浙江省绍兴市某中学2022-2023学年高一年级下册期中数学 含解析

2022学年高一第二学期期中教学质量调测试卷

数学试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题列出的四个备选项中只有一个

是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1.设z=6-2i,则复数z的虚部为（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】复数z的虚部为一2，

故选：A

2.若直线/不平行于平面a,且/aa,则下列说法正确的是（）

A.a内存在一条直线与/平行B.a内不存在与/平行的直线

C.a内所有直线与/异面D.a内所有直线与/相交

【答案】B

【解析】

【分析】根据线面位置关系逐一分析即可.

【详解】若a内存在一条直线与/平行，则由/za和线面平行判定定理可知/〃a,与已知矛盾，故a

内不存在直线与/平行，A错误，B正确；

记〃a=A,当a内直线。过点4,贝I"与a相交，C错误；

当a内直线6不过点A,则/与6异面，D错误.

故选：B

3.在△ABC中，已知8=2,3=45°,c=R，则角C为（）

A.60°B.30°或150C.60°或120°D,120°

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦定理可得sinC=32,得C=60°或120°,然后由边角关系，作出判断即可.

2

【详解】解：由正弦定理==M-nsinC=3,<2€(0,万)，；.©=60或

sin8sinCsin450sinC2

120,b<c,:.B<C,C=60或120均符合.

故选:C.

4.已知向量a=(2,3),1=(3,2)，则12a-回=()

A.V2B.2C.V17D.572

【答案】C

【解析】

【分析】求出2a-b=(l,4),求模即可.

【详解】；。=(2,3),,=(3,2),2。-6=(1,4),

•■•|2a-Z>|=Vl2+42=V17-

故选：C.

5.已知tan(a+1)=-2,则tan(a+?)=()

11

A.—B.-C.-3D.3

33

【答案】A

【解析】

7TTCTC(兀'

【分析】将a+一看成a+—+一，利用两角和的正切公式可求tana+；的值.

3124k3)

71\71

tana+——+tan-

(冗冗、l⑵4

【详解】tanla+y=tana+—+—

I124J.(兀、兀3

1-tana+—tan

I12j4

故选：A.

【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差

异去分析，处理次数差异的方法是升辱降暴法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处

理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

/v2sin—，冗42/、/、

6.已知函数/(力={2，则方程〃x)=log3(x+2)的根的个数是()

/(x-2),x>2

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数解析式，结合正弦型函数的性质，运用数形结合思想进行判断即可.

【详解】当2VxW4时，/(x)=/(x—2)=2sin^^i=—2sin当，

当4<x«6时，/(x)=/(x-2)=-2sin-=2sin,

当6c无<8时，/(%)=/(x-2)=2sin无(；之)=-2sin：,

根据函数的解析式特征，可知—2W/(x)<2,

由y=Iog3(x+2)<2=>—2<x<7,

所以函数丁=/(%),丁=1083(*+2)(—2<%《8)在同一直角坐标系内的图象如下图：

方程〃x)=log3(x+2)的根的个数就是>=/。),〉=1083(》+2)(—2<%48)这两个函数图象交点的

个数，通过图象可以判断只有8个交点，

故选：B

7.已知A民。为球0的球面上的三个点，0a为，ABC的外接圆，若。。的面积为4兀,

A8=8C=AC=OO,，则球。的表面积为()

A.6471B.48KC.36KD.32兀

【答案】A

【解析】

【分析】由己知可得等边.ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出。a的值，根据球的截面性质,

求出球的半径，即可得出结论.

【详解】设圆。I半径为小球的半径为R,依题意，

得左，=4肛:/=2,为等边三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2G，

:.OO]=AB=26根据球的截面性质。。11平面ABC,

OO,_LaA,R=QA=JocV+O.="4+/=4,

.••球0的表面积S=44代=64乃.

故选：A

【点睛】

本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

8.已知向量a#e,|e卜1,对任意的reR,恒有|a—便以a-e|,则()

A.a±eB.a±(a-e)

C.e1.(a-e)D.(a+e)1.(a—e)

【答案】C

【解析】

【分析】根据数量积的运算律求得a-e，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选

择.

【详解】由I”一招以a-e|可得问2—2s.e+『|e「N|a「—2a-e+|e「，

又问=1,令&至=/〃则上式等价于*一2皿+2加一120,对任意的，eR恒成立，

故八=4/7?—4(2加-1)40,解得(“2—1)240,解得加=1,即a-e=l；

对A：由。.0二1。0,故。_Lg不成立，A错误;

对B：=『一4・6=同~一1,不确定其结果，故a_L(a-e)不一定成立，B错误；

对C：e-(a-e)=a-e-l=Of故e_L(a-e),C正确；

对D：(a—e>(a+e)=k『—I,不确定其结果，故3+。)-/不一定成立，D错误.

故选：C.

二、多选题(本大题共4小题，每小题3分，共12分.每小题列出的四个备选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的或不选的得0分)

9.若复数z=l-i1为z的共辗复数，则以下正确的是()

A.z在复平面对应的点位于第二象限B.\z\=y/2

C.|z|2=z2D.三为纯虚数

z

【答案】BD

【解析】

【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共辄复数，复数模的运算公式，可判断各个选项.

【详解】对A,z=l-i,复数z在复平面内对应的点为(1,-1),••.复数z在复平面内对应的点位于第

二象限，故A错误；

对B,根据复数模的公式，忖邛+㈠了=母,故B正确；

22

对C,z=(l-i)=-2i,而目2=2,故C错误；

对D,5=l+i，—=—^1—=—=i,故D正确.

z1-i(l-i)(l+i)2

故选：BD.

10.设一ABC的内角C所对的边分别为a/,c,则下列结论正确的是()

A.若a>b,则sinA>sinB

B.若4+〃2</,则一A5C为钝角三角形

7T

C.若a=10,c=8,C=§,则符合条件的一ABC有两个

D.若acosA=AosB,则为等腰三角形或直角三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦定理、余弦定理逐一判断即可.

【详解】A：由正弦定理可知：。=b,因为”>8，所以sinA>sinB,因此本选项正确;

sinAsinB

22222

B：根据余弦定理由〃+/?<c^a+/?<a+b-2a/?cosC=>cosC<0，

TT

因为Ce（O,兀），所以有Ce（一,;r）,因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；

2

ac108..5A/3,

C：由正弦定理可知：sinAsinCsinA738

T

所以不存在这样的三角形，因此本选项不正确；

D：acosA-hcosB=>a-^+C———-b-+C———=>a4-bA+c2（a2+b2}-0

2bclac''

=>（a2—+h2—f2）=0=>«2—b2-0,^a2+h2-c2=0，

当/一廿=0时，可得a=b,此时该三角形是等腰三角形；

当/+〃一。2=0时，可得/+/=02,此时该三角形是直角三角形，

故选：ABD

7T

11.已知函数/（x）=2sin（2x—7+1则下列说法正确的是（）

77

A.3XGR,使/（尤+万）=一/（幻成立B./（%+-）的图象关于原点对称

6

C.若0<玉<々<於，则/（占）</（%2）D.对\7%,%2，王3有

faHfa）>/®）成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用特值可判断A,利用正弦型函数的对称性可判断B,利用正弦型函数的单调性可判断C,利

用正弦型函数的值域可判断D.

【详解】•.•函数/。）=25耳2%-0）+1,

f\x+7T)=-f(X),故A正确；

又/(W+x)=2sin2x+l,其图象关于点(0,1)对称，故B错误；

当^时，2x-(e,所以函数/(x)=2sin(2x-?)+l在(0,葛)上单调递增，故

C正确；

因为XGU,所以2x—geJ,?，故34sin(2x-巳]41,

[32」3133」2I3)

.•・/(X)€[6+1,3],又2(g+l)>3,即2/(X)mm>/(X)1mx，

njr

所以对VM,x2,%,e[—,—],有/(办)+f(x3)>f(x2)成立,故D正确.

故选：ACD.

12.已知四边形ABC。是边长为1的菱形，ZBAD=120°,动点P在菱形内部及边界上运动，设

AP=AAB+pAD,则下列说法正确的是()

A.APABe--,1

_2_

B.九+〃的最大值为2

C.APBDe[-l,l]

D.当九+2〃=工时，点p的轨迹长度是立

24

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据数量积的几何意义结合图形分析可判断A；由向量加法的平行四边形法则观察可判断B；取

特例可排除C；利用共线定理的推论判断点P的轨迹，然后由余弦定理求解可判断D.

【详解】根据数量积的几何意义可知，当点尸与B重合时，向量AP在钻的投影数量最大，当点P与点

。重合时，向量AP在AB的投影数量最小，

所以，APAD<APAB<AB2'即APABe--,1,A正确；

14.已知直线加和平面给出下列三个论断：①加〃。；②a〃/;③加＜=尸似其中的两个论断作

为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

【答案】若a〃廿,则a

【解析】

【分析】分三种情况判断：①②作条件，③作结论；①③作条件，②作结论；②③作条件，①作结论.只

要以上三个命题为真即可.

【详解】解：将①②作条件，③作结论：若加〃a,a〃/7,则mu〃.此命题为假命题（结论应为

mu。或m〃0）；

将①③作条件，②作结论：若加〃a,mu0,则a〃夕.此命题为假命题（结论应为a与4相交或

a〃口）：

将②③作条件，①作结论：若a〃力，mu/3，则加〃a.由两平面平行的性质定理可知此命题为真命

题.

故答案为：若c〃£,mu£，则加〃a.

15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约

为（）.618,这一数值也可以表示为m=2sinl8°.若w？+〃=4,则.？+«=.

sin117°

【答案】2拒

【解析】

【分析】根据”=2sinl8。，〃，+〃=4,求得〃=2cosl8。，代入加+«求解.

sin117°

【详解】因为加=2sinl8°,加2+〃=4，

所以〃=4一/7?=4-4sin218°=4cos218°，yfn=2cosl80»

ee.um+yfn2sinl80+2cosl8°

所以....-=-------------------,

sin117°sinll7°

=2何in笠=2后,

sin63°

故答案：2近

16.已知AA6C是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA-(P3+PC)的最小值为

【答案】-6.

【解析】

【详解】分析：可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题.

详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A((),2^),设尸(x,y),

PA(PB+PC)=PA-2PO=2(-x,2y/3-y)-(-x,-y)=2(/+/-2百y)

=2[f+(y-G)2—3]，

易知当x=0,y=时，PA(PB+PC)取得最小值—6.

故答案为一6.

点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数最值，本题通过建立平面直

角坐标系，把向量的数量积用点P的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义

也能求得最大值.

四、解答题(本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17已知k|=4M=3,(2a—3b)・(2a+b)=13.

(1)求a与b的夹角；

(2)若。在。方向上的投影向量为c,求+的值.

【答案】(1)60°

(2)10

【解析】

【分析】(1)根据数量积的运算和性质计算可得；

(2)先求投影向量c,然后利用数量积有关性质计算即可.

【小问1详解】

(2a-3b).(2a+/?)=13,

:.4\af-4a-b-3\b^=13,即64—4a力-27=13，

二卜,弓=60。.

【小问2详解】

c=|a|cos/a,0)rf=2/?

11''\b\3'

(a+〃)=§a・〃+§/?2=4+6=10.

7T

18.已知函数/(x)=sin(x+—).

(1)求函数/Ox)的最小正周期；

(2)当尤€[0,勺时，求y=F(xJ)+/(x+J)的取值范围.

266

【答案】(1)2(2)[―，^]

2

【解析】

【分析】(1)利用周期公式即可得到结果；

(2)利用恒等变换公式化简公式，借助正弦型函数的性质得到结果.

【小问1详解】

V/(%)=sin(x+y),

71

故函数/（乃X）的最小正周期为2；

【小问2详解】

丁=/(%一令+/(》+看)=5皿1+7)+5皿1+')

=-^-sin%+—cos%=V3sinf%+—1

22L3j

Vxe[0,-],：.x+-

2336

sine-,1,HP\/3sin^A：+^-^G[-^,>/3],

故y=〃x-a+f(x+a的取值范围是[曰,6]

19.如图，已知在长方体ABCO-4&GD中，DA=DC=1,AA=2,点E是。C的中点•

（1）求证：A。〃平面E6O；

（2）求三棱锥。一BDE的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

6

【解析】

【分析】（1）连接0E,利用中位线的性质得出A〃〃OE,再利用线面平行的判定定理可证得结论成

立；

（2）计算出利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】(1)因为四边形ABC。为矩形，且ACBD=O,则。为AC的中点,

又因为E为CR的中点，则OEHAD、,

ARe平面EBD，OEu平面EBD,因此，AD"/平面EBD；

(2)因为。CD=1,=2且E为CR的中点，

所以,S△m七=-SACDR=—CD-DDX=—，

在长方体ABCD一A4C。中，BC1平面CDDG,

因此，VD『BDE=%-£>"£■=qSWD'E,BC=—.

【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：

(1)通过面面平行得到线面平行；

(2)通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.

20.设一ABC的内角A,B,。所对的边分别为“，h,c.向量加=(a,用)与〃=(cosAsinB)平

行.

(1)若匕=6,a=2屈,求一ABC的面积；

(2)若4sinB—2sinC=遥，求角。的大小.

【答案】(I)12月；

(2)C=-.

4

【解析】

【分析】(1)利用向量共线的坐标表示列式，再用正弦定理求出角A,利用余弦定理、面积定理计算作

答.

(2)用角C表示角B,再利用差角的正弦公式化简计算作答.

【小问1详解】

因为向量诧=(4,屉)与〃=(cosA,sinfi),加〃〃，则asinB-屉cosA=0，

在一ABC中，由正弦定理得：sinAsinB-5/3sinBcosA=0>

而8e(0,万)，即sinB>0，则有sinA-辰osA=0，即tan>l=6，又4e(0,〃)，解得A=?，

当匕=6,〃=2万时，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即有c?-6c-16=0，而c>0,解

得c=8,

所以_ABC的面积S--£>csinA=—x6x8sin—=12y/3.

223

【小问2详解】

由(1)知，B=——C,由4siaB—2sinC=得：4sin(——C)—2sinC=V6,

则有4(^-cosC+—sinC)-2sinC=V6，即2>/§cosC=V6，整理得cosC=，而0<C，

2223

71

解得C=：,

4

71

所以c=；

4

21.在ABC中，。为BC的中点，。为AO的中点，过点。作一条直线分别交线段AB，AC于点

M,N.

A

BDC

71

(1)若M0=30N,AM=2,AN=\,ZMAN=-,求AO；

(2)求与_ABC面积之比最小值.

【答案】(1)叵

4

【解析】

13

【分析】(1)先根据题意求得AO=-AM+-AN,再结合数量积的运算律即可求解；

44

(2)先设4W=/LAB,4V=〃AC,44G[0,1],再根据题意求得AO=*AM+[\AN,再根据平

面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可.

【小问1详解】

依题意可得MO=A0—AM，N0=A0—AN，

又M0=30N,则M0=—3N0,

所以AO—AM=3(A。—AN),

13

所以A0=-AM+-AN,

44

112rl3Y12139219

所以AO=-AM+-AN^—AM+2x-x-AM-AN+—AN=上,

IIU4J16441616

故A0=①

4

【小问2详解】

设AM=AAB,AN=pAC,九〃e[0,1],

由。为BC的中点，。为AD的中点，

则A0=LA£>=LXUA8+AC)=LA5+LAC=，AM+-I-AN,

222['44424〃

又。，口N三点共线，则沙》1，

所以1=--1---22--------,即4〃N—,

424从丫弘444

&1AM-ANsinZBAC

AM-AN,、1

所以1*=]---------------=-------=Au>—,

S&ABCAB-ACsinZBACABAC4

2

当且仅当％=〃=g时，等号成立，即S/\AMN_J_

'/m)n4

22.如图，某城市有一条从正西方(MO)通过市中心。后转向东偏北60。方向(ON)的公路，为了缓解城

市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在O",ON上分别设置两个出口在A的东偏

北8的方向两点之间的高速公路可近似看成直线段)，由于之间相距较远，计划在之间

设置一个服务区产.

(1)若P在。的正北方向且OP=2km,求A8到市中心0的距离和最小时tan。的值;

(2)若8在市中心。的距离为10km,此时P在/的平分线与AB的交点位置，且满足

OP2+BP：>1\OPBP>求A到市中心。的最大距离.

【答案】⑴