4.1因式分解导学案北师大版八年级数学下册

第四章因式分解4.1因式分解学习目标：1.了解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.自主学习自主学习一、情境导入问题：99399能被100整除吗？想一想：99399还能被哪些整数整除?合作探究合作探究要点探究知识点一：全等三角形的判定和性质议一议你能尝试把a3a化成几个整式的乘积的形式吗?与同伴交流.做一做观察下面拼图过程，写出相应的关系式.问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？归纳总结：辩一辩判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：A.x(a﹣b)=ax﹣bx （）B.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2（）C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1) （）D.ax+by+c=x(a+b)+c（）E.2a3b=a2•2ab （）F.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9（）总结：做一做计算下列各式： 根据左边的算式进行因式分解：(1)3x(x1)= (1)3x23x=()()(2)m(a+b1)= (2)ma+mbm=()()(3)(m+4)(m4)=___ (3)m216=()()(4)(y3)2=_____ (4)y26y+9=()()知识点二：因式分解与整式乘法的关系想一想：由a(a+1)(a1)得到a3a的变形是什么运算?由a3a得到a(a+1)(a1)的变形与它有什么不同?想一想：因式分解与整式乘法有什么关系?典例精析：例若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.练一练：下列多项式中，分解因式的结果为(x+y)(xy)的是（）A．x2y2 B．x2+y2 C．x2+y2 D．x2﹣y2二、课堂小结当堂检测当堂检测1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是()A.a(a+b1)=a2+aba B.a2a2=a(a1)2C.4a2+9b2=(2a+3b)(2a+3b)D.2x+1=x(2+eq\f(1,x))2.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为．3.20242+2024能被2025整除吗?4.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(x1)，求mn的值.5.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，求a+b的值.参考答案创设情境，导入新知问题：99399能被100整除吗？想一想：99399还能被哪些整数整除?还能被98，99,49等正整数整除.答案不唯一，只要合理就应给予肯定.小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质议一议你能尝试把a3a化成几个整式的乘积的形式吗?与同伴交流.提示：类比99399的因数分解a3a=a(a21)=a(a+1)(a1)做一做观察下面拼图过程，写出相应的关系式.问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？归纳总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：（×）A.x(a﹣b)=ax﹣bx （×）B.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2（√）C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1) （×）D.ax+by+c=x(a+b)+c（×）E.2a3b=a2•2ab （×）F.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9计算下列各式：(1)3x(x1)=3x23x(2)m(a+b1)=ma+mbm(3)(m+4)(m4)=____m216(4)(y3)2=_____y26y+9根据左边的算式进行因式分解：(1)3x23x=(3x)(x1)(2)ma+mbm=(m)(a+b1)(3)m216=(m+4)(m4)(4)y26y+9=(y3)(y3)或(y3)2想一想：由a(a+1)(a1)得到a3a的变形是什么运算?由a3a得到a(a+1)(a1)的变形与它有什么不同?答：由a(a+1)(a1)得到a3a的变形是整式乘法，由a3a得到a(a+1)(a1)的变形与上面的变形互为逆过程.想一想：因式分解与整式乘法有什么关系?是互为相反的变形，即x21=(x+1)(x1)因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.典例精析：例若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.解：∵x2+ax+b=a(x2)(x+3)=ax2+ax6a，∴a=1，b=6a=﹣6.方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.练一练下列多项式中，分解因式的结果为(x+y)(xy)的是（B）A．x2y2 B．x2+y2 C．x2+y2 D．x2﹣y2课堂小结：当堂检测1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是(C)A.a(a+b1)=a2+aba B.a2a2=a(a1)2C.4a2+9b2=(2a+3b)(2a+3b)D.2x+1=x(2+eq\f(1,x))2.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为eq\f(5,2)．3.20242+2024能被2025整除吗?解：∵20242+2024=2024(2024+1)=2024×2025，∴20242+2024能被2025整除.4.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(x1)，求mn的值.解：∵x4+mx3+nx16的最高次数是4，∴可设x4+mx3+nx16=(x1)(x2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx16=x4+(a3)x3+(b3a+2)x2+(2a3b)x+2b比较系数得2b=16，b3a+2=0，a3=m，2a3b=n，解得a=2，b=8，m=5，n=20.∴mn=5×20=100．5.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看