山东省聊城市第二中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试题

2022级高二年级第1次测评（开学检测）

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知i是虚数单位，复数z=（d—4）+（x+2）i是纯虚数，则实数x的值为（）

A.2B.-2C.±2D.4

2.在正方体ABCD—中，E,F分别为BC,CQ的中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形

的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.已知向量。=（1,2）,人=（1,1），若a与的夹角为锐角，则实数4的取值范围是（）

（0，+°°）

4.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，

高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台

的侧面积（单位：平方丈）为（）

5J1+万2541+4425J1+万25J1+4万2

A.-------------B.---------------C.-------------D.---------------

4乃4万272%

5.已知a,力是两条不重合直线，a,夕是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）

A.若a〃b，h//a,则。〃aB.若a丄/，a//a,则a丄/

C.若&丄/?,a<£a,a丄/，则a〃aD.若丄tz,a//b,尸丄a,则a〃夕

6.已知/xABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若a-Z?=ccosB—ccosA,则/xABC的形状

一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.直三棱柱A3C-A4G中，△ABC为等边三角形，A4,=A8,A/是4G的中点，则从以与平面BCG4

所成角的正弦值为（）

7「底V15

A.一B.—C.------D.---

10101010

8.在复数范围内方程V—2x+5=0的两根为c,夕，则冏+期等于（)

A.2B.2&C.x/5D.5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知复数4对应的向量为,复数z2对应的向量为OZ2,则下列说法正确的是（）

A.若口4卜1,则Z1=±l或土i

B.若4=4+于，z2=3+4i,则Z??：。,一1）

C.若|Z|+Z2|=|Z「Z2|，则OZ|丄OZ；

D.若（OZi+OZ2）丄（QZ「OZ?）,则|zj=閻

10.已知空间向量a=（L—1,2）,则下列说法正确的是（）

A.p/|=V6

B.向量a与向量6=（—2,2,T）共线

C.向量a关于x轴对称的向量为（1,1,—2）

D.向量a关于yOz平面对称的向量为（-1,1,-2）

11.已知圆锥的底面半径为2百，高为2,S为顶点，A,8为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（）

A.圆锥的体积为24%

B.圆锥侧面展开图的圆心角大小为百万

C.圆锥截面SAB面积的最大值为4G

D.若圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为生竺

3

12.E^Ja=（2cos0X,sinox）,b-coscox,2cos<yxj,<y>0,f^x）=a-b+43,且的图象的

IT

对称中心与对称轴的最小距离为一，则下列说法正确的是（）

4

A.G=1

B./（x）的图象关于直线x=—C对称

TT

C.把/(x)图象向左平移五单位，所得图象关于＞轴对称

D.保持/(x)图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移3•个单位，得到函数

y=2sinx的图象

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.甲、乙两人从1,2,3,…，10中各取一数(不重复)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概

率为.

14.在正方体—厶中，点G,〃分别在棱4G，4A上，且AH=C1G=§AA，则异面直线

BG与DH所成角的余弦值为.

15.已知sin(q+a)=；,则cos(g—2a)=.

16.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表:

等待时间/分

［。，5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

频数48521

用上述分组资料计算出病人等待时间方差的估计值$2=.

四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(15分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色

完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3

杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A

和8两种饮料没有鉴别能力.

(1)求此人被评为优秀的概率；

(2)求此人被评为良好及以上的概率.

18.(15分)如图所示，在四边形A8C。中，D=2B,且AD=1,CO=3,cosB=—.

3

(1)求△AC。的面积;

(2)若BC=2百，求4B的长.

19.(20分)如图所示，己知。。£?是半径为百，中心角为?的扇形，P为弧。E上一动点，四边形PQMN

是矩形，=

(1)求矩形PQMN的面积/(x)的最大值及取得最大值时的x值;

(2)在△ABC中，f(C)=~^~,c=2,其面积5乙钻。=2百，求△ABC的周长.

20.(20分)如图所示，四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为矩形，P4丄平面ABC。，Q4=AB=2,AD=0,

点E是心的中点.

(1)证明：AEA.PC；

(2)求点。到CE的距离；

(3)求二面角C-AE-。的大小.

2022级高二年级第1次测评(开学检测)

数学试题答案

一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.【答案】A

【解析】

【分析】因为X是实数，所以复数Z的实部是f-4,虚部是X+2,直接由实部等于0,虚部不等于0求解

X的值.

fY2-4=0

【详解】解：由z=(Y—4)+(x+2)i是纯虚数，得4,解得x=2.

x+2w0

故选：A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】把截面AEb补形可得利用四点共面可得.

【详解】解：如图，把截面AM补形为四边形AEF。,

连接AR,BG，

因为E,b分别为8C,CG的中点，则

又在正方体ABCD-中，厶。〃Bq

所以E尸〃A。，则A,2,尸,E四点共面.

则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.

故选：B.

3.【答案】D

【解析】

【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求岀丸的取值范围.

【详解】a+劝=(1,2)+(2,2)=(/1+1,/1+2),

2+2

由题意得：(X+1)+2(义+2)>0且％+1H

2

解得：A.>—且2h0,

3

故选：D

4.【答案】B

【解析】

【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为由已知周长求得r和代入圆台的侧面积公式，即可

求解.

【详解】设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,

13

可得2%r=2,2万H=3,可得「=-,/?=——，

712万

IJ47r2+[

又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为/=J『+（R—r）2=上——，

'In

所以圆台的侧面积为S=»（R+r）•/=»x[丄+/-]x至百=独三I.

（72万）2万4万

故选：B.

5.【答案】C

【解析】

【分析】利用线线，线面，面面的位置关系逐项分析即得.

【详解】若。〃h，b//a,则a〃a或aua,故A错误；

若a丄/，a//a,则a〃/或au〃或“与夕相交，故B错误；

若a丄夕，。丄戸，则a〃。或aua,又aza,故。〃a,故C正确；

若厶丄a,a//b,则a丄a,又尸丄a,则a〃〃或au〃，故D错误.

故选：C.

6.【答案】D

【解析】

【分析】根据边角互化得sinA-sin=sinCeos5-sinCcosA,再结合sinA=sin（B+C）,

TT

sin8=sin（A+C）化简整理得（sinB—sinA）cosC=0,进而得A=5或C=,,即.MC的形状一定是

等腰或直角三角形.

【详解】解：因为Q-Z?=CCOS8-CCOSA,

所以由正弦定理边角互化得sinA-sin3=sinCeosfi-sinCeosA,

因为sinA=sin（8+C）=sinBcosC+cos8sinC，

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

所以sin3cosC+cos3sinC—sinAcosC—cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA，

整理得sinBcosC-sinAcosC=（）

所以（sinB—sinA）cosC=0,

所以sin3=sinA或cosC=0,

因为AB,CG（O,4），

7T

所以厶=8或。=—,即AABC的形状一定是等腰或直角三角形

2

故选：D

7.【答案】B

【解析】

【分析】取AC的中点。，以。为原点，8。,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐

标系，即可根据线面角的向量公式求岀.

【详解】如图所示，取AC的中点。，以。为原点，亜,DC,OM所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立

不妨设AC=2,则A（0,—l,0）,M（0,0,2）,6（—g,0,0）,N-^-,--,2

（Ji31

所以AM=（0,1,2）,平面8CC円的一个法向量为〃=^-,--,0

设AM与平面BCG4所成角为a，向量AM与〃所成的角为

IAA7-H|-J77/---------

所以sina=|cos"==2又工J12（2）2

।1\AM\-\n\5/5x7310''丿

即AM与平面5CGA所成角的正弦值为理.

故选：B.

8.答案B

解析因为方程f—2x+5=(),

所以△=(—2)2—4x5=—16vO,

〜…2±>/16i[,

所以了=--------=1±21,

2

若令a=l+2i,则〃=1—2i,

则图+期=|1+2i|+11-2i|=Vl2+22+而+(一a)?=275.

二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】CD

【解析】

【分析】A可以举出反例；B选项，经过复数的向量表示下的运算得到Z|Zz=OZ2—OZ1=(-1,1)；C选项，

设Z]=a+〃i,z2=c+di，得到=0,从而得到。Z1±OZ2；D选项，同样设出z1=。+为，z2=c+d\,

通过复数的向量表示形式下的计算得到/+/=c2+d2,得到阂=卜卜

【详解】当4=g+等i时，满足|OZ]=1,故A错误；

Z.Z2=OZ2-OZ,=(3,4)—(4,3)=(—1,1),B错误；

设Z[=。+,z2=c+dLQ,b,c,JeR,

若忆+Z2I=k12]，则(a+c)2+(〃+d)2=((2-C)2+(〃一

化简得：ac^-hd=0,

故OZ|・OZ2=ac+儿/=0,所以04丄ON2,C正确；

设Z[=a+〃i,z2=c+di,a,b,c,JGR,

则OZ、+OZ2=(a+c,Z?+d),OZl—OZ2=^a—c,b—d^,

若(oz；+oz2)丄(oz,-ozj,

则(a+c)(a—c)+(〃+d)(〃一d)=a2+h2-c2—/=(),

所以=c2+d2,

则同二目，D正确.

故选：CD

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】根据空间向量模的公式，结合共线向量、线对称、面对称的性质逐一判断即可.

【详解】A：因为卜卜JB+（7）2+22=底,所以本选项说法正确；

B：因为8=-2。，所以向量a与向量匕=（一2,2,-4）共线，因此本选项说法正确；

C：设a=（l,—1,2）的起点为坐标原点，所以该向量的终点为（1,一1,2）,

因为点（1,一1,2）关于x轴对称的点的坐标为（1,1,—2）,

所以向量。关于x轴对称的向量为（1,1,-2）,因此本选项说法正确；

D：设a=（l,—1,2）的起点为坐标原点，所以该向量的终点为（1,—1,2）,

因为点（1,—1,2）关于yOz平面对称点的坐标为（1,—1,—2）,

所以向量。关于yOz平面对称的向量为（1,-1,-2）,

故选：ABC

11.【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意，求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论.

【详解】解：因为圆锥的底面半径为r=26,高为〃=2,所以圆锥的母线长

SA=SB=ylr2+h2=7（2A/3）2+22=4,则：

对于A,圆锥的体积V=丄兀，/?=；兀x（2G>x2=8兀，故A错误；

对于B,设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为a,则27tx26=ax4,。=岛,故B正确；

对于C,当圆锥截面S46为圆锥的轴截面时，此时S4=SB=4,AB=46，所以NASB=空，所以当

3

=5时，截面S钻的面积最大，SASB=1-SASA-sinZASB=1x4x4xl=8,故C错误；

对于D,圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球，设圆锥外接球半径为R,由球的性

222

质可知：R=(h-R)+r,即紹=(2_/?)2+(2百)2,解得R=4,所以外接球的体积

“4八34,256兀„_.

V=-TIR=一兀xd33=------.故D正确.

333

故选：BD.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】利用向量数量积的坐标表示、降幕公式及辅助角公式可得〃x)=2sin(2s-g),根据已知有丁=万

冗

求得0=1,即/(x)=2sin(2x-§),应用代入法验证对称轴、根据图象平移写出平移后的解析式并判断对

称性，即可得答案.

【详解】由/(x)=-2\/3cos2a>x+2sin0>xcosa)x+\/3=sin(2<yx)-JJcos(2<yx)=2sin(2(yx-y),

71T71

而对称中心与对称轴的最小距离为一,即一=一，可得T=不，

444

所以丁=红二)，可得G=1,A正确；

2co

TTTTTTTCTT

故/(x)=2sin(2x—J),贝U/(—2)=2sin(———)=-2,故的图象关于直线》=——对称，B正

3126312

确；

TTTT

/(x+—)=2sin(2x--),显然不关于y轴对称，C错误；

126

TI17r

横坐标变为原来的2倍，再左移§个单位则力5。+1)]=2311工，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案—

18

解析甲、乙两人从1,2,3,…，10中各取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，设甲取的数为机，乙

取的数为〃，其样本点记为(加,〃)，

所以样本空间。={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(10,

1),(10,2),(10,3),(10,4),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9)},共含有18个样本点,

事件，，甲数小于乙数，，包括(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),共5个样本点，

513

故甲数大于乙数的概率为P=l—二=’.

1818

14.【答案】—.

13

【解析】

【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系设该正方体的棱长为3,

则有£>(0,0,0),5(3,3,0),G(l,3,3),”(2,0,3),

OH=(2,0,3),BG=(-2,0,3),

设异面直线BG与DH所成角为0,

।।\DHBG\|2x(-2)+3x3|5

L

所以cos6=cos〈DH,BG〉=~n—■

11.BG亚2+32x“—2『+3?13’

故答案为：—.

13

7

15.【答案】---

9

【解析】

【分析】由已知条件及诱导公式可得cos(看―a)=g,再应用二倍角余弦公式求目标式的值.

【详解】sin(工+a]=cos--f—+<7]=cosf--a^=-,

[3丿[2(3)\(6丿3

由cos[1-2a)=2cos2仁一11一1二-7

9-

7

故答案为：一一

9

16.【答案】28.5—

20

_1

解析x=—(2.5x4+7.5x8+12.5x5+17.5x2+22.5x1)=9.5

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示5饮料，则从5杯饮料

中选出3杯的样本空间C={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,

3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共有10个样本点.

令。表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，尸表示此人被评为良好及以上的事件，则

1

(1)P(D)

10

37

(2)P(E)=《，则P仍)=P(O)+P(E)=历.

18.解(1)因为£)=28,cosB=——，

3

,1

所以cosO=cos28=2cos-B-\=——.

3

因为。€(0,万)，

所以sin。=Vl-cos2D=过2.

3

因为AZ>=1,8=3,

1]?B

所以△ACD的面积为5=—厶。-8与11。=一*1*3*—=0.

223

(2)在厶厶。。中，AC2AD2+DC2-2ADDCcosD-12,所以AC=26.

因为8c=2g,-^-=———,

sinBsinZACB

所以,27V3_____A_B_______A_B___；____A__B___

sin3sin(^--2B)sin232sinBcosB

所以A8=4.

19.【答案】(1)当》=色时，/(x);

(2)6+2技

【解析】

【分析】(1)将PN,MN利用x加以表示，并利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数的性质可

求得函数的最大值；

(2)由题可得。=生，然后利用余弦定理及三角形面积公式可得。+方=4+2百，进而即得.

【小问1详解】

因为NPOO=x(0cx<5)，

所以QM=PN=百sinx，则OM==sinx,

71

tan—

3

又ON=6cosx,所以MN=ON-OM=止3cosx—sinx,

3.。>/3(l-cos2x)

所以于(x)=MN•PN=3sinxcosx-V3sin2c=—sin2x----------------

22

=—sin2x+—cos2x--=>/3sinf2x+—卜郛<y),

22216,

八7tL、兀­兀57r

*.<0<x<一,则一<2xH—<—，

3666

ITTTTT函数f(x)=y/3sin(2x+^]~—取得最大值，

故当2%+々=一时，即当x=一时，

626k6丿2

"X)max=6-#=奈

【小问2详解】

,­1/(C)=gsin(2C+?)—曰=¥,

〈oy2Z

sinl2C+^=1,又C«0,〃),

ccn乃rr「乃

2C+32cH—=—，BPC=一，