2023-2024学年河南省郑州市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年河南省郑州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知空间向量a=(〃z+l,加,一2),b=(—2,1,4),且々_|_6,则加的值为()

A.——B.-10C.10D.-

33

【正确答案】B

【分析】根据向量垂直得-2(〃?+1)+帆-8=0,即可求出加的值.

八八

【详解】〃一2(加+1)+m-8=0=>机=-10.

故选：B.

2.已知在数列｛《,｝中，q=3,a2=6,S.a„+2=a„+i-a„,贝!|沏)23=()

A.3B.-3C.6D.-6

【正确答案】A

【分析】推导出数列｛%｝的周期，利用数列的周期性可求得。2M的值.

neN，

【详解】因为an+i=an+2-all+t=(all+l-a,,)-a„+l=-a„,则a„+6=-a„+3=«„()-

2023=6x337+1,故出。23=%=3.

故选：A.

3.已知。为原点，点4(2,-2),以为直径的圆的方程为()

A.(x-l)2+(^+l)2=2B.(x-l)2+(j^+l)2=8

C.(X+1)2+(J；-1)2=2D.(X+1)2+(J»-1)2=8

【正确答案】A

【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解.

【详解】由题知圆心为半径r=Jo/|=五，

.•.圆的方程为(x-lf+Cr+l/W.

故选：A.

4.在等差数列MJ中，已知为=3,4=7,则数列｛““｝的前9项和品为()

A.-11B.13C.45D.117

【正确答案】C

【分析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答

【详解】在等差数列｛q｝中，因为=3,即=7,所以Sg=4要x9=g%x9=M<9=45.

故选：C

5.若方程4x2+⑶2=44表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于()

A.2尿B.2y/-kC.y[kD.y[—k

【正确答案】B

【分析】根据双曲线标准方程直接判断.

【详解】方程4—+02=4左即为二+己=1,

k4

由方程表示双曲线，可得广-《=1,

4-k

所以a=2,b=yj—k，

所以虚轴长为2b=2，7，

故选：B.

6.在等比数列｛叫中，公比是4,则“>1"是“%>%(〃eN*)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【正确答案】D

【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如4=-1,再根据充分条件和必要条件的定义

即可得出答案.

【详解】解：当q=-l时，则。.=-01,

因为g>l,所以g">q"T,所以

故见+I<4,(〃€N)

所以<?>|不能推出

当q=-1时，贝Ija“=-4"T,

由4+i>%("wN*),得-q">_q"T,

则["<0i,所以0<q<l,

所以。用>a,,(〃eN*)不能推出g>1,

所以“9>1”是“1>%(〃eN*)”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与

短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点与，用均在x轴上，C的面积为兀，过

点4的直线交C于点A,B,且△ZB工的周长为8.则C的标准方程为()

【正确答案】C

【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可.

【详解】因为A/B名的周长为8,

所以+”尸2+=8="耳+BF[+/五2+5尸2=8=(4玛+AF2)+(5F,+5F2)=8,

由椭圆的定义可知：AF\+AF[=2a,BF\+BF[=2a

所以2a+2a=8=>a=2,

由题意可得：abn=2y/3n，解得6=百，

因为椭圆的焦点在X轴上，所以c的标准方程为止+己=1.

43

故选：C

本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.

8.如图所示,在平行六面体ABCD-44CQ中,3工,4』；北二，”是的中点，点

N是/G上的点，且4N=；/G,用表示向量加的结果是()

D

IXX>[X]x4x

A.—a+b+cB•一ClH—bH—c

2555

ix?x])[X2X]X

C.-a-—b--cD.-a——b——c

5105336

【正确答案】D

【分析】在平行六面体/BCD-4片GA中根据空间向量的加法合成法则，对向量加进行线

性表示，即可求得答案.

【详解】连接G"

I

1♦♦汉_wiijM

可得:GN=1C/

••・，、••V、••,、••V、••，、-・，、，、，、，,

AC}=AA}+AC=AA]+^AD-^-AB^=c+a+b

2X2X2>

C,N=-C,A=——c--a--b

131333

X1>

又CxM=-a--c

:.MN=C\N-C[M

iX?Xi>

MN=-a——b——c

336

故选:D.

本题考查了空间向量的加法运算，解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.

9.已知三棱柱244G的所有棱长均为2,44,平面力6C,则异面直线48,4G所

成角的余弦值为（）

A.1B.逅C.叵D.叵

4444

【正确答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】以A为坐标原点，平面N8C内过点A且垂直于/C的直线为x轴，4C所在直线为

y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则2（0,0,0）,4（0,0,2）,网"1,0）,“0,2,2）,4灵便,1,-2）,=（0,2,2）,

73x0+1x2-2x2

^(V3)2+l2+(-2)2XA/02+22+22

二异面直线小，阳所成角的余弦值为

故选：A

10.•动圆P过定点“（T,0）,且与已知圆N：=16相切，则动圆圆心P的轨

迹方程是（）

【正确答案】C

【分析】由两圆相切分析可知|PM-PN|=4,符合双曲线的定义，可得2a=4,2c=8,根

据双曲线中a,b,。的关系，即可求出动圆圆心P的轨迹方程.

【详解】解：已知圆N：（X—4）2+/=16圆心N（4,0）,半径为4,

动圆圆心为P,半径为厂，

当两圆外切时：PM=r,PN=r+4,所以PM-PN=-4；

当两圆内切时：PM=r,PN=r-4,所以PM-PN=4；

即归M-PN|=4,表示动点尸到两定点的距离之差为常数4,符合双曲线的定义，

所以「在以加、N为焦点的双曲线上，且2a=4,2c=8,

h=y/c2—a2=J16-4=2也>

所以动圆圆心P的轨迹方程为：二-匕=1,

412

故选：C.

11.若点A,B在抛物线r=2px（p>0）上，O是坐标原点，若等边三角形的面积为

46,则该抛物线的方程是（）

A.y2=^^-xB.y2=yj3x

3

C.y1-2y/3xD.y2=^-x

3

【正确答案】A

【分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得A点的坐标，代入抛物线方程求得

户的值.

【详解】设等边三角形的边长为。，

则与2=46解得。=4.

4

根据抛物线的对称性可知^AOx=-,且0/=a=4,

6

设点A在x轴上方，则点A的坐标为（0/cos?Qsi吟），即（2忘2）,

将（262）代入抛物线方程得22=2p•2月，

解得0=等，故抛物线方程为^=2.乎

故选：A

12.已知双曲线*■-卓=1（。>0,6>0）的离心率为与叵，左焦点为F,实轴右端点为/,虚

轴上端点为8,则△/B厂为（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

【正确答案】A

【分析】根据△ZB尸三边的关系即可求出.

【详解】因为e=£=g5,所以。［一℃一/4，而|/却=°,卜可=a+c,\BF\=y/b2+c2,

所以M肝+忸尸「-pF|2^c2+b2+c2-（a+c）2

=b2+c2-a2-lac=2（c2-a2-tzc）=O,

即|/8「+他月'I/月）所以△形f为直角三角形.

故选：A.

二、填空题

13.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是（0,-3）,则该抛物线的标准方程为

2

【正确答案】x=-ny

【分析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程.

【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是（0,-3）,所以称=3,解得P=6,抛物

线的标准方程为x2=-12y.

故x?=-12y.

14.记S”为等比数列｛对｝的前〃项和，若$3=7,公比4=2,则％=.

【正确答案】4

【分析】根据给定条件列式求出数列｛〃“｝的首项即可计算作答.

【详解】依题意，q+qg+a/=7,解得q=1,所以%=。避=4.

故4

15.若直线/与直线卜='平行，且原点到直线/的距离为2,则直线/的方程为.

【正确答案】y=x±242

【分析】可设直线/的方程为V=x+6(b*0),利用点到直线的距离公式求得6,即可得解.

【详解】可设直线/的方程为V=x+b仅声0),即x-y+b=0,

则原点到直线/的距离为瞿=2,解得b=±2应,

所以直线/的方程为y=x±20.

故答案为.y=x±2V2

16.椭圆C：，+《=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,点力在椭圆上，AFt-AF,=0,

a~b

直线AF2交椭圆于点8,%可=卜6],则椭圆的离心率为.

【正确答案】8(收瓦方也可以)

【分析】可以利用条件三角形耳为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与小6之间等

量关系，然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.

【详解】

由题意知三角形片为等腰直角三角形，设/£=/8=x,则x+x+缶=4a，解得

x=(4-272)a,AFL(272-2卜，在三角形AF£中，由勾股定理得(/耳丫+(4月『=(2c『,

所以e。=9-6>/J，e=V^—

故卡-(，9-6近也可以)

三、解答题

17.已知抛物线/=2px(p>0)的焦点尸到其准线的距离为4.

(1)求p的值：

(2)过焦点下且斜率为1的直线与抛物线交于48两点，求|，8|.

【正确答案】(1)P=4；

⑵|明=16

【分析】(1)利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；

(2)通过题意得到焦点坐标，然后得到直线48的方程，与抛物线进行联立可得

X2-12X+4=0,利用韦达定理可得玉+々=12,即可得到答案

【详解】(1)由抛物线/=2px(p>0)可得焦点尸准线方程为x=-5,

又因为抛物线/=2px(p>0)的焦点到其准线的距离为4,

所以P=4；

(2)由(1)可得抛物线的方程为_/=8x,所以焦点尸(2,0),

则直线4B的方程为y=x-2,设/(占,月),8(七,%),

联立?:整理可得/_12》+4=0,所以X+X2=12,

[y-=8x

由抛物线的性质可得I/用=9+&+。=12+4=16.

18.已知直线机：(a+2)x+(l-2a)y+4-3a=0.

(1)求证：直线过定点"：

(2)过点M作直线〃使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4,求直线〃的方程.

【正确答案】(1)直线加过定点”(-1,-2),证明见详解；

(2)2X+J+4=0

【分析】(1)变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明.

(2)设直线方程，利用过点M作直线〃使得直线与两负半轴围成的三角形N8C面积等于4,

得到方程组，即可求出直线方程.

【详解】(1)证明：方程加：(a+2)x+(l-2a)y+4-3°=0化为：

a(x-2y-3)+(2x+y+4)=0,

X=-1

由直线系方程的性质有:

夕=一2

故直线“恒过点

(2)设直线〃：土+[=l(a<0,6<0),

-1-2.

------1------=1

则由题意得：,解得

所以直线〃：二+2=1,即2x+y+4=0,

-2-4

所以所求直线方程为.2x+y+4=0

19.已知数列｛““｝的前〃项和为，且％=2,S“=q,+|-2,〃eN*.

⑴求数列｛““｝的通项公式；

(2)若。=(0&、〃)，数列他,｝的前”项和为小求4ZZ……金22的值.

【正确答案】(1)4=2"；

【分析】(1)根据给定的递推公式结合“当〃22时，=%”探求｛%｝相邻两项的关系计

算作答.

(2)由(1)的结论求出"，再利用裂项相消法求出7；,即可作答.

【详解】(1)依题意，VneN-,Sn=an+l-2,则当〃22时，Sn_x=an-2,

于是得：Sn-Sn_i=an+l-an=a„,即an+l=2a,,

而当〃=1时，5[=出一2,即有的=4=2%,因此，V/?GN*,〃〃+i=2a”，

所以数列｛《,｝是以2为首项，2为公比的等比数列，%=4g"T=2",

所以数列｛《,｝的通项公式是«„=2”.

(2)由⑴知，"(log2a"1).(log2见)Iog22"+…og22"(n+l)nnn+1

从而有卷=4+仇++"=(1-:)+(:一1)++(--^-)=1—^=-^7，

223nn+\n+\n+\

1?320221

所以7；•分?；•-T2022=------・生£=」—.

'23202223420232023

20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA_L平面ABCD,E为PD的中

点.

(1)证明：PB〃平面AEC

(2)设二面角D-AE-C为60。，AP=1,AD=J5,求三棱锥E-ACD的体积

【正确答案】正

8

【详解】试题分析：(I)连接BD交AC于O点，连接EO,只要证明EO〃PB,即可证明

PB〃平面AEC；(II)延长AE至M连结DM,使得AM_LDM,说明NCMD=60。，是二面

角的平面角，求出CD,即可三棱锥E-ACD的体积

试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O,连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.

又E为PD的中点，所以EO〃PB.

因为EOU平面AEC,PB4平面AEC,

所以PB〃平面AEC.

(2)因为PAJ_平面ABCD,ABCD为矩形，

所以AB,AD,AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，AB，AD,AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，|力/|为单位长，

建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,6,0),E,AE=

设B(m,0,0)(m>0),则C(m,设,0),AC=(m,设,0).

设m=(x,y,z)为平面ACE的法向量,

人nmx+yfiy=0

n-AC=0

则｛x*<即｛力1

n-AE=0—y+-z=0

22

可取m=

又n2=(l,0,0)为平面DAE的法向量,

由题设易知|cos<m，112〉|=y即

因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为，三棱锥E-ACD的体积V=

二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定

21.已知各项均为正数的等比数列｛对｝的前〃项和为S”，且2%+%=8,星=%+6.

(1)求数列｛乐｝的通项公式；

(2)设b"=a„+llog2a„+l,求数列｛a｝的前"项和Tn.

【正确答案】⑴4=2”

(2)T„=n-2"+2

【分析】(1)由等比数列的前“项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得4和公比4

后可得通项公式；

(2)用错位相减法求得和

【详解】(1)设数列｛勺｝的公比为4，由2%+4=8,S｝=ai+6,

2q+gq=8,\a=2,

得八，工人。2，解之得,所以q,=2”；

4(l+q+g)=6+gq[q=2,

,,+l

(2)b„=a„+llog2o„+1=(»+l)2,

又1=4+&+4+…+b“，得7；=2x22+3x23+4x2"+…+(〃+l)x2"l

27；,=2X23+3X24+4X25+•■•+(«+1)X2,,+2,

两式作差，得

-7；=2x22+23+24+---+2,,+'-(n+l)x2,,+2=4+-^------^-(»+l)x2n+2=-«-2,,+2-

2—1

所以7；=〃♦2/2.

22.已知椭圆从5+/=1(4>6>0)的焦距为2百，点(等,1卜椭圆£上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线y=H+l与椭圆E交于/、N两点，。为坐标原点，求OMN面积的取值范

围.

【正确答案】(1)广+》2=1；(2)(0,省.

4I2.

14

【分析】(1)本题可根据题意得出,=右、/+本=1，然后结合/=/+°2,即可求出a?、

/以及椭圆E的标准方程；

(2)可设"(士/J、N(z，必)，通过联立直线方程与椭圆方程得出西+匕=-F1