(1)菱形的性质课件人教版数学八年级下册

第十八章平行四边形§

菱形情境导入探究新知当堂训练典例精讲知识归纳§18.2.2(1)

菱形的判定情境导入温故知新菱形的判定欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？菱形的性质01菱形的面积02知识要点精讲精练新知探究知识点一菱形的性质平行四边形矩形

前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角【思考】如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?

平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.新知探究知识点一菱形的性质【活动】在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图),并回答以下问题：【猜想1】菱形的四条边都相等.

【猜想2】菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

【问题1】菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.是,两条对角线所在直线都是它的对称轴.【问题2】根据上面折叠过程,猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?已知：如图,在平行四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.

求证：(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.

新知探究知识点一菱形的性质证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC.∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.ABCOD(2)∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD.∴AO⊥BD,AO平分∠BAD.即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC.同理可证：∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.要点归纳知识点一菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.

角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质典例精讲知识点一菱形的性质【例1-1】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=12cm,AC=6cm，求菱形的周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=0.5AC,BO=0.5BD.∵AC=6cm,BD=12cm，∴AO=3cm,BO=6cm.在Rt△ABO中,由勾股定理得∴菱形的周长=4AB=4×3=12(cm)．BADOC典例精讲知识点一菱形的性质【例1-2】如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证：AE=AF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠AEC=∠AFC=90º.

∵AC=AC,∴△ACE≌△ACF.∴AE=AF.【归纳】菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分一组对角.典例精讲知识点一菱形的性质【例1-3】如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC,AD=BA,∠ABC=∠ADC=2∠ADB.∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.基础训练知识点一菱形的性质1.如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60º,AB=5,则△ABD的周长是(

)A.10B.12C.15D.202.如图,菱形ABCD的周长为48cm,对角线AC、BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长为_____.C6cmABDCBOEDAC菱形的性质01菱形的面积02知识要点精讲精练新知探究知识点二菱形的面积【问题1】菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?ABCD【思考】前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E新知探究知识点二菱形的面积【问题2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么发现？菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半典例精讲知识点二菱形的面积【例2-1】如图,在菱形ABCD中,点O为对角线AC与BD的交点,且在△AOB中,OA=5,OB=12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在Rt△AOB中,OA=5,OB=12,∴S△AOB=

OA·OB=

×5×12＝30，∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120.∵∵菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD=AB·h=13h，∴13h=120,得h=

.ABCDO【归纳】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．典例精讲知识点二菱形的面积【例2-2】如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60º,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到0.01m和0.1m2).A

B

C

D

O

解：∵花坛ABCD是菱形，基础训练知识点二菱形的面积如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1：2,周长是8cm.

求：(1)两条对角线的长度；(2)菱形的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC,AC⊥BD,AD∥BC.∴∠ABC+∠BAD=180º.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1:2.∴∠ABC=×180º=60º.∴∠ABO=0.5×∠ABC=30º,△ABC是等边三角形.∵菱形ABCD的周长是8cm.∴AB=2cm.BODAC∴OA=0.5AB=1cm,AC=AB=2cm，∴BD=2OB=cm；(2)S菱形ABCD=0.5AC•BD

=0.5×2×

=

(cm2).【归纳】菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.知识梳理课堂小结菱形的判定菱形的性质菱形的性质有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角查漏补缺当堂训练菱形的判定1.根据下图填一填：(1)已知菱形ABCD的周长是12cm,那么它的边长是____.(2)在菱形ABCD中,∠ABC=120º,则∠BAC=____.(3)菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的边长是_____.(4)菱形的一个内角为120º,平分这个内角的对角线长为11cm,菱形的周长为______.(5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2,那么菱形最短的那条对角线长为_____.ABCOD3cm30º5cm44cm8cm2查漏补缺当堂训练菱形的判定2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(

)

A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直

D.对角线相等3.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABD的周长等于_____.

4.如图,已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm,则这个菱形的高DE为(

)A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cm

C16ABCODBDABCE查漏补缺当堂训练菱形的判定解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE5.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求：(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.查漏补缺当堂训练菱形的判定

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．∵CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE6.如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证：∠AFD=∠CBE.查漏补缺当堂训练菱形的判定7.如图,O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点,CD=5cm,OD=3cm；过点C作CE∥DB,过点B作BE∥AC,