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第十九章四边形19.3矩形、菱形、正方形第2课时1.通过菱形的判定过程,掌握菱形的判定定理2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算一、学习目标复习引入二、新课导入菱形的定义是什么?性质有哪些?一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.平行四边形菱形1.四条边都相等2.对角线互相垂直菱形的性质(一)用定义判定菱形数学语言思考:还有其他的判定方法吗?三、概念剖析ABCD根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.判定四边形为菱形的方法:定理1:四边都相等的四边形是菱形.已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证:四边形ABCD是菱形.三、概念剖析(二)菱形的判定定理证明:∵AB=BC=CD=AD,∴AB=CD,BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.ABCD已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证:四边形
ABCD是菱形.三、概念剖析证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).(二)菱形的判定定理ABCOD判定四边形为菱形的方法:定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.例1.如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AO=4,BO=3.求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵OA=4,OB=3,AB=5,∴AB²=OA²+OB²,∴△AOB是直角三角形,即AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.四、典型例题ABCDO点拨:首先由勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形,从而得到AC⊥BD,然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定即可.总结:菱形的判定定理:定理1:四边都相等的四边形是菱形.四、典型例题定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.1.判断下列说法是否正确:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.√【当堂检测】分析:(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.×2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm,那么平行四边形的面积是
.【当堂检测】312cm²分析:根据勾股定理的逆定理证明两条对角线垂直,然后根据对角线互相垂直的平行四边形判定菱形,根据菱形的面积=对角线乘积的一半计算即可.例2.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC且2DE=BC.又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,又∵F是DE延长线上的点,即EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形.∵EF=BE,∴四边形BCFE是菱形.四、典型例题点拨:首先根据中位线定理及线段关系证明四边形BCEF是平行四边形,然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.(2)解:∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等边三角形,∴BC=CE=4,四、典型例题∴BC边上的高为∴菱形BCEF的面积为点拨:首先根据已知条件得到△EBC是等边三角形,然后由勾股定理求得菱形的高,根据菱形的面积公式求解.小结:判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择方法.如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以先尝试证出这个四边形是平行四边形.四、典型例题菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.3.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是()A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°B【当堂检测】分析:∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,∴AC∥DE,AC=DE,∴四边形ABED为平行四边形.当AC=BC时,平行四边形ACED是菱形.分析:求平行四边形ABCD的周长可先证明平行四边形ABCD是菱形.解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠DAC=∠ACB,又∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,∴∠ACB=∠BAC,AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形,∴四边形ABCD的周长=4×2=8.【当
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