2022年高考理科数学复习考点：抛物线

考点42抛物线

【命题趋势】

抛物线也是高考的重点、难点，常出现在高考的选择题或填空题中，多考查抛物线的几何性

质，也常出现在高考中的解答题中，作为压轴题，多考查直线与抛物线的位置关系.

(1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

(2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

【重要考向】

一、抛物线的定义和标准方程

二、抛物线的简单几何性质及其应用

三、焦点弦问题

四、直线与抛物线的位置关系

1.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/(/不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

点F叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线，抛物线关于过焦点F与准线垂直的

直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴.

注意：直线/不经过点F,若/经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线/的一条直

线.

2.抛物线的标准方程

⑴顶点在坐标原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程为产2Px(p>0)；

⑵顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为y2=2px(p>0);

⑶顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py(p>0);

⑷顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为x"2py(p>0).

【巧学妙记】

,\\uwANaaNuAAAiAA$AA心ANAAANAAAAAAN

1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口

方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数P,只需一个

条件就可以确定抛物线的标准方程.

2.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：

根据条件确定抛物线的焦点在哪,

条坐标轴上及开口方向

根据条件列出关丁P的方程）

<福程｛解方程，粒P代人所设方程为所求）

若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，

般有两种标准方程.

例d

1.（2021•四川达州市•高三二模（理））已知点直线/：1=—：,动点P到点F与

到直线/的距离相等.

（1）求动点P的轨迹C的方程：

【答案】⑴/--X；

【分析】

（1）根据条件列等式，求轨迹方程；（2）首先观察一条切线时x=3,求点A的坐标，再

设另一条切线y-424（x-3）,利用直线与圆相切，求得点B的坐标，计算MNAB的

值.

【详解】

解：（1）设点P（x,y）,根据题意得：（JI,

2

化简得动点P的轨迹方程为v'；X

2.(2020■涟水县第一中学高二月考)求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过点M(-6,6)；

(2)焦点F在直线上3x-2y-6=0上.

【答案】⑴y2=-6x或x2=6y;(2)y2=8x或x2=-12y.

【分析】

⑴讨论抛物线开口方向，结合抛物线标准方程及过定点即可求抛物线方程.

⑵讨论抛物线焦点的位置，结合抛物线标准方程即可求抛物线方程.

【详解】

⑴抛物线过点M(£6),知：抛物线开口向上或向左，

令y2=-2px,贝卜2Px(-6)=36,p=3,即y2=-6x,

令x2=2py,贝！］2Px6=36,p=3,即x2=6y,

综上有：抛物线的标准方程为y2-6x或x2=6y.

(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=O上，

当焦点在x轴上时，则焦点(2,0),即有产区,

当焦点在y轴上时，则焦点(0,-3),即有x2=12y,

综上有：抛物线的标准方程为y2=8x或x2=12y.

3.(2021•全国高二)点M(53)到抛物线尸x2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方

程是()

A.।'I,B.i_L或一二「工

C.।J,，D.x2=12y或x2=-36y

【答案】D

【分析】

3

将丫=2*2转化为/■二J,分类讨论a>0和a<0两种情况，利用抛物线性质，列出关于

a的方程求解即可.

【详解】

将丫=2*2转化为X,二L丫，

a"

当a>0时，抛物线开口向上，准线方程)=_1_,点M(5,3)到准线的距离为3+1-=6.

Aa4/J

解得aN-L,所以抛物线方程为y=_!_/,即x2=12y

12'I?

当a<0时，抛物线开口向下，准线方程、=__L,点M(5,3)到准线的距离为3+」=6.

4/iI4〃

解得a.--L或a=-L(舍去)，所以抛物线方程为y.—Lf即x2=-36y

Ml)」在

所以抛物线的方程为x2=12y或x?=-36y

D

4

何对称性关于X轴对称关于X轴对称关于y轴对称关于y轴对称

性

焦点尸（-*。）

质呜.0）内崂

V2—^

准线方程X=­

9，5,7

顶点坐标原点（0,0

离心率e=l

2.抛物线的焦半径

抛物线上任意一点P（x°,y。）与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径.

根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：

抛物

线方y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

程

焦半

径公

式

【巧学妙记】

确定及应用抛物线性质的关键与技巧：

⑴关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线

方程化成标准方程.

（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面儿何的性质以图助解，

IAA1.

4.（2021•全国高考真题）抛物线产2Px（陷）的焦点到直线尸+1的距离为J2,则

5

p=（）

A.1B.2c,272D.4

【答案】B

【分析】

首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的值.

【详解】

抛物线的焦点坐标为例，

其到直线x-y+l=O的距离：，s2rz.

d=-j[=V2

Jl+I

解得：p=2（p=-6舍去）.

占姆：B.

5.（2021•重庆八中高三其他模拟）已知F是抛物线以x2的焦点，点Rxo,yo）在抛物线

上，且|用2则yo=

【答案】—

【分析】

本题可根据抛物线的定义得出结果.

【详解】

抛物线y=4x2即/=：j,焦点“0.5)

因为点Rxo,yo）在抛物线上且I阱2,

所以结合抛物线定义易知，V=21=—

°1616

故答物—

1A

6

6.（2021•安徽高三月考（理））已知抛物线产加小功的焦点F到准线的距离为2,

过焦点F的直线与抛物线交于AB两点，且;A中3|FBL则线段AB的中点到Ytt的

距离为__________

【答案】-

【分析】

根据题意得到P的值，过点A作AD垂直于准线/于点D,过点B作BE垂直于/于点E,

延长AB交1于点C,再利用三角形相似得到BC和AC的关系，从而得到BF,AF,CF

的关系，求出AD=4,即可得到答案。

【详解】

焦点F到准线的距离为p=2,

过点A作AD垂直于准线/于点D,过点B作BE垂直于1于点E,延长AB交1于点C,

则△BCES/SACD,

所以更

ACADAF3

记BC=x,则AC=3x,

因为|AFF3|FB|,

所以HFAHi.iAf-MiF-v

42，

况为b=8C+M=°X,F为AC的中点，

所以AD=2FG=4,所以":K4.

即1,BK-:

即线段AB的中点到y轴的距离为|4/>1*M

2a

故答案为：-

a

7

焦点弦问题

抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.

焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的

两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，A(X1,yx),B(X2,y2),

则

抛物线

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

IAB1=p-(X1+X2)

焦点弦AB|=p+(xi+x2)IAB|=p+(yi+y2)|AB|=p-(yi+y2)

公式

其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A,B两点的线段AB,称为抛物线的

通径.

对于抛物线y2=2px(p>0),由人(30))，弘，「小可得lAB|=2p,故抛物线的通

径长为2P.

【巧学妙记】

8

:直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(xi,yi),B(x2,y2)两点,

:如图:

/

:(I)yiy2=-p2,iv.£

[(2)ABI=x+x+p,Xi+xmXX2=p,即当x=x时，弦长最短为2P.

✓

✓

;(3)苏+矗为定吗

Z

；⑷弦长W用”为AB的倾斜角).

Z

；(5)以AB为直径的圆与准线相切.

；(6)焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°.

【典例】.

7.(2021•全国高三专髅东习)过抛物线yMx的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F

是线段AB的中点，则A|BR)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

依据题意可知线段AB为抛物线的通径可得结果.

【详解】

由题可知：线段AB为抛物线的通径

所以|AB|=4

搬：D

8.(2021•湖南益阳市•高三二模)已知抛物线C:『=4x的焦点为F,过F的直线/交抛物线于

A(xl,y:),B(xz,yJ两点，且A,B在其准线上的射影分别为Ai,B1,则下列结论正确的是()

A.若直线@x轴，则|AB|=2B.ti;

9

C.yi*yz=-4D.81f8二;

【答案】CD

【分析】

设出直线/的方程，联立直线/与抛物线C的方程组，消元得一元二次方程，根据各选项条

件经计算判断得解.

【详解】

抛物线C的焦点F(1,O),准线方程X=-1,

显然/不垂直于y轴，设/的方程为x=my+l,

f.r="八.1

由《、•得：/-4my-4=0,yi,yz是此方程的二根，

y"・4.r

选项A,直线几x轴，m=0,yi=2,yz2=-2,贝！JAB|=4,即选项A错误；

选项B,yryz=・4,则.K|,即选项B错误；

1•4416

选项C,yryz=-4,即选项C正确；

选项D,如图中，由抛物线的定义知，|AF|二|AiA|,QQAAiF=QAFAI,

同理可得，SM*MBIFOB-BSR).

,即选项D正确.

22

故选：CD

10

9.(2021•合肥市第六中学高三其他模拟(理))已知抛物线产2Px(pX))的焦点为F,

迸且储斗角为三的直线1与抛物线相交于AB两点，AB|=8,过AB两点分别作抛物

4

线的切线，交于点Q.下列说法不正确的是()

A.QA±QB

RAAOB(O为坐标原点)的面积为2J2

C丽♦同=2

D.若M(l,l)p是抛物线上一动点，则|PMH历的最小值为2

【答案】c

【分析】

设直线I的方程、A(x,y;)3(x2,y2),并与抛物线方程联立利用韦达定理和IAB|=8得

P,

再利用求导判断A;利用％=S31r叫,hl♦阳•闾)可判断B；

1188

由由♦丽.府丽-3)(号山可判断"过M作PW与N,利用

PM|+|PF|=|PM|+|PM|可判断D.

【详解】

由已知的焦点为卜|所以直线I的方程为丁=入一,

设A(xi,yi),B(X2,y2)(xx>0,x2>0),

直线方程与抛物线方程联立、='-2,整理得，/-3*+乙=0.

)'=2内

5

所以X+X2=3p,rX,=—1

,F4

由|AB|=x+x2+p=3p+p=8,得尸2,代入：dApt.'，l)得

11

Xi+x2=6,xix2=1,

所以y2=4x,开方可得y=24x或y=-24K(x>0),

可得A(x,yi)在y=2<K,因为y'=+,所以％=jr-

B(X2,y2)在y=-24x,因为y'--丁,所以人必=

x

隼以A1M•4.=--~-",QA_LQB,故A正确

J%也JVW

2

由|x-x|=|x-x|=«x+x2)-4x-x2=472,

♦$*•一$-♦”》［网仞•扣巾故B正确

因为={+§=%+1.|8尸|='.1

所以—处幽―!___________»-

|必\BF\WIMM(%WH+i)

88

=--------------二一=I,故c错误

x心♦%♦x,♦】8

ilyMxl得产i2,所以M在抛物线内部，抛物线的准线方程为bc=l,

过M作PN口与N,交抛物线与轴,所以|PNHPF],所以IPMHWPMHPN],

当MPN在一条直线上时IPMHPN]最小，此时IRWFHPMH小牛2

故D正确.

Sfcizt：C

12

直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线相交时，直线抛物线有一个或两个公共点.

(1)直线与抛物线有两个交点台相交.

当直线与抛物线只有一个公共点时.，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物

线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.

直线与抛物线没有交点O相离.

【巧学妙记】

在抛物线y2=2px(p>0)中，以M(xo,yo)为中点的弦所在直线的斜率

10.(2021•全国高三专题练习(理))若直线/:y=+1与抛物线C:y2=2px(p>0)只有

1个公共点，则抛物线c的准线方程为

［答案】X■——

2

【分

联立直线与抛物线方程，利用△=()求出P即可得出准线方程.

【详解】

IVi.3可得x-p-2,将工=一：.代入y~px,消去x可得y2-2py+3P=0,

'22

因为直线1与抛物线C只有1个公共点，

所以△=(-2p)2-12p=0,即p2-3p=0,解得p=0(舍去)或p=3,

13

所以抛物线c的准线方程为x・一±3

故答案为：X=~—

11.(2021•湖南高三月考)已知过点(0,-4)且倾斜角的余弦值为由的直线方程为

q

，若该直线与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点，则抛物线的准线方程为

【答案】y=2x-4y—1

【分析】

由倾斜角的余弦值求出其正切值，即直线的斜率，由题意求出直线的方程，将直线与抛物线

联立，由相切可得判别式为求出P的值，进而求出准线方程.

【详解】

解：由直线的倾斜角的余弦值为近可得直线的正切值为2,即直线的斜率为2,

又过(0,-4),所以直线的方程为：y=2x-4,

ys—4

,,整理可得：x2-4px+8p=0,

1X-=2/n-

由直线与抛物线相切，

所以B=0,即@=16p2-4X8p=0,解得p=2,

所以准线方程为：尸

?

故答案为：y=2x-4,y=~l.

12.(2021•全国高三专酶习(理))已知点AQ2),若直线/：V=、+:与抛物线

Cy2=2px(p>0)只有1个公共点，则抛物线C上的动点P到抛物线C的准线与点A的

距离之和的最小值为

【答案】2

2

【分析】

14

联立直线1与抛物线C的方程，由△=()可求得P的值，可得出抛物线C的方程，然后作出

图形，利用抛物线的定义结合三点共线可求得结果.

【详解】

3

联立.''*2>可得y2-2py+3P=0,

/=2/M

...pX),由△=4p2-12P=0,可得产3,所以，抛物线C的方程为丫2*\

抛飒的焦点为「(:.()],准线方程为x--如下图所示:

过点P作PE垂直于抛物线C的准线于点E,由抛物线的定义可得|用时

5

2

当且仅当A、P、F三点共线且P为线段AF与抛物线C的交点时，APHPE)取得最小

畤

故答案为：—

2

15

跟踪训练

一、单选题

1.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈九中高三其他模拟（文））已知点P是抛物线产爪上的动点，

过点P作直线x=-l的垂线，垂足为M,点A的坐标是则AP|+|PM|的最小值

是（）

A.2B,5C,-D.12

222

2.（2021•四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））抛物线C:产2pxW的焦点为

F,准线为1,点M在抛物线上.以M为圆心的圆M与准线1相切于点Q,Q的纵坐标为

由pR5,0）是圆M与x轴不同于F的另一个交点，则P的值为（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2021•四川成都市•石室中学高二期中）已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是该抛

物线上的两点，|AF刊BF|十则线段AB的中点至加轴的距离为（）

A.-B.1C.2D.1

12

4.（2021•重庆高三其他模拟）若双曲线［i''|的实轴的两个端点与抛

物线x2=-4by的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（）

A.B.d3C.2D,2d3

q

二、多选题

5.（2021-河北衡水中学高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x

的焦点为F,准线为I,过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点（其中A在B

的上方），过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA.OB」于点P,Q,

N.贝U()

16

A.|PM|=|NQ|

B.若P,Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2J2

C.若P,Q不是线段MN的三等分点，则一定有

D.若P,Q不是线段MN的三等分点，则一定有［NQMoql

6.（2021•普宁市普师高级中学高三其他模拟）在平面直角坐标系xQy中，抛物线产6x的

焦点为F,准线为IP为抛物线上一点，PALLA为垂足.若直线AF的斜率仁心，

则下列结论正确的是（）

A.准线方程为x=-3B.焦点坐标*

C.点P的坐标/；H,3赤）D.PF的长为3

7.（2021•山东高三其他榭为已知P为抛物线产4x上一动点，F为抛物线的焦点,

M（2,l）,直线1与抛物线交于点AJB,下列结论正确的是（）

A.|MP|+|PF|的最小值为4

B.若直线1过点F,则以AF为直径的圆与y轴相切

C.存在直线1,使得A,B两点关于直线x-y+l=O对称

D.设抛物线准线与x轴交点为Q,若直线1过点F,则有/AQF=NBQF

三、填空题

8.（2021•吉林松原市•高三月考）已知抛物线CxJy的焦点为F,抛物线C上一点A

17

满足版=3,则以点A为圆心，AF为半径的圆截x轴所得弦长为.

9.(2021•辽宁铁岭市•高三二模)抛物线Cy=4x的焦点为F,准线为是C上在

第一象限内的一点，点N在1上，已知MFUNFJMFE,则直线MN与y轴交点P

的坐标为___________

10.(2021-四川成都市­石室中学高三三模)已知直线经过抛物线产却x(1M)的焦点F

并交抛物线于AB两点，则IAF0,且在抛物线的准线上的一点。茜足CB=2BF,

则p=_____

四、解答题

11.(2021•河南洛阳市♦高三其他模拟(文))设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为E点P(4,

m)(m>0)是抛物线C上一点，且［PF1=5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若A,B为抛物线C上异于P的两点,且PABPB.记点A,B到直线y=-4的距离分别为a,

b,求证：ab为定值.

12.(2020-河北高三其他模拟(文))已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点

P(2,y0)在C上，且|PF|=4.

(1)求C的方程；

(2)过点P作两条直线L,Lz,分别交C于点A,B,若以线段AB为直径的圆过点P,

试讨论直线AB是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

^^真题再现

一、单选题

1.(2021•全国高考真题)抛物线产牛@>0)的焦点到直线尸+1的距离为J2,则

p=()

A.1B.2C,2也D.4

2.(2020•北京高考真题)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为1.P是抛物线上异于O

18

的一点，过P作PQ，I于Q,则线段FQ的垂直平分线（）.

A.经过点0B.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线OP

3.（2020•全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点

的距离为12,到y轴的距离为9,贝Up=（）

A.2B,3C.6D.9

二、填空题

4.（2021北京高考真题）已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点，

且F|M|=6,则M的横坐标是;作MN_Lx轴于N,则Swy=

5.（2021•全国高考真题）已知0为坐标原点，抛物线Cy^ZpxS>。）的焦点为F,

P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQJ_OP,若|FQ=6,则C的准

线方程为

三、解答题

6.（2021•浙江高考真题）如图，已知F是抛物线俨=2px3>0）的焦点，M是抛物线的

准线与x轴的交点，且MFR

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与A、B两点，斜率为2的直线/与直线AB,X轴

19

依次交于点P,Q,R,N,且R|NP=|PNi•|QN|,求直线/在x轴上截距的范围.

7.（2020•浙江高考真题）如图,已知椭圆C」+、抛物线C2：y2=2px（p>0）,

点A是椭圆G与抛物线Cz的交点，过点A的直线/交椭圆G于点B,交抛物线C2于M（B,

M不同于A）.

（四）若存在不过原点的直线/使M为线段AB的中点，求p的最大值,

:煤模拟检测

一、单选题

1.（2021•天津市南开区南大奥宇培训学校高三其他模拟）已知双曲线'---1（«.（）./,1）1

h'

与抛物线产4cx（其中VaW）交于AB两点，若iAB0c,则双曲线的离心率

为（）

A.43B.2c.45DJ2+1

2.（2021•黑龙江高三其他模拟（理））已知F是抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，直

线1与抛物线C相交于P,Q两点，满足二二，记线段PQ的中点A到抛物线C的

准线的距离为d,则「：的最大值为（）

/a

20

A.3B.43C.正D.1

a3

3.（2021•安徽师范大学附属中学高三其他模拟（理））已知双曲线的一条渐近线为尸2x,

且经过抛物线『的焦点，则双曲线的标准方程为（）.

A.=]B.y-丁5

C.D.4x2-y2=l

4

4.（2021•四川高三月考（理））设抛物线（2户2Px（庐0）的焦点为F,准线为1,

M（5,yo）为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线I相切，且过点E（9,O）,则抛

物线的方程为（）

A.y2=4xB.y2=2xc.y2=36xD.y2=4x或

y2=36x

5.（2021•云南民族大学附属中学高三月考（理））已知斜率为四的直线过抛物线

C:yMx的焦点F且与抛物线C相交于A3两点，过AB分别作该抛物线准线的

垂线，垂足分别为A31，=4,则k的值为（）

A3B.iC.2D,1

445，

二、多选题

6.（2021•河北衡水市•高三其他模拟）已知抛物线C沪mx（nl>0）的焦点为R4,0）,直

线1经过点F交C于A,B两点，交y轴于点P,若PB=2BF,则（）

A°c（8476]

A.m=8B.点B的坐标为j丁士—

21

C.\.\fi\、"D.弦AB的中点到y轴的距离为；

7.(2021•重庆八中高三其他模拟)已知抛物线Ciy=8x的焦点F与双曲线C2：

三一£=|的右焦点重合，且Ci与C2交于A,B两点，则下列说法正确的是()

2/

A.双曲线的离心率e=42

B.抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为V2

C.|AF|=6+3Y2

D.在抛物线上存在点P使得△PAB为直角三角形

8.(2021•辽宁高三其他模拟)己知平面上的线段1及点P,任取1上一点Q,称线段PQ长

度的最小值为点P到线段1的距离，记作d(P,I).已知线段L:x=-l(-2WyW2),

L2:x=l(-2<y<0),点P为平面上一点，且满足d(P,L)=d(P/2),若点P的轨迹为

曲

线C,A,B是第一象限内曲线C上两点，点F(1,O)且：.口〃Y丝，则()

A.曲线C关于x轴对称B.点A的坐标为(；，।

C.点B的坐标力["]D.AFAB的面积为—

',22)16

9.(2021•全国高三其他模拟)己知F为抛物线y*4x的焦点，点P在抛物线上，过点F

的直线1与抛物线交于BC两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.则下

列说法正确的是()

A.ZOMB的最大值为勺—

B.若点A(4,2),则P|A|+|PF|的最小值为5

C.无论过点F的直线1在什么位置，总有NOMB=NOMC

D.若点C在抛物线准线上的射影为D,则B、0、D三点共线

22

三、填空题

10.(2021•广东佛山市•石门中学高三其他模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线

为1,A,B是抛物线上的两个动点，且满足，/XFB=--设线段AB的中点M在1上的投影

为N,则的最大值是

11.(2021•山西太原市•太原五中高三二模(理))在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关

于x轴对称，顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是

12.(2021•北京高三其他模拟)已知双曲线，v-二|1的一个焦点与抛物线8x+y2=0的

m

焦点重合，则该双曲线的离心率为

13.(2021•江苏南通市•高三一模)已知抛物线C:v=-X?上的点M到焦点的距离为5,则

点M到y轴的距离为

14.(2021•江苏南通市•高三二模)已知F为抛物线y』2x的焦点，A(a,2),点P在抛物

线上且满足PF=PA,若这样的点P有且只有一个，则实数a的值为

四、解答题

15.(2021•山东烟台市•高三其他模拂已知抛物线CxnrMeO)的焦点F至慎械的

距离为1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过F的直线与抛物线C相交于A,B两点，在A,B处分别作C的切线，交点为P.

(i)证明：AB1FP;

(ii)若直线FP交C于M,N两点(M在线段FP上)，求四边形AMBN面积的最小值，

16.(2021•江苏南通市•高三其他模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线

y=a与y轴交于点M,与抛物线C交于点N.

⑴若u-2|ALV：/•、，求抛物线C的方程；

(2)若a=P(定值)，抛物线C上的两个动点E,G满足ENJ_GN,求证：直线EG过定

23

点.

17.(2021•浙江高二期末)已知抛物线x吆2py(y>0)，其焦点为E抛物线上有相异两

点A(x,%),B(X2,y2).

(1)若AF〃x轴，且经过点A的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程;

(2)若p=2,且|AF|+|BFF4,线段AB的中垂线交x轴于点C,求4ABC面积的最

大值

参考答案

跟踪训练

1.D

【分析】

设抛物线y2=2x的焦点为F,由抛物线的定义可得p.\i\|/平|+可得

|的+俨“卜|时+|a1+；,利用A、P、F三点共线时，lAWM取1小值可得

结果.

【详解】

如下图所示：

24

抛物线y2=2x的焦点为

M+|PM|=网+网NM=心+(0T『+|=y

当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，

因此，AP卅PMI的最小值为1

2

故选：D.

【点睛】

方法点睛：抛物线定义的两种应用：

(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的

距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从

而简化某些问题；

(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物

线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.

2.D

【分析】

,3

根据yw=yo=43p,求得X”=-P，从而结合抛物线定义求得MF|=|MQ|=2p,从

而求得=§+==£解得P的值.

【详解】

25

Byw=yo=^3p,

JX”「，结合抛物线定义知，

可町=幽=；/»+勺

作MN_LEF,则N为EF的中点,

Nrl=q(2p)-(d5n)=P：

n<

JOf--2/>-p5,故p=2

皿：D

3.C

【分析】

根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，利用抛物线的定义，列出方程，求出A,B的中点

横坐标，即可求出线段AB的中点到y轴的距离，

【详解】

因为F是抛物线y2Hx的焦点，

所以R1Q),准线方程x=l,

设A3,yi),B(X2,y2),

所以|AF+BF=X+1+X2+1=6,

所以XI+X2=4,

26

所以线段AB的中点横坐标为2,

所以线段AB的中点到y轴的距离为2.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：解题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的

距离.

4.C

【详解】

略

5.AB

【分析】

设直线方程为直线方程代入抛物线方程应用韦达定

y=k(x-l),A(Xi%),B(x2,y2),

理得

从而可表示出点坐标，然后求出点坐标，判断各选项，

Xt+x2,Xix2,MP,Q,N

【详解】

抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,O),准线l:x=T

设直线方程为

ABy=k(x-l),k>O,A(xj,yi),B(x2»2),

2

联立消去y得卜2x2-(2^2+4)x+k=0,A>0

y2=4.t

由韦达定理得：4

r,.i"1Ajx2=1,

k

♦卷・直线MN方程为y

对于A,①ORA共线，.ft-力，孙■处・电.■工■乂,同理k=上

BXw-Xp=xo-xy,即|MP|=|NQ|,故A正确;

27

对于B,若P,Q是线段MN的三等分点，则俨Q|-；

4

22

v,-v.=2v„-,yy2=k(xx-l)(x2-l)=k(xx2-xx-x2+l)=-4,

K

+力>'-4乂力■楞.16,二旧76・弋”,又k>o,解得:

k=242,故B正确；

对于c,由k2x2-(2k2+4)x+k2=0得、=-----..-.....

又色=吟已团

闻网二511+2-2>/?71-4(1♦乂)a(Vm.IxTPTT.J)

当k>2J射，00|>田，故选昔；

对于D,由图可知iNQg,而I。。•\\只要0<k<2,就有OQ|>1>|NQ|,故

D错.

故选：AB.

28

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线的焦点弦的性质，及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是

通过直线与抛物线联立结合韦达定理求出M点坐标，然后求出P.Q,N点坐标，再依次判

断选项，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题.

6.BC

【分析】

由抛物线方程判断AB,先求出A点坐标再求P点坐标，从而求出PF的长，进而可判断CD.

【详解】

由抛物线方程为产6孔

二焦点坐标广(g.o)准线方程为，A错B对

•.•直线AF的斜率为-V3,

...直线AF的方程为y/jK-：

“一;时，y=3^3,

VPA±1,A为垂足,

29

..•点用勺纵坐标海J3,可得期的坐标为|：.3万卜对;

根据抛物线的定义可知IPFH