中各随机抽取2个,记抽取到成绩高于90分选手总人数为ξ,求ξ分布列及数学期望.46/5447/54解题规范扎实把经典问题处理程序化求解概率综合题解题步骤【典例】(12分)(·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一个酸奶,天天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出酸奶降价处理,以每瓶2元价格当日全部处理完.依据往年销售经验,天天需求量与当日最高气温(单位:℃)相关.假如最高气温不低于25,需求量为500瓶;假如最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;假如最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份订购计划,统计了前三年六月份各天最高气温数据,得下面频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数21636257448/54以最高气温位于各区间频率代替最高气温位于该区间概率.(1)求六月份这种酸奶一天需求量X(单位:瓶)分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天进货量n(单位:瓶)为多少时,Y数学期望到达最大值?49/54审题指导关键信息信息转化频率分布表由频率预计概率最高气温不低于25,需求量为500瓶;最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶,最高气温低于20,需求量为200瓶X取值,与频率分布表相联络,用频率预计概率,列出分布列每瓶售价,进货成本列出利润关于瓶数函数,结合已知y是关于n分段函数,从而