2022-2023学年山东省青岛市高二年级上册12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1.已知a=(/l+l,0,2/l),6=(6,2〃—l,2)M〃丸则4〃的值分别为

A.—,—B.5>2C.—,—D.—5,—2

5252

【答案】A

【详解】由题意得，al1b，所以4=。，即(2+1,0,22)=x(6,2〃—1,2),解得义=、〃=；,故选A.

22

2.已知双曲线?-卞=1的右焦点到其渐近线的距离等于G，则该双曲线的离心率等于

A.WB.BC.2D.立

222

【答案】D

【分析】利用双曲线a,b,c的关系求解即可.

【详解】右焦点到其渐近线的距离等于为m=>/5，故c="，故离心率等于五，故选D

2

【点睛】本题考查双曲线的性质：焦点到其渐近线的距离为b

3.数列｛%｝为等差数列，4，%必成等比数列，«5=1,则须=()

A.5B.-IC.0D.1

【答案】D

【分析】利用《，，，生成等比数歹U得至结合｛对｝为等差数列和%=1可求出公差和外,即

可得到答案

【详解】设等差数列｛。,｝的公差为d,

由q,生,4成等比数列可得%2=4%，

所以(q+d)2=4(4+2J),解得4=0,

因为%=4+4"=1,解得4=1,所以4O=%+94=1,

故选：D.

4.已知S.为数列｛4｝的前"项和，a„=3S„+4,那么%=()

【答案】C

【分析】根据。“=35“+4,利用数列的通项和前"项和的关系，求得数列的通项求解.

【详解】因为4,=3S“+4,

当〃=1时，q=-2,

当〃22时，由=3S”+4

得隹-=3S.T+4,

两式相减得4,=30—S,i)=3%,

即a，<=一5"，i，又/=-gq>

所以｛4｝是等比数列，

故选：c

5.已知直线以+3y=l与直线3x-y+2=0互相垂直，则。=()

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】D

【分析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为T即可得到答案.

【详解】直线奴+3y=l的斜率为直线3x-y+2=0的斜率为3,由题意，

(-§)x3=-1,解得a=l.

故选：D

【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

UUU11

6.已知空间四边形A8CD中，AB=a,CB=b，AD=c，则CO等于()

A.a+b—cB.-a—b+c

C.-a+b+cD.-a+b-c

【答案】C

【分析】由向量的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由向量的运算法则，可得CD=CB+BA+AD=C8-AB+AO=—a+0+c.

故选：C.

7.已知“，〃为非零向量，”=a+防（feR）,若忖=1,忖=2,当且仅当/时，网取得最小值,

则向量a,b的夹角为（）

A兀c5兀

A.—D.—

6-746

【答案】C

【分析】由己知可得,小=4/+4fcos&+l,根据已知以及二次函数的性质可得-彳詈=；,解得

cos0=-1,即可求出结果.

【详解】设向量a,8的夹角为仇可.

由加=〃+仍可得何=(0+/=.|+*忖+2tab=|tz|+t21/?|+2/|d|-|i?|cos0=4r+4rcos^+l.

由已知可得，-4等cos^0=；1，所以cos6=-j：,

2x442

因为。40,可，所以，=胃.

故选：C.

8.某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减

少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为

则当该水渠的修建成本最低时a的值为（）

乃_5%

A.一D.—

6-712

【答案】C

【分析】作出截面图形，结合截面面积可利用a表示出BCAB,则水渠修建成本最低时，

22COSG

y=AD+AB+BC=（ZQ+3f0<a<取得最小值，则可知当经幽取最小值时V最小；

SinaI2）sina

根据空山的几何意义可知当过（0,2）的直线与/+相切时，上一最

sinasina

小，利用直线与圆相切位置关系的求法可求得切线斜率，由此可求得a.

【详解】作出横截面ABC。如下图所示，其中AB〃CD,AD=BC,CE±AE,NCBE=a,则CE=2,

224

BC=------,BE=-------,.\CD-AB=2BE=-------,

sinatanatana

又梯形ABC。的面积S=g(A8+C£))CE=A8+8=6,

22

.•.8=3+-------,A8=3----------,

tanatana

设卜二4。+45+3。，

则产士+3-2=2(2-cosa)+3(o<a<g；

sinatanasina(2)

若y取最小值，则互谈取得最小值；

sina

与詈表示点(0,2)与点(-sina,cosa)连线的斜率，

(-sina,cosa)(0<aq)的轨迹为d+y?=1(-1<x<0,0<y<l),

可作出图象如下图所示，

则当过（0,2）的直线与/+尸=1（—l<x<0,0<y<l）相切时，与篙取得最小值,

设切线方程为：y=fcr+2（Z>0）,即fcr-y+2=0,

2

.•・（0,0）到切线距离1二盛币=1,解得：k=K，

即当2_cosa时,取得最小值，此时

=GyGsina+cosa=2sin(a+1=2,

sina

rrTT

则a=§,即当a=§时，该水渠的修建成本最低.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是能够将水渠的修建成本表示为关于a的函数的形式，将问

题转化为函数最值的求解问题；对于"「cos。形式的函数最值,可根据几何意义将问题转化为点

a-sina

（a㈤与（sina,cosa）连线的斜率的最值求解问题.

二、多选题

21

9.已知数列｛4｝的前,项和S,,=f,数列也｝满足勿=一，若黑2,bn+k(keN,k>2)

2%

成等差数列，则左的值不可能是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】AD

【分析】利用。“与S”的关系，求得勺，进而求得打，然后根据仇,，4+2,bJkwN：&>2)成

等差数列，得到"与k的关系，进而求得答案.

【详解】当”=1时，a,=5,=|=1,当时，〃=s-S〃+“_(〃可+(〃+D=“,故a”=〃

(〃eN,)，b"=-=—(neN*).因为%,bn+2,bn+k(AeN",k>2)成等差数列，所以

an〃

2b愕也+人,即二3；='+一所以力=工=4+3,(k>2,ZeND,从而〃—2的取值

n+2n〃+Zn—2n-2

为1,2,4,8,则对应的&的值为12,8,6,5,所以k的值不可能是4,10,

故选:AD.

10.如图所示，下列四条直线3l2,I.,/4,斜率分别是尢，k2,kA,倾斜角分别是，，a2,

a3,a4,则下列关系正确的是()

A.玲<%<%<%B.k3<k2<kt<k4C.a2<at<a4<a}

D.%<a,<a,<a4

【答案】BC

【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.

【详解】直线4，4，4，乙，斜率分别是K，&，勺，右，倾斜角分别是四,«2,a3,a4,

冗冗

由倾斜角定义知0<四<%<,,ay>—,%=0,a,<a,<a4<a,,故C正确；

由人=tanc,知&=0,k3<0,0<kt<lc4,k3<k2<kt<k4,故B正确；

故选：BC

11.直线/的方向向量为a,两个平面a,夕的法向量分别为〃，m，则下列命题为真命题的是（）

A.若a，”，则直线〃/平面a

B.若a〃w,则直线/上平面a

1兀

C.若cos<“,〃>==,则直线/与平面a所成角的大小为工

26

D.若cos〈孙〃>=正，则平面a,夕所成二面角的大小为

26

【答案】BC

【分析】根据空间中线面角、二面角的范围及求法，结合线面的位置关系，逐一分析各个选项，叩

可得答案.

【详解】对于A：若则直线〃/平面a,或直线/u平面a,故A错误；

对于B：若根据平行的传递性可得直线/工平面a,故B正确：

对于C：因为直线与平面所成角范围为0,1,且若cos<〃,〃>=g,即0与〃的夹角为（，

所以直线/与平面a所成角的大小为?，故C正确；

对于D：因为两面所成角范围为［0,句，若cos<m,〃>=/，则平面a,夕所成二面角的大小为1或

件，故D错误.

6

故选：BC

12.以下四个命题表述正确的是（）

A.若点（1,2）在圆/+）尸+2x+5?-l）y-〃?+2=0外，则实数机的取值范围为（-7,+Q0）

B.圆f+y2=2上有且仅有3个点到直线/：x-y+l=0的距离等于立

2

2

C.圆G：/+y?-2x—4y-4=0和圆C2:x+y~+2x+2y-2=0外切

D.实数x，y满足x2+y2+2x=0,则号的取值范围是卜坐，亭］

【答案】ABD

【分析】根据点和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、直线与圆相切等知识

对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A,点(1,2)在圆/+y2+2x+(m_i)y-m+2=0外,

+2一+2+2（，〃—1）—w+2>0,，7?>—7,A项正确.

B,圆/+丁=2的圆心为（0,0）,半径为立,

1/?

圆心到直线/的距离为心=注，

V22

所以圆V+y2=2上有且仅有3个点到直线/：x-y+1=0的距离等于也，B选项正确.

2

C,G的圆心为（1,2）,半径为3；G的圆心为（—1,一1）,半径为2,

所以圆心距为14+9==3+2,所以C选项错误.

D,圆f+y2+2x=0的圆心为A（-I,o）,半径为1,

长表示圆上的点网X,y）与点C（1,0）连线的斜率，

当直线与圆A相切时，如图所示，

7T

AB=lAC=2所以N8C4=一,

f6

结合对称性可知一二的取值范围是一££,D选项正确.

x-\133

故选：ABD

三、填空题

13.直线/过点A（-1,T）,8（2,3）,则直线48的方程为.

【答案】4x—3y+l=0

【分析】根据已知两点求出直线斜率，再用点斜式写出直线方程，整理化简即可.

【详解】因为直线过点5（2,3）,

故可得直线AB的斜率4=追3+1=g4,

4

根据点斜式方程可得y+1=§（x+1）

整理化简得4x-3y+l=0.

故答案为：4x-3j+l=0.

14.抛物线y=2x2的焦点坐标是

【答案】（0，，

【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.

【详解】因为抛物线方程焦点坐标为（0,5）,且P=；，

所以焦点坐标为

故答案为：

15.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，

就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是.

①”等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②”等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③三组对棱长度分别为5,6,7的“等腰四面体”的体积为2屈：

④三组对棱长度分别为a,b,c的“等腰四面度’的外接球直径为J/+从+/.

【答案】①②③

【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为。，b,c,与之对应的长方体

的长宽高分别为x,y,z,然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断.

【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为。，b,c,与之对应的长

方体的长宽高分别为x,z,

222

x+y=a

则,y2+z2=h2,

x2+z2=c2

KL2a~+C-b~2a-+b~-ch~+c~-a~

29

改尸=2'*=29工~2

结合图像易得①②正确；

三组对棱长度分别为a=5,b=6,c=7,贝!Jx=Vi^,y=z=^/30,

因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，

所以等腰四面体的体积肛z-4xgxg型=；型=2>/^,③正确；

三组对棱长度分别为“，b,。的“等腰四面体”的外接球直径2/?=&+丁+2、勿+从+C?,④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思

维量.

四、双空题

16.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且q=2,%=£+；,则S“=；若5,,4加“+?恒成

立，则实数f的取值范围为.

【答案】[4,+<»)

【解析】先由递推公式，得到数列｛4-1｝是等比数列，求出凡，根据分组求和，即可得出3；再由

SC、恒成立，分离参数，得到年4(1-罗)“eN’恒成立，求出的最大值，

即可得出结果.

【详解】由4=2,1=],+g,得a“「i=ga_i),%一1=1,

所以数列｛%-1｝是首项为1,公比为g的等比数列，

所以4—1=1x(1=击,击+1,

令"=*，则%-2=景-等=—言<0,所以｛d｝是递减数列,

所以。<勺^41,0<1-^^-<1,即d4,

实数r的取值范围为[4,田）.

故答案为：〃+2

【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查分组求和的方法求数列的和，考查数

列不等式恒成立问题，属于常考题型.

五、解答题

17.己知｛可｝是递增的等差数列，«.=3,且a.%，%成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵设数列」一的前〃项和为求证：上的,[.

【答案】⑴。”=2〃+1

（2）见解析.

【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.

（2）根据裂项相消求和，即可求出C,,然后根据单调性即可证明.

【详解】（1）设｛4｝的公差为d,因为小，4，%成等比数列，

所以a；—a,-al3=>（3+3J）'=3（3+12<7）=><7'—2d=0,

因为｛%｝是递增，所以d>0,故"=2,所以%=2〃+1.

]=]=\_（_1_______

（2）anan+l（2"+1）（2〃+3）212〃+12n+3）,

所以北」心」用1」]++p___,

〃21（35）（57；（2〃+12〃+3〃2（32n+3）

因为K二单调递减，所以。单调递增，

故当〃=1时，区）向„=工<6,

故白雪<7-

15o

18.求下列各圆的方程，并面出图形.

(1)圆心为点C(8,-3),且过点A(5,l)；

(2)过A(—1,5),3(5,5),C(6,-2)三点.

【答案】(1)(x-8)2+(y+3)2=25(图见解析)(2)x2+y2-4x-2y-20=0(图见解析)

【分析】(1)求出半径，利用圆的标准方程写出即可.

(2)设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.

【详解】(1)由题意知半径r=J(8-5)2+(—3-1>=5,

所以圆的方程为：(x-8y+(y+3)2=25.

(2)设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=O.

将A(-l,5),8(5,5),C(6,—2)代入得：

l+25-£>+5£+F=0[D=-4

，25+25+5C+5E+尸=0=>，£=-2

36+4+6D-2£+F=0[F=-20

所以圆的方程为：x2+y2-4x-2y-20=0.

19.己知正方体.

(1)求证:

(2)求二面角B-A©-。的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）120.

【解析】（1）建立适当的空间直角坐标系，通过证明AC，8G来证明AC，BG；（2）求出平面BAC，

入nm

平面D4,C的法向量”，加，由公式8$。=,求出两向量的夹角从而求出二面角.

【详解】设正方体边长为“，以4为原点，AR为X轴，为y轴，AA为Z轴建立如图所示空间

直角坐标系，其中a（0,o,0）,wo,幻,c（〃,〃）,£（〃,〃,（））

22

(1)AyC=(a,a,d),BC}=(60,-〃)，A^CBC^=a-a=0，

:,\CA.BC.,则AC，g；

（2）设〃=（x,y,z）jn=（r,$j）分别为平面BA[C,平面DAiC的法向量，n.m的夹角为。,

A8=(0,a,a),BC=(a,0,0),

±A[B^nA{B=0Jy+z=0

_LBC=[〃BC=0=[x=令y=l可得"=(0,1,7),

AD=(a,0,a),DC=(0,a,0),

mYADm-AD=0[r+z=0

=<=<令r=l可得m=(1,0,-1)，

mVDCm-DC=Q\s=0

八nm1

所以cose=E=K则〃，机的夹角为60，

HU2

所以二面角8-AC-。的大小为120.

【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直，二面角的向量求法，属于基础题.

20.已知｛%｝是首项为2的等比数列，各项均为正数，且为+%=12.

(I)求数列｛见｝的通项公式；

(II)设2=。，求数列也｝的前”项和人

【答案】(I)勺=2〃(H)—

【解析】(D将已知条件转化为q,4的形式解方程，由此求得q的值，进而求得数列｛4｝的通项公式.

(II)利用裂项求和法求得数列也,｝的前n项和

【详解】(I)设｛q｝的公比为4,由%+%=12,

得g+q-=6

，4=-3或夕=2.

又｛④｝的各项均为正数，：应＞0，，夕=2.

,1111

(TT)b=--------=-------=-------

nlog2an+i〃(〃+1)nn+\

,।11111

〃223n77+1

1n

-1--------=-------

〃+1n+1

【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于基础题.

21.如图，AE_L平面ABC。，CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=2,AE=BC=4.

⑴求证：8R〃平面ADE；

(2)求直线CE与平面8DE所成角的正弦值；

(3)若二面角E-6E)-尸的余弦值为g,求线段CB的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵？

崂

【分析】(1)以4为坐标原点，分别以A8,A。，AE所在直线为X,九z轴建立空间直角坐标系,

求得A,B,C,D,E的坐标，设CF=〃(〃>0),可得AS是平面ADE的法向量，再求出BF，

由BF-AB=O，且直线8尸(Z平面得B/7〃平面AOE；

(2)求出CE，再求出平面3DE的法向量，利用向量夹角公式得到直线CE与平面BDE所成角的正

弦值；

(3)求出平面3DF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为g,列式求线段CF的长.

【详解】(1)证明：因为AEJL平面ABC。，AD,AB在平面ABC。内，

则AE1.AB,又A£)_LA8,

故以A为坐标原点，分别以A8,AD，AE所在直线为x,九z轴建立空间直角坐标系，

可得A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),0(0,2,0),£(0,0,4).

设CF=/?(〃>()),则C(2,4,〃).

则A8=(2,0,0)是平面AQE的法向量，又BF=(O,4,〃)，可得B尸.AB=0.

又：直线BFtZ平面仞E,6尸〃平面ADE；

(2)依题意，BD=(-2,2,0),BE=(-2,Q,4),CE=(-2,^,4).

设〃=(x,y,z)为平面比比的法向量，

[nBD=-x+y=0/、

则，令z=l,得”=(2,2,1).

nBE=-x+2z=0

CEn4

.・.cos(C及〃

9,

4

...直线CE与平面比底所成角的正弦值为§；

（3）设帆=（x”M，zJ为平面或平的法向量,

解得。=3.经检验，符合题意....线段CF的长为号.

221

22.已知椭圆C：,+〉1（。>6>0）的焦距为2百，且经过点46一g.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）斜率为k的直线/与椭圆C交于不同的两点M、N,若椭圆上存在点P,使得四边形OMPN为

平行四边形（其中。是坐标原点），求平行四边形OMRV的面积.

【答案】（1）+y2=1(2)S=\f3

【分析】（1）由椭圆的焦距为26,且椭圆C过点A,列出方程求出“，b,由此能求出椭

y=kx+tn

圆C的方程;（2）设直线/的方程为>=履+小，由一,消去）得

—4-V=1

14・