高考数学一轮复习试题第4节 复数

第4节复数

考试要求1.理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代

数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式

的加、减运算的几何意义.

【知识诊断•基础夯实

I知识梳理

1.复数的有关概念

(1)定义:我们把集合殳={a+bi|m06R}中的数，即形如a+历(a,b£R)的数

叫做复数，其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

⑵分类：

满足条件(a，8为实数)

a+历为实数Q"=O

复数的

a+bi为虚数Q8WO

分类

a+b\为纯虚数Qa=0且/?数0

(3)复数相等：a+bi=c+di<=>a=cfLb=d(a,b,c,d@R).

(4)共鲍复数：a+历与c+小共轨ioa=c,b=—d(a,b,c,deR).

(5)模：向量应的模叫做复数z=a+bi的模，记作地土园或团，即|z|=|a+历尸

\la2+b2(a,OdR).

2.复数的几何意义

复数z=a+4与复平面内的点Z(a,切及平面向量或=(a,b)(a,8WR)是一一对

应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则：设zi=a+Z?i,Z2=c+di,a,b,c,JGR.

p_JZ\±Z2K(a+1i)±(c+di)=(a±c)+(6±d)i

二!K(a+1i)(c+di)=@c-1/)+(6c+ad)i

_/z---7a+bia艺c+Abdbb'c-a人d.,小)

(2)几何意义:

复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZiZZz可以直观地反映出复数加、减

法的几何意义，即归=国±屋，zTz2=dZ2-ozi.

I常用结论

Li的乘方具有周期性

i"=l,i4n+l=i,i4«+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4"+l+i4"+2+j4”+3=0,“GN*

91+i.1—i.

2.(l±i)=±2i,口=1；币~L

3.复数的模与共舸复数的关系

Z・Z=|z『=|z|2.

Ij诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴复数z=a+bi(a,bGR)中,虚部为历.()

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()

(3)原点是实轴与虚轴的交点.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应

的向量的模.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.

2.(2021•北京卷)在复平面内，复数z满足(l—i>z=2,则z=()

A.lB.iC.l-iD.l+i

答案D

解析由题意可得2=72—=772-：，；=一=1+1.

1—1(1—1)(1+1)

3.(2021.新高考n卷)复数m在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

2-i(2-i)(l+3i)=寄=手，所以该复数在复平面内对应的

解析=

l-3i(l-3i)(l+3i)

4.(2021・上海卷)己知z=l—3i,则|z-i|=.

答案小

解析Vz=l-3i,/.z=l+3i,.*.z-i=l+3i-i=l+2i,.*.|z-i|=^/l*12+22=

小.

1-i

5.已知。+"(a,bGR)是币的共枕复数，则“+/?=.

答案1

..1-i(1-i)(1-i).

斛析由在］=(1+i)—(1二i)-=f得a+bi=\,即«=0,b=l,则a+b

=1.

6.(易错题)i为虚数单位，若复数(1+疝)(i+2)是纯虚数，则实数相等于.

答案2

解析因为(l+mi)(i+2)=2—机+(l+2〃z)i是纯虚数，所以2—机=0,且1+

2〃iW0,解得加=2.

」考点突破•题型剖析

考点一复数的概念

1.(2022.北京朝阳区一模)如果复数幺产(bdR)的实部与虚部相等，那么h=

()

A.-2B.lC.2D.4

答案A

解析半=°+,)—［二1)-=》一方,所以实部为虚部为一2,故。的值

11(—1)

为一2,故选A.

2

2.(多选)若复数z=含，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.z的虚部为一1

B.|z|=V2

C.z2为纯虚数

D.z的共聊复数为一l-i

答案ABC

解析z=*=…=、^=l-i，对于A,z的虚部为一1,正确;

1+1(1+1)(1—1)2

对于B,模长|z[=6，正确；

对于C,因为Z?=(l—i)2=-2i,故z2为纯虚数，正确；

对于D,z的共扼复数为1+i,错误.

3.(多选)设Zl,Z2是复数，则下列命题中的真命题是()

A.若|zi—Z2|=0,则Z1=Z2

B.若Z1=Z2,则Z1=Z2

C若|zi|=|Z2|,则Z1-Z1=Z2・Z2

D.若|zi|=|Z2|,则z¥=z3

答案ABC

解析对于A,若|zi—Z2|=0,则Z]—Z2=0,Z1=Z2,所以Z1=Z2为真；

对于B,若ZI=Z2,则Zl和Z2互为共朝复数，所以ZI=Z2为真；

对于C,设zi=m+bii,Z2=s+b2i,a\,b\,ai,历WR,

若|zi|=|Z2|,则+后操,

即a++尻=a3+比，

所以z]-z\=a^+bi=al+bi—Z2-Z2,

所以Z1-Z1=Z2-Z2为真；

对于D,若Z1=I,Z2=i,

则|zi|=|Z2|,而Z?=l,z3=-1,

所以z?=遥为假.故选ABC.

4.若复数z=(f—l)+(x—l)i为纯虚数，则实数x的值为.

答案T

f—1=0

解析为纯虚数，....一—

X—1^0,

•'•X——1.

感悟提升1.复数z=a+bi(a,Z?eR),其中a,匕分别是它的实部和虚部.若z为

实数，则虚部方=0,与实部a无关；若z为虚数，则虚部8W0,与实部a无关;

若z为纯虚数，当且仅当a=0且bWO.

2.复数z=a+Ai(a,Z?GR)的模记作区或|a+/?i|,即团=|“+如=声”.

3.复数z=a+历(a,/?GR)的共轲复数为z=a—bi,则z-z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=

~\lZ-Z,若ZCR,则2=2.

考点二复数的四则运算

1—i

例1(1)(2021•辽宁百校联盟质检)*石=()

A145.R15；

A+

-13131B13131

1,515

C--T3+I31D,13131

答案D

名卫士二而弋(1T)(2-3i)2-3-2i-3i15.

WT/T原式一(2+3i)(2-3i)―22+32—13131-

(2)(2021•全国乙卷)设iz=4+3i,则z=()

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

答案C

匕「4+3i(4+3i)(—i)—4i—3i2

斛析因为iz=4+3i,所以z=-：—=----~-------=-----—=3—41.

11(-1)—1

(3)(2021•全国乙卷)设2(z+z)+3(z—z)=4+6i,则z=()

A.l-2iB.l+2iC.l+iD.l-i

答案C

解析设z=a+"(a,4GR),则z=a—bi,代入2(z+z)+3(z—z)=4+6i,可得

4a+6/?i=4+6i,所以a=l,b=l,故z=l+i.

感悟提升(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子

分母同乘以分母的共机复数.

训练1(1)(2021•全国甲卷)已知(l—i)2z=3+2i,则z=()

3

1--3.

2

21

33

-+i-

22i

答案B

物加3+2i3+2i3i—2_,3.

解析z—(1-i)2--2i-2_1+21,

⑵(2021•新高考I卷)已知z=2T,则z(z+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析因为z=2—i,

所以z(z+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i.

(3)(多选)(2022•湛江一模)若复数z=4§—i,则()

A.|z|=2

B.|z|=4

C.z的共貌复数z=，5+i

D.?=4-2V3i

答案AC

解析依题意得|z|=N(仍)2+(-1)2=2,故A正确，B错误；

z=45+i,C正确；

z2=(小一i)2=3—2小i+i2=2—2小i,D错误.

考点三复数的几何意义_________________

例2(1)(2021•珠海一模)设i是虚数单位，复数zi=i2M,复数Z2=%g则ZI

+Z2在复平面上对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析因为复数ZI=i202l=i,Z214=—£3il^5=(T4—产3i)=45—3a，所以z|+z2=42+

4+31JJJ

|i,故Zl+Z2在复平面上对应的点为住I),在第一象限.

(2)(2021.衡水联考)已知复数z=a+(a—l)i(adR),则|z|的最小值为()

A1B应C近D1

答案B

解析因为z=tz+(a—l)i,所以团=1层+(“—I)2卜一^+》当,所

以|z|的最小值为乎.

2

(3)(多选)(2021.德州二模)已知复数zi==^q(i为虚数单位)，下列说法正确的是

()

A.zi对应的点在第三象限

B.zi的虚部为一1

C.zf=4

D.满足|z|=|zi|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上

答案AB

2

解析由题意，复数方=^^

-1十1

2(—1—i)

=_71；、-=-1—i,所以复数zi在复平面内对应的点是(一1,—

(—1+1)(—1—1)

1),位于第三象限，所以A正确；

复数zi的虚部为一1,所以B正确；

zt=(-1-i)4=[(-1-i)2]2=(2i)2=-4,所以C不正确;

由|Z||=M(-1)2+(—1)2=啦,得满足|z|=|zi|的复数Z对应的点在以原点为

圆心，爽为半径的圆上，所以D不正确.

感悟提升1.复数z=a+历(a,/?eR)一—一社应FZ(L,b)一—对应f走=(a,b).

2.由于复数、点、向量之间建立了——对应的关系，因此解题时可运用数形结合

的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

训练2(1)(2022.长沙一模)已知复数2=不，则复数z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析因为z=M=2=2,所以复数z在复平面内对应的

点为&一技在第四象限.

(2)若复数z=(2+ai)(a—i)在复平面内对应的点在第三象限，其中«GR,i为虚

数单位，则实数。的取值范围为()

A.(~V2,也)B.(一也，0)

C.(0,6)D.[0,6)

答案B

解析z=(2+ai)(a—i)=3a+(4—2)i在复平面内对应的点在第三象限，

解得一啦<a<0.

⑶如图，若向量OfZ对应的复数为z,则z+装4示的复数为()y1

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

答案D

44

解析由题图可得即所以

Z(l,-1),z=l-i,z+z7=l-i+1-—r1-=l-i+

4(1+i)

—1—i+—2-=1—i+2+2i=3+i.

(1-i)(1+i)

考点四复数与方程

例3已知x=-1+i是方程12+以+〃=0(〃，〃£R)的一1个根.

(1)求实数小b的值;

(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.

解(1)把x=-1+i代入方程/+办+6=0,得(一。+8)+(a-2)i=0,

—a+/?=0,|"a=2,

Ci解得L_C

ci—2—0,\h—2.

(2)由(1)知方程为f+2x+2=0.

设另一个根为X2,由根与系数的关系，

得-1+i+x2=-2,

•»X2——1—i.

把X2=—1—i代入方程/+2%+2=0,

则左边=(一1一。2+2(—l-i)+2=0=右边，

.*.%2=—1—i是方程的另一个根.

感悟提升(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没

有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功

能失去了，其他仍适用.

训练3在复数集内解方程Lr+i—l=0.

解因为a=l,b=—i,c=i—1,

所以/=(一评一4XlX(i—1)=3—4i.

92c

设(m+〃i)2=3—4i,贝J*

2mn——4,

m——2,

解得〃=7,M

所以3—4i的平方根为士(2-i),

“/的平方根”i±(2-i)

所以X=——b~\~

la2X1

i+2-ii-2+i

付XI=X=1,X2~W1+i,

即原方程的根为Xl=l,X2=-l+i.

|分层训练•巩固提升

[A级基础巩固

1.(2021•浙江卷)已知aGR,(l+ai)i=3+i(i为虚数单位),则“=()

A.-lB.lC.-3D.3

答案C

解析法一因为(l+ai)i=—a+i=3+i,所以一。=3,解得。=一3.

法二因为(l+ai)i=3+i,所以1+行=二3I^i=1—3i,所以a=-3.

1—i

2.(2021.岳阳一模)已知h=l+i(其中i为虚数单位)，则复数|z|=()

A.iB.-iC.lD.2

答案C

解析因为W'=l+i,所以z=|qW，故|z|==*=L

3.(2021.石家庄二模)在复平面内，复数2=居。为虚数单位)，则z对应的点的

坐标为()

A.(3,4)B.(-4,3)

呜T)D.(T—1)

答案D

5i5i(3+4i)3i—443.,43.

斛析因为z=—=(3_4i)(3+务)=丁=一5+,，所以z=-g—1，

所以复数z所对应的点的坐标为(一1,一|).

4.(2021-日照一模)复平面内表示复数z=i(a—i)(aV0)的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析z=i(a—i)=l+ai表示的点为(1,a),因为«<0,所以点(1,a)位于第四

象限.

5.(2021.南京三模)已知i为虚数单位，若复数z=g+坐i,则复数g的虚部为()

A「坐B坐CL坐D坐

答案A

6.设复数z满足|z—i|=|z+i|,i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为Z(x,y),

则下列结论一定正确的是()

A.x=lB.y=lCJC=OD.y=O

答案D

解析因为满足|z-i|=|z+i|的点Z为复平面内到点(0,-1)和(0,1)的距离相等

的点的集合，所以Z(x,y)的轨迹为x轴，其方程为y=0.

7.(多选X2021.重庆质检)已知i为虚数单位，复数z=^^,则以下说法正确的是

()

A.z在复平面内对应的点在第一象限

7

B.z的虚部是一§

C.|z|=3小

D.若复数zi满足|ZLZ|=1,则|zi|的最大值为1+华

答案AD

,...3+2i(3+2i)(2+i)4,7.乙〜工,,„

A斛T析Xr•z=不-r=-yr---=三十个,..z在复平面内对应的点u为

2—1(2—1)(2+1)55

41

5'5.在第一象限，故A正确;

7

z的虚部是不故B不正确;

故C不正确;

设zi=x+yi,x,yGR,则点(x,y)在以

为圆心，以1为半径的圆上，则(x,y)到(0,0)的距离的最大值为1+

=1+亭，即囱的最大值为1+隼，故D正确.

8.如果关于x的方程2/+3如+/—。=0至少有一个模等于1的根，那么实数a

的值()

A.不存在B.有一个

C.有三个D.有四个

答案C

解析(1)当根为实数时，将x=l代入原方程得屋+2a+2=0,无解；

将》=一1代入原方程得/—4a+2=0,解得。=2/,都符合要求；

(2)当根为虚数时，/=a(a+8)V0,

.".-8<a<0.

,,,,ra2—a

此时有X1X2=(X1)2=1=2，

即4—Q—2=0.

解得。=-1或。=2(舍去)，故。的值共有三个.

9,若复数(l—2i)m+i)是纯虚数，则实数a的值为.

答案一2

解析(1—2i)(〃+i)=〃+2+(l—2a)i,

由已知，得。+2=0,1—2aW0,

^a——2.

10.若复数Z=i+i2°22,则-z+in三的模等于.

答案6也

2022

解析z=i+i=i—1,z+¥=l+i+i^y=6+6i,其模为66.

11.设。是坐标原点，向量次，成对应的复数分别为2—3i,—3+2i.那么向量放

对应的复数是.

答案5-5i

解析•••向量次，为对应的复数分别为2—3i,-3+2i,

：.OA=(2,—3),OB=(~3,2),

：.BA=OA-OB^{5,-5),其对应的复数是5—5i.

12.若2-3i是方程N—4x+a=0(aCR)的一个根，则其另外一个根是,

a=.

答案2+3i13

解析设方程的另外一根为％,则x+2—3i=4,故x=2+3i,a=(2—3i)(2+3i)

=13.

|B级能力提升

13.(多选)(2022.福州一模)设z为复数，则下列命题中正确的是()

A.|Z|2=Z-Z

B.Z2=|Z|2

C.若|z|=L则|z+i|的最大值为2

D.若|z—1|=1,则0W|z|W2

答案ACD

解析对于A,设2=“+4(4,8WR),

贝!]z=a-Z?i,

.".|z|2=q2+扶,而z-z=a2+b2,

所以|Z|2=Z-Z成立；

对于B,z=a~\-bi(a,Z?GR),当均不为0时，z2=(a+Z?i)2=<a2—Z?2+2aZ?i,而

\z\2=a2+b2,所以z2=|zF不成立;

对于C,|z|=l可以看成以。(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点P,|z+i|可以看

成点尸到。(0,-1)的距离，所以当P(0,1)时，可取|z+i|的最大值2；

对于D,|z—1|=1可以看成以M(l,0)为圆心，1为半径的圆上的点N,贝悯表

示点N到原点的距离，故O,N重合时，|z|=0最小，当。，M,N三点共线时，

|z|=2最大，故0W|z|W2.故选ACD.

14.(多选)(2021.济南十一学校联考)欧拉公式e』cosx+isin式其中i为虚数单位,

xdR)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数,

建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被

誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是(