2022-2023学年上海市徐汇区田林三中九年级上学期期中考试数学试卷含详解

2022学年第一学期田林三中九年级数学期中考试卷2022.11

考试时间：100分钟满分：150分

命题人：翁峥一审卷人：数学命题组

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1.下列两个图形一定相似的是（）

A.两个等腰三角形；B.两个等边三角形；

C.两个矩形；D.两个梯形.

2.已知线段c是线段〃、。的比例中项，若a=2,c=8,则b的值为（）

A.±4B.4C.32D.1

3如图，已知BO与CE相交于点4DE//BC,如果A£>=3,AB=4,AC=8,那么AE等于（）

A.—B.1.5C.14D.6

7

4

4,已知在RJA8C中，/C=90°,AC=3,A5=5,那么下列三角比的值是1的是（）

AsinAB.cosAC.tanAD.cotA

5.已知a、b和c都是非零向量，下列结论中不能确定a〃b的是（）

A."=卜|B.ac>cbC.2a=3bD.a=—c,b=3c

6.如图，在梯形A3CD中，AD//BC,BC=3AD,对角线AC、BD交于点。,所是梯形ABC。的中位线,

EF与BD、AC分别交于点G、H,如果AOG”的面积为1，那么梯形ABCD的面积为（）

A12B.14C.16D.18

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

x2x

7.已知一二彳，则---=______________.

>3y-x

8.在比例尺为1:1000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为5cm,那么点A、B分别表示的两地间相距

米，

9.己知点P是线段AB上的点，且BP2=AP・AB,如果AB=2cm,那么BP=cm.

10.己知£>、E是A4BC的边43、AC上的点，若A£>=2,AB=5,DE=4,BC=10,则得到

DE//BC（填“能”或“不能”）

11.已知,ABC与。所是相似三角形，CyABC=10,CDEF=12,若S28C=15,KI]SADEF=.

12计算：4a-2（a-20）=.

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2』）和点B（3,0）,则sin/AOB等于.

14.在中，矩形OEFG的一边£>£在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC上，A/7是5c边上的高，AH

与GF交与点K,若A〃=32,6c=48,矩形QEFG周长为76,则。G=.

GF

15.如图，ZVIBC的中线A。、CE交于点G,点尸在边AC上，GF//BC,那么——的值是

BC

16.在一ABC中，AB=10,AC=6,/5=30°,则BC=.

17.如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点

叫做该四边形的“强相似点”.如图1,在四边形ABC。中，点。在边AO上，如果“QA3、△QBC和

一QOC都相似，那么点。就是四边形ABCD的“强相似点”：如图2,在四边形ABCD中，AD^BC,

A3=OC=2,BC=8,NB=60。，如果点。是边AO上的“强相似点”，那么AQ=—.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

18.计算：2sin245o+2sin600-tan30o.tan450.

2x—y=

19.解方程组：2U,2

x—5xy+6y=

20.如图，在ABC中，点£>、B分别在边AB、AC上，DE//BC，且AT>=2，DB=4,DE1.

(1)求8C的长;

(2)连接QC如果£)E=a，BA=b，试用4、b表示向量CO，并在图中画出CO在a、b方向上的分向量-

3

21.如图，已知Rr,ABC中，ZACB=90°,C£＞是边A5上的中线，BC=2,cotZACD^-,求AB的长.

2

22.如图，在中，80平分/ABC,交4c于点。，E是上一点，联结。£且NADE=NABO.求证:

公BCDS/\BDE

23.如图，已知:A8C,AB^AC,。是边AC上的黄金分割点，且AO>OC,AC=3+6，BC=75+1

A

(1)求证：qBCD^ACB

(2)求NC

24.如图，直角坐标系中，4(—1,0),6(2,3),点8绕着点A顺时针旋转30°得到3'

备用图

(1)求直线A8的表达式

(2)求直线AB'的表达式

(3)若平面内有一点C,使_ABC是以A3为腰的等腰三角形且与..ABB'相似，求点C的坐标

2022学年第一学期田林三中九年级数学期中考试卷2022.11

考试时间：100分钟满分：150分

命题人：翁峥一审卷人：数学命题组

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1.下列两个图形一定相似的是（）

A.两个等腰三角形；B.两个等边三角形；

C.两个矩形；D.两个梯形.

【答案】B

【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可.

【详解】解：•••两个等边三角形的内角都是60。，

两个等边三角形一定相似，

其他选项均不能确定一定相似，不符合题意，

故选B.

【点睛】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2.已知线段c是线段6的比例中项，若a=2,c=8,则6的值为（）

A.±4B.4C.32D—

【答案】C

【分析】根据比例中项*=ab，然后代入求解即可.

【详解】解：•••线段c是线段〃、6的比例中项，

•♦c~=ab，

a—2,c=8,

•••64=2b,

"=32,

故选：c.

【点睛】题目主要考查比例中项的性质，理解比例中项的性质是解题关键.

3.如图，已知80与CE相交于点A,DE//BC,如果AP=3,AB=4,AC=8,那么AE等于（）

A.—B.1.5C.14D.6

7

【答案】D

【分析】证明△ABCSZVLDE,由相似三角形的性质得出——=——,则可得出答案.

ADAE

详解】解：七〃8C,

/XABC^>Z\ADE,

.ABAC

•.---=----,

ADAE

„48

即R—=---，

3AE

AE-6，

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键.

4

4.已知在RjABC中，NC=90°,AC=3,AB=5,那么下列三角比的值是一的是（）

3

A.sinAB.cosAC.tanAD.cot4

【答案】C

【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可.

【详解】解：在中，ZC=90°,AB=5,4C=3,

:.BC=^AB--AC2=4>

.BC4

tanA==—

AC3

故选：C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别.

5.已知人和c都是非零向量，下列结论中不能确定a〃人的是（）

A.a=卜|B.af0,cbC.2a=3bD.a=—c,b=3c

2

【答案】A

【分析】根据向量平行的条件：a=Ab>以及平行的传递性进行判断即可.

【详解】A、"="不能证明a〃》，选项错误，符合题意;

B、a"c，cb,可以证明a〃b，选项正确，不符合题意;

C、2a=36,可以证明。〃b，选项正确，不符合题意;

D、a=^c,b=3c,可以证明0〃/,,选项正确，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查平行向量.熟练掌握两向量平行，a=Ab＞是解题的关键.

6.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,BC^3AD,对角线AC、BD交于点。，跖是梯形ABC。的中位线,

EF与BD、AC分别交于点G、H,如果AOGH的面积为1，那么梯形A8CO的面积为（）

AK_______亦

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】设AD=2x,BC=6x,根据EF是梯形ABC。的中位线，求得EG=FH=，AO=x,GF=-BC=3x,证得

22

1

GH=AD,由此得到S40G”=S。a,=1,S.0C=3S&0GH=9,S1M()B=葭00c=35AAm=3,即可求出答案.

【详解】设AD=2x,BC=6x,

：EF是梯形ABC。的中位线，

二点E、F、G、H分别为AB、CD、BD、AC的中点，EF〃AD〃BC,

.•.EF=g(AZ)+BC)=4x,

AEG=FH=—AD=x,GF=—BC=3x,

22

AGH=2x,

AGH=AD,

VGH/7AD,

・・.AOAD^AOHG,

ODAD

•9•-----=-------=1,

OGGH

・・OG=OD,S、OGH二^&AOD=1，

•・・GH〃BC,

.△OGH^AOBC,

'~BC~6x~3

,•^&BOC=9S&OGH=9，

•••O是DG的中点，G是BD的中点,

♦q—v—qq—a

,,2AAOB-UADOC-~」，

SABCD=1+3+3+9=16,

故选：C.

【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角

形的性质，这是一道与中位线相关的综合题.

二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)

x2x

7.已知一=彳，则-----=______________.

y3y-x

【答案】2

【分析】由比例的性质设x=2Z,y=3Z,代入即可求解.

【详解】解：设x=2攵，＞=3%,

x2k.

则-----=--------=2

y-x3k—2k

故答案为2.

【点睛】本题考查根据比例式求代数式的值，设比例参数是解决本类问题的常用方法.

8.在比例尺为1：1()00的地图上，如果点A与点B两点间的距离为5cm,那么点A、B分别表示的两地间相距

____________米.

【答案】50

【分析】设两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x的值，再进行换算即可得出答案.

【详解】解：设两地间的实际距离是x厘米，

:比例尺为1：1000,量得两地间的距离为5厘米，

•1-5

"'WOO--x'

解得x=5000,

5000厘米=5（）米，

，两地间的实际距离是50米.

故答案为：50.

【点睛】此题考查了比例尺的性质.解题的关键是根据题意列出方程，还要注意统一单位.

9.已知点P是线段AB上的点，且BP2=AP・AB,如果AB=2cm,那么BP=cm.

【答案】（石-1）

【分析】根据黄金分割点的定义，可得BP=避二1AB,代入数据即可得出BP的长度.

2

【详解】解：•••点P线段AB上，BP2=AP・AB,

二点P为线段AB的黄金分割点，AB=2cm,

BP—=（加-I）cm.

故答案为（石-1）.

【点睛】此题考查的是黄金分割比,掌握黄金分割比公式是解决此题的关键.

10.已知£>、E是AABC的边AB、AC上的点，若AO=2,AB=5,DE=4,BC=W,则得到

DE//BC（填“能”或“不能”）

【答案】不能

【分析】要使OE〃8c则需要或NAE£>=NC或.ADE^ABC,己知条件得不出，因此不能判断平

行；

【详解】如图：

根据题意得不出，ZADE=NB，或NAEO=NC,

不能得出£>E〃BC

VAD=2,AB=5,DE=4,BC=10,

没有夹角

.•.不能得出.ADEs,.ABC,

,不能得出。石〃BC

故答案为：不能

【点睛】本题考查了平行线的判定以及相似三角形的判定及性质，注意线段之间的对应关系.

11.已知二ABC与。所是相似三角形，CVASC=10,CDEF=12,若S”BC=15,则%小-=.

【答案】18

【分析】直接利用相似三角形的性质，即可出答案.

【详解】解：•.二ABC与‘.DEE是相似三角形，CVABC=10,CDEF=12

：._ABC的面积与一DEF的面积比为：5：6,

：A3C的面积是15,

，石尸的面积为18,

故答案为：18.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出三角形的面积比是解题关键.

12.计算：4a-2（a-2Z?）=.

【答案】2a+46

【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案.

详解】解：4a-2（a-2b）

=4a-2a+4b

=2a+4匕，

故答案为：2a+4b・

【点睛】此题考查了平面向量的运算法则.注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键.

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,l）和点B（3,0）,则sin/AOB等于.

【答案】@#/石

55

【分析】过A作AC，x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得至IJOC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然

后根据正弦的定义即可得到sinZAOB的值.

【详解】如图，过A作AC_Lx轴于C,

A

—

Oc3x

：A点坐标为（2,1）,

，OC=2,AC=1,

•••OA=J℃2+AC2=6，

sinZAOB=-^^=.

OAy[55

故答案为止.

5

【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值.也考查了

点的坐标与勾股定理.

14.在一ABC中，矩形DEFG的一边。石在边上，顶点G、尸分别在A8、AC上，AH是8C边上的高，AH

与GF交与点K,若A〃=32,BC=48,矩形DEFG周长为76,则。G=

【分析】设OG为x,根据矩形的性质得出G尸为（38-x）,再由相似三角形的判定和性质得出二三=力；，然后

AHBC

将各线段代入求解即可.

【详解】解：设OG为x,

•••矩形OEFG的周长为76,

GF为（38-x）,

•.•四边形。EFG是矩形，

：.GF//BC,

.AGF.ABC,

.••A”是8C边上的高，AH与GF交于点、K,

.AKGF

,•丽一记’

KH=GD,

.32-x_38-x

32-48,

解得:x=20,

:.DG=20,

故答案为：20.

【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是

解题关键.

15.如图，ZkABC的中线A。、CE交于点G,点F在边AC上，GF//BC,那么——的值是_____

BC~

【答案】一

3

【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可.

【详解】解：:△ABC的中线A。、CE交于点G,

；.G是△ABC的重心，

.AG2

••一，

GD1

•.*GF//BC,

GFAG2

-

--A-

。c3

r>

GF1

-

=-

BC-3

故答案为：—

3

【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系.

16.在一ABC中，AB=IQ,AC=6,/3=30。，则BC=.

【答案】5百—而或56+而

【分析】根据题意分三种情况分析：当_ABC为锐角三角形时；当A8C为直角三角形时；当一ABC为钝角三角

形时；然后作出辅助线，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图所示，当二A8C为锐角三角形时：过点4作AD1BC,

•••AB=10,NB=30°,

•**AD=^AB=5,BD=yjAB2-AD2=V102-52=573-

CD=VAC2-AZ)2=762-52=VTi>

二BC=BD+CD=5反拒;

当一ABC为直角三角形时，当A8为斜边时，不符合题意舍去;

VAC=6,4=30°,

ABC=2AC=12；此时不满足勾股定理，应舍去

当为钝角三角形时：过点C作CE_LBA的延长线于点E,

VAB=10,4=30°,

.•.设C£=x,则3c=2CE=2x,

,*BE=VBC2—CE~=y/3x'A.E—y/3x—10>

/.CE2+AE2=AC2-B|JX2+(A/3X-10)2=62,

解得：川=5限痴,

2

BC=56+旧或BC=56-5;

综上可得：BC=56-而或5百+JTT;

故答案为：5班-旧或5国后.

【点睛】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意作出相应辅助线进行分类讨

论是解题关键.

17.如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点

叫做该四边形的“强相似点”.如图1,在四边形ABCD中，点。在边上，如果」.QAB、△QBC和

-QOC都相似，那么点。就是四边形ABCO的“强相似点”；如图2,在四边形A8CD中，AD/BC,

AB=DC=2,3c=8,NB=60°，如果点。是边AD上的“强相似点”，那么4Q=—.

A

【答案】3+亚或3-也

【分析】过点A作AE〃CD,交BC于点E,可证四边形ADCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD的

AQDC

长，利用“强相似点”的定义可得△ABQs^DQC,则由相似三角形的性质可得请==,再根据线段之间的

ABDQ

数量关系建立关于AQ的方程，求解后即可求出AQ的长.

【详解】解：如图，过点A作AE〃CD,交BC于点E,

•.•在四边形A3CO中，AD^BC,AB=DC=2,

...四边形ADCE是平行四边形，

；.AE=CD=AB=2,AD=CE.

.'.△ABE是等边三角形.

；.BE=AE=AB=2.

.".AD=BC-BE=6.

•••点。是边AO上的“强相似点”，

.".△ABQ^ADQC.

.AQDC

设AQ=x,则DQ=6—x,

解得力=3+6，x2-3-V5.

故答案为：3+石或3-逐.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似

三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

18.计算：2sin245o+2sin60o-tan30o.tan450.

【答案】1+空

3

【分析】将各个锐角三角函数值代入即可求解.

(万丫r-r-

【详解】解：原式=2x在+2x@-斗1,

I2J23

=1+6力

3

【点睛】本题主要考查了不同特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

2x-y=3

19.解方程组：<

x2-5xy+6y2=0

9

Xj=2

【答案】

y=i'3

3

【分析】5盯+6y2=。可化为：(％-2>)(尤一3y)=0,再转化为两个方程组后，再用代入法求解.

【详解】解：由丁一5孙+6/=0得：(x-2y)(x-3y)=0

2x-y=3①(2x-y=3①

.•.原方程组可化为《

x-2y=0③x-3y=0@

把③化为％=2y,

代入①得：y=

/.x=2，

.%=2

lx=l

3

把④变形为x=3y代入①得，y=-,

9

x=一，

5

f9

"3

-9

原方程组的解是：〈tA:.

X=13

【点睛】此题比较复杂，解答此题的关键是把原方程组化为两个方程组，再求解.

20.如图，在..ABC中，点£>、2分别在边AB、AC上，DE//BC,且AD=2，DB=4,DE=y-

(1)求8c的长；

(2)连接。。如果。£=a，BA=b，试用〃、人表示向量CO，并在图中画出CO在d、方向上的分向量.

,2

【答案】(1)10(2)CD=-b—3a,图见解析

3

【分析】(1)根据OE〃,即可得出△AOESA45C,根据相似三角形对应百年成比例即可求出BC的长;

(2)根据相似比将80和8C表述出来，再根据CO=8O_BC即可用。、Z?表示向量CO，过点C作

CF//AB,交8E延长线于点F,根据平行四边形法则可得出结论.

【小问1详解】

解：♦.•£>£〃8C,

；./ADE=NABC,

又；ZDAE^ZBAC,

：./XADE^ABC,

.ADDE

••=f

ABBC

VAD=2,08=4,

AB=6,

10

2J,解得：BC=10.

6-5C

【小问2详解】

■:AADEsAABC,

,ADDE1

••==一,

ABBC3

,:DE=a，BA=b，

____―.22-

•••BC=3DE=3a>BD=-BA=-b,

2--

：.CD=BD-BC=-b-3a.

3

过点c作C/〃AB,交延长线于点凡

A

D,_/........F

B-

则C2和。尸是CO在。、。方向上的分向量.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定以及平面向量的相关知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形法则以

及平面向量的加减法则.

3

21.如图，已知RjABC中，ZACB=90°,8是边A3上的中线，BC=2,cotNACO=—,求A8的长.

2

【答案】AB=yfl3

【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出AD=B£)=CD,所以NACD=NA,然后利用

/ACD的余切值求出AC的值，再利用勾股定理即可求出AB的长度.

【详解】解：在RjABC中，

；NACB=90°,AD=BD,

**.CD=AD.

・・・ZACD=ZA.

3

cotZACD=—,

2

cotZ.A--

2

AC3

BC2

-：BC=2,

AC-3.

工在RfABC中，AB=y]AC2+BC2=732+22=713-

/.AB=413

【点睛】本题考查了余切解直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据边相等求出

NACD=NA是解题的关键，还考查了勾股定理的应用.

22.如图，在_/3。中，8。平分NABC,交AC于点。，E是A3上一点，联结。E且NADE=NA8O.求证：

公BCDS/\BDE

【答案】证明见详解

【分析】根据相似三角形的判定得出ADES_ABD，进而利用相似三角形的性质和判定解答即可.

【详解】证明：VZADE^ZABD,NA=ZA,

^ADE^ABD>

:.ZAED=ZADB,

ZBED=ZBDC,

,/8。平分NABC，

/EBD=NCBD,

：.ABCDS&BDE.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键.

23.如图，已知，ABC,AB=AC，。是边AC上的黄金分割点，且AO>OC,AC=3+V5.BCf+1

A

（1）求证：dBCD^ACB

（2）求NC

【答案】（1）见解析（2）/。=72。

【分析】（1）根据黄金分割点得出4。=指+1，8=2,再由对应线段成比例及公共角即可证明；

（2）由（1）得「；=——，ZA^ZDBC，再由等边对等角得出NZ=NAB。，确定NABC=/C=2/A,

ACAB

利用三角形内角和定理求解即可.

【小问1详解】

解：•••£>是边AC上的黄金分割点，且AD>OC,AC=3+石,

•・AD=^^AC=^^x(3+司=有+1，CD=AC—AD=2,

.BCCD_y/5-1

'~AC~~BC~2

:NC=NC,

,*.BCD0a..ACB；

【小问2详解】

•,一JBCD0°_ACB,

•岑=吗NA=NDBC,

ACAB

：AB^AC,

\BD=BC=^+l，

,•AD=BD，

,•NA=NABD,

ZABC=ZC=2ZA,

：ZABC+ZC+ZA=\80°,

•-5/A=180°,

=36。，

:・NC=TT.

【点睛】题目主要考查相似三角形的判定及性质，等边对等角的性质及三角形内角和定理等，综合运用这些知识点

是解题关键.

24.如图，在直角坐标系中，A(-l,0),3(2,3),点B绕着点A顺时针旋转30°得到B'

备用图

(1)求直线A8的表达式

(2)求直线A8'的表达式

(3)若平面内有一点C,使,ABC是以A8为腰的等腰三角形且与A5B'相似，求点C的坐标

【答案】(1)直线A8为y=x+l

(2)直线AB'为y=(2-+

J373-5373+3Vf373+136-31J1-3G9-3百3-3面

I22J[22)(22)(22J

【分析】(1)设直线43为丫="+匕，把A(—1,0),3(2,3)代入建立方程组，再解方程组即可；

(2)过8作轴于0,交A8'于G,过夕作B77_Lx轴于“，在A”上取点£使4尸=9尸，证明

ZB'AH=15°,可得N/M8'=NAB'F=15°,ZB'EW=30°,设B'H=m,则Ab==2机,R"=根，求

解tan/"A"=^=^p=2-6'可得G(2,6—3g),再利用待定系数法求解函数解析式即可；

(3)由AA3B'为等腰三角形，AB=AB'=372,ZBAB'=30°,而/WC是以A3为腰的等腰三角形且与

ABB'相似，则ZBAC=30°或NABC=30°,再分两种情况讨论即可.

【小问1详解】

解：设直线4?为丫=履+人，把A(—1,0),8(2,3)代入得:

—k+b=a"k-1

，解得：”

2k+b=3b=\

直线AB为y=x+L

【小问2详解】

如图，由题意可得NBA9=30°,AB'=AB=^(-1-2)2+(0-3)2=372,

过8作3Q_Lx轴于0,交43'于G,过£作B'HJ_x轴于“，在AH匕取点£