2023-2024学年青岛市实验高中高二数学上学期期初诊断试卷附答案解析

2023-2024学年青岛市实验高中高二数学上学期期初诊断试卷

2023.09

(考试时间120分钟；试卷满分150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合/={x|-4<x<2},N={X|X2-X-6<0},则=

A.{x|-4<x<3}B.-2}C.{x|-2<x<2}D.{x[2<x<3}

2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为

80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生

A.630B.615C.600D.570

3.下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是()

A./(x)=sinxB.“犬)=2凶C./(x)=x3+xD./(x)=g(e-*-e")

4.已知平面向量4=(1,3),忖=2,且|j卜府,则侬+6卜,同=()

A.1B.14C.y/]AD.M

5.若cos

247

2525

6.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若a=2,b=2^,A*,则C=()

n

6

7.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍荒”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五

面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍薨，其中ABCEAAEO都是正三角形，AB=2BC=2EF,则以下

两个结论：0AB//EF；②BF工ED,说法正确的是()

A.①和②都不成立B.①成立，但②不成立C.①不成立，但②成立D.①和②都成立

8.已知定义在(-e,0)U(0,+w)上的奇函数/(x)在(y,0)上单调递增，且满足/(-1)=0,则关于x的

不等式的解集为()

A.(-oo,-l)<J(l,+oo)B.(-l,0)u(l,+oo)C.(Y,-1)D(°，1)D.(-l,0)U(0,l)

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目

要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.给出下列命题，其中正确的选项有（）

A.非零向量“，b，满足卜卜忖且a与匕同向，则

B.若单位向量q,e?的夹角为60。，则当悔一闻小刈取最小值时，r=l

/X

ARAr

在中，若贝为等腰三角形

C.ABC〔L网lAClJBC=0,ABC

D.已知）=（1,2）,6=（1,1）,且a与“+/1。的夹角为锐角，则实数义的取值范围是（-|，+8）

10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是

A.至少有1件次品与至多有1件正品B.至少有1件次品与都是正品

C.至少有1件次品与至少有1件正品D.恰有1件次品与恰有2件正品.

11.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB。。中，E,F,G分别为棱AD,AB,8c的中点，点尸为

线段。尸上的动点，则（）

A.两条异面直线OC和BG所成的角为60°B.不存在点P,使得GG平面BEP

C.对任意点P,平面尸CG，平面BEPD.点4到直线口尸的距离为4

12.己知函数“X）的定义域为R,对任意x都有/（2+x）=〃2-x）,且=则下列结论正确

的是（）

A.的图象关于直线x=2对称B./（X）的图象关于点（2,0）对称

C.f（x）的周期为4D.y=/（x+4）为偶函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知tan。、］,则I2）的值为.

cos（-g）+sin（兀-0）

—JC+4xxv4

14.已知函数/。）=X'：,若函数y=f（x）在区间3〃+1）上单调递增，则实数。的取值范围

log2x,x>4

是.

2

15.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱南，平面ABC,且m=4,则三棱锥

P-ABC的外接球表面积为.

16.已知。,£分别是_"。边4a4（7的中点，M是线段DE上的一动点（不包含QE两点），且满足

12

AM=aAB+pAC,则一+7的最小值为.

ap-

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17.已知平面向量9满足卜卜啦，恸=1,且k+

⑴求°在匕方向上的投影向量；

⑵若（。+劝）“2。-®,求实数儿的值.

18.已知。为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数z=cos6+isine,且z?-z在复平面上对应的点在

虚轴上.

（1）求夕;

⑵设2z,I，1+z+z?在复平面上对应的点分别为A,B,C,求.ABC的面积.

19.如图，在正四棱柱A8CO-AAGA中，M=2,即〃平面M4C.

⑴证明：M是。。的中点；

（2）若正四棱柱的外接球的体积是太兀，求该正四棱柱的表面积.

20.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电

量不超过2（X）kWh的部分按0.5元/kW-h收费,超过2（X）kW-h但不超过400kW-h的部分按0.8元/kW•h

收费，超过400kW-h的部分按1.0元/kW-h收费.

（1）求某户居民用电费用V（单位：元）关于月用电量x（单位：kWh）的函数解析式

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得

到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%,求。，b的值；

（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75%分位数.

3

21.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为正方形，物，平面ABC。，E为PD上的中点.

(1)求证：P87平面AEC；

(2)设PA=AB=l,求平面AEC与平面AED夹角的余弦值.

22.设函数/(x)=2sinxcos卜一手，若锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,LABC

外接圆的半径为R,acosB-bcosA=R.

⑴若〃A)=1，求B；

⑵求与的取值范围.

b

1.C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形

结合的思想解题.

【详解】由题意得，M={x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},则

MryN={x\-2<x<2].故选C.

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

2.D

【分析】根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.

【详解】高一年级共有学生1200人，

按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，

样本中共有男生42人，

80-42

则高一年级的女生人数约为：1200x——=570.

80

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.

3.D

【分析1根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.

【详解】对于A,函数/(x)=sinx为奇函数，但在定义域R上函数不单调，故A不符合；

4

对于B,〃于=2凶的定义域为R,/(-X)=2H=2W=/(X),则/。)=2凶为偶函数，故B不符合；

对于C,〃力=炉+》的定义域为区，/(-x)=-x3-x=-/(x),则“力=炉+》为奇函数，又函数

y=j?,y=x在R上均为增函数，故/(》)=丁+》在R上为增函数，故C不符合；

对于D,/(x)=g(e-，—e,)的定义域为R,〃T)=g(e*-e7)=-〃x),则〃x)=g(e-，—e')为奇函数,

又函数)，=e-、在R上为减函数，y=e*在R上为增函数，故f(x)=g(e-，-e*)在R上为减函数，故D符合.

故选：D.

4.B

【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.

【详解】因为卜-4=a--2a/+//=10,M=忖=2,所以“力=2，所以

(la+b^-(a-b^=2a=20-4-2=14.

故选：B

5.B

【分析】利用凑角，同角三角函数关系和二倍角的余弦公式转化计算.

【详解】sinf+j=sin2

=2cos271a_1=更一』工

)2525

故选：B

6.D

【分析】利用正弦定理求出3,进而得出答案.

兀

【详解】因为。=2,b=20,人4飞,

.得如必_忌蚱

所以由正弦定理得三8-.25

sinAsinB

a22

因为4哈八，所以8吗部所以54或小则或(

故选：D.

7.D

【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理和勾股定理进行求解即可.

［详解】因为底面为矩形,所以有AB〃CD,CDu平面CDEF,A80平面CDEF，所以A8〃平面CDEF,

而平面4BEFC平面=所以4B//EF,故结论①是正确的；

取C。的中点G,连接GaFG如下图所示：因为4?=28c=2£F,所以有

5

DG//EF,DG=EF,因此四边形。G五E是平行四边形，所以有QE〃G£DE=GF,

不妨设EE=1,因此A8=2,BC=1,BG=^BC=^EFm，因为AAEO都是正三角形，所以

DE=BF=\,因此有FG=£>E=1,FG2+BF2=BG2,所以

BFLFG,因此故结论②是正确的.

故选：D

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了勾股定理，考查了数学阅读能力

8.C

【分析】根据已知条件及奇函数的性质，作出函数卜=/(%)与，=411口:大致图象，结合函数的图象即可

求解.

【详解】因为/(x)是定义在(e,0)U(0,E)上的奇函数且/(x)在(-8,0)上单调递增，

所以“X)在(0,+叱)上单调递增，

由/(_1)=0,得/(1)=_/(—1)=0，

由此可在坐标系中画出)>=/(*)与丫=$皿心的大致图象，如图所示，

由图象可知，当xe(-co,-l)u(0,l)时，/(x)<simtx,

所以关于x的不等式<sinm的解集为(-«,-l)u(O,l).

故选：C.

9.BC

【分析】根据向量的定义，可判定A错误；根据向量数量积求得|2e,-£卜-1尸+3,可判定B正确;

ABAC

由网+同表示与NA的平分线共线的向量，结合三角形的性质，可判定C正确；当2=0时，得到向

量a与向量“+的夹角为0，可判定D项错误.

【详解】对于A中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A错误；

对于B中，因为单位向量与，02的夹角为60,可得4勺二卜小,卜os60=g

6

2

则|2qTeJ=，(2乌Te,1={4弓+re2-4tet-e2=■Jr—2t+4=^(f—I)+3)

当且仅当/=1时，|2弓一勺|取得最小值，最小值为石，所以B正确；

ABAC

对于C中，因为言+6表示与2A的平分线共线的向量，

\AB\lACl

/\

又因为L+厂耳BC=O,可得NA的平分线与BC垂直，所以A8C为等腰三角形，所以C正确；

对于D中，当2=0时，此时向量.与向量〃+劝的夹角为0,所以D项错误.

故选：BC

10.BD

【分析】根据互斥事件的定义，对每个选项做出判断，从而得到结论.

【详解】对于A,至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情

况，故不满足条件；

对于B,至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故满足条件；

对于C,至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不

满足条件；

对于。，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件.

故选：BD.

【点睛】本题考查互斥事件的判断，考查逻辑思维能力和分析求解能力，侧重考查对基础知识的理解和

掌握，属于基础题.

II.ACD

【分析】由正方体的结构特征及异面直线所成角的定义判断A：当点P与点。重合时，可得C。平面

BEP,即可判断B；连接CF,推导出CG±EB,CF±BE,从而得平面FC&,进一步得平面FCCt±

平面BEP即可判断C；由余弦定理求出NBRF=45°,由此能求出点用到直线D.F的距离判断D.

【详解】对于A,由正方体的性质可知BG〃AD1,两条异面直线RC和8G所成的角即为NARC=60。，

所以A正确；

对于B,当点P与点R重合时，由题可知EG〃DC,EG=DC，OG〃DC,RG=OC,

所以EG〃口C「EG=D、q,四边形EGCQ为平行四边形，故GG〃"E,

又CQU平面BEP,REu平面BEP,则QG平面BEP,所以B错误；

7

对于C,连接CF,由于CC|_L平面ABC。，BEu平面ABC。，故CG^EB,

又AE=BF,AB=CB,ZA=NCBF,故ABAE/尸，

故ZAEB=NCFB,ZEBA+ZCFB=90°,故CFJ.BE,

又C£CC1相交，CF,CGu平面FCG，故BE,平面尸CG，

又BEu平面SEP,故对任意点尸，平面FCG，平面8EP,所以C正确；

对于D,由正方体的性质可得BQ=4啦,尸口=亚7不寿=6,8/=122+4?=26，

所以+=6+(4旬-产匚①,

2BRFR2x6x4722

又0。</42/<180。，所以/4口尸=45。,

所以点用到直线D,F的距离d=BRsinNBRF=4而立=4,所以D正确.

2

故选：ACD.

12.ACD

【分析】根据函数的对称性、奇偶性、周期性逐项判断即可.

【详解】解：♦.•〃2+x)="2-x),则“X)的图象关于直线x=2对称，故A正确，B错误；

••・函数〃x)的图象关于直线x=2对称，则/(—x)=〃x+4),又x)=〃x),

.•.〃x)=/(x+4),.•.函数f(x)的周期为4,故C正确;

•.•函数”-x+4)=/(一(x-4))=〃x-4)=〃x-4+4x2)=〃x+4),故y=/(x+4)为偶函数，故D正

8

确.

故选：ACD.

13.1

【分析】利用诱导公式对原式化简得胃怒箸，然后分子分母同时除以3。，再由所吟代入即

可得出答案.

【详解】因为tane=；,

sin(0+n)-2sin|0-71I.八八八」+2

所以______________I2)_-sin®+2cos。_-tanO+2_2+_।

cos(-0)+sin(7i-。)cos0+sin。1+tanOj+j_

2

故答案为：1

14.(-oo,l]o[4,+oo)

【分析】分类讨论，当x44时，分析得到“+1W2,即当x>4时，a>4,综合即得解.

【详解】当X44时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,

；/(x)=-(x-2)2+4开口向下，对称轴为x=2,在对称轴的左边单调递增，

."+142,解得：a<l；

当x>4时，/(x)是以2为底的对数函数，是增函数，故。24；

综上所述，实数。的取值范围是：(YOJU[4,+CO)

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查二次函数和对数函数的单调性，意在考查学生对这些

知识的理解掌握水平.

15.28兀

【分析】根据已知，底面一43c是边长为3的等边三角形，P4L平面A8C,可得此三棱锥外接球，即

以.ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，即可求解.

【详解】根据已知，底面一4?C是边长为3的等边三角形，PAL平面A8C,

可得此三棱锥外接球，即以，ABC为底面以以为高的正三棱柱的外接球.

设正三棱柱的上下底面的中心分别为M，N,则外接球的球心。为MN的中点，

MC的外接圆半径为『2=|吟3地，，/="=料=2,

9

所以球的半径为R=Q4=，/+废=0,

所以四面体P-ABC外接球的表面积为5=4兀店=28兀，

故答案为：287r.

16.6+4应##4&+6

【分析】由三点共线得到2a+2，=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】由于M是OE上的一动点（不包含。,E两点），

且满足AM=aAB+£AC=2a4D+2/AE,所以名夕＞0且2&+2#=1,

以，+2=（_1+2）（20+2/?）=6+辿+细26+4&,

aPaPa0

当且仅当。=叵4=上电时取等号，所以的最小值为6+4人.

22aB

故答案为：6+4后

17.（1）*（2）2=-3

【分析】（1）由卜+劝卜J访，平方求得”/=1，结合投影向量的计算公式，即可求解；

（2）根据题意,结合口+孙（2力）=0,列出方程，即可求解.

【详解】（1）解：由忖=0,W=l,且卜+2耳=所，

平方得+4〃2+4忖=2+4。•力+4=10,解得a/=l,

ba-bbab,.

rwr邛

（2）解:因为（〃+砌J_（2a-b）,所以（〃+训.（2”一〃）=0,

化简得2H+（22—1）〃占一九忖=0,所以4+（24-1）-2=0,解得几=—3

18.（1序（2也

32

【分析】（1）先得至I"?一z=（cos26—cos6）+i（sin26—sine）,再根据z?-z在复平面上对应的点在虚轴

上，由cos20-8se=0求解；

（2）先得到各复数在复平面上对应的点分别为A（-l,石），,C（0,0）,然后利用余弦定理

X/

求得一个角，再利用三角形面积公式求解.

【详解】（1）解：**'z2-z=（cos20-cos+i（sin2^-sin0）,

cos20-cos0=2cos20-cos0-1=0»夕£（0,万）,

10

12

cos0=—=9=—R；

23

(2)由(1)知：sin6»=—.2z=-l+6i,

2

.2i36.16-16

>•z=--------------1------------------1，Z-------------1，

4422222

Al+z+z2=l--+—i---—i=0.

2222

在复平面上对应的点分别为A(-l,百)，B,C(0,0),

\7

CA=2,03=1,AB=不，

由余弦定理可得cosZACB=CAfC'T什=匕土1Z=-L且ZACBe(0,兀)，

2CACB2x22'

•*.sinZACB=>

2

/.SA.Br=-CACBsinZACB=-xlx2x—=^.

△ABC2222

19.(1)证明见解析(2)10

【分析】(1)连接BO,交AC于N,根据线面平行的性质，可得BDJ/MN,由N是8。的中点，可得

M是。。的中点；

(2)根据正四棱柱的外接球的体积求得4B,即可求该正四棱柱的表面积.

【详解】(1)连接8。，交AC于M连接MN.

因为BR〃面MAC,BRu面BD/,且面MACC1面=MN,

根据线面平行的性质定理得，BD\〃MN,

在正四棱柱中，四边形A8C。是正方形，所以N是30的中点，

所以M是。。的中点.

AB

(2)设钙=x(x>0)，正四棱柱的外接球的半径为r(r>0),

因为正四棱柱的外接球的体积丫=羽=扁，解得/=坐=走,

3V22

11

由题意BD,为正四棱柱的外接球的直径,

由8£>2+qq：=8疗，得J+/+2?=("『，解得》=］或％=一1(舍)，即4J=1,

所以正四棱柱的表面积为S=Fx2+2xlx4=10.

0.5JV,0<x<200,

20.(1)y=<0.8x-60,200<x4400,；(2)a=0.0015,Z>=0.0020；(3)375千瓦时.

x-140,x>400.

【分析】(1)根据题意以及分段函数的知识，求得》与》之间的函数解析式.

(2)先求得用电量低于400千瓦时的占80%,利用频率之和列方程组，解方程组求得。力的值.

(3)根据百分位数的计算方法，计算出75%分位数.

【详解】(1)当04x4200时，y=0.5x；

当200<xW400时，y=0.5x2(X)+0.8x(x-200)=0.8x-60；

当x>400时，y=0.5x200+0.8x20()+1.0x(x-4()0)=x-140.

0.5x,0<x<200,

所以y与X之间的函数解析式为y=，0.8x-60,200<x4400,

x-140,x>400.

(2)由(1)可知，当y=260时，x=400,即用电量低于400千瓦时的占80%,

0.001*100+2x1006+0.003x100=0.8,

结合频率分布直方图可知

100«+0.0005x100=0.2.

解得“=0.0015,8=0.0020.

(3)设75%分位数为也,

因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001+0.002+0.003)x100=60%,

用电量低于400千瓦时的占80%,所以75%分位数，〃在［300,400)内，

所以0.6+(加一300)x0.002=0.75,解得帆=375,

即用电量的75%分位数为375千瓦时.

21.⑴证明见解析(2)更.

3

【分析】(1)根据线线平行即可得线面平行，

(2)利用线面垂直得线线垂直，进而得平面夹角的平面角，即可利用边角关系求解，或者建立空间直角

坐标系，利用向量夹角即可求解.

【详解】(1)如图，连接3。交AC于点。，连接E。，则。为8。的中点，

E为PO的中点，

:.OE//PB

12

又OEU平面AEC,PB<z平面AEC,

(2)方法一：由于C3_LA3,雨JL平面ABC。，C£>u平面ABCD所以A4_L8,

ADPl=A,ADPAu平面/VID,所以CDJ-平面PAO,

AEu平面PAD,所以C£>_LAE,

由于尸A=AD,E为尸。中点，所以£D_LAE,

因此ZCED即为平面AEC与平面AED所成角的平面角或其补角,

由于C。=l,E。=Lp。=变,C£>_LP力，

22

0

故平面AEC与平面AED所成角的余弦值为3.

3

解法二：以A为原点，所在直线分别为元轴，V轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),40,；,；),8(1,0,0)((1,1,0),二/1£=(0,；］),4。=(1,1,0),

平面ADE的法向量为AB=(1,0,0),

/、n-AE=0,—yd——z=0,

设平面AEC的法向量为〃=(x,y,z),贝IJ即2，2