二次函数的应用第2课时抛物线型问题课件北师大版数学九年级下册

2.4二次函数的应用第2课时抛物线型问题九年级下

北师版1.会建立二次函数的模型，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数图象与性质解决拱桥及运动中的有关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．学习目标难点重点生活中我们可以看到很多抛物线形的物体，比如拱桥、喷泉、隧道等.新课引入将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？一

利用二次函数解决实物抛物线形问题例1如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？新知学习二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.怎样建立平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式更简单？Oy=ax2+bxy=ax2+bxy=ax2y=ax2+c(2,2)(4,0)O(-2,-2)(2,-2)O(-2,2)(-4,0)O(-2,0)(2,0)(0,2)怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系y=ax2O(-2,-2)(2,-2)解：以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图).设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3.当

y=-3时，-x2=-3,解得

x1=，x2=-(舍去).这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2.由抛物线经过点(

2,-2

)，可得-2＝a×22，a＝-所以当水面下降

1m

时，水面宽度为

m.水面下降

1m，水面宽度增加

m.O(-2,-2)(2,-2)归纳解决拱桥问题的一般步骤：(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.针对训练1.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形

OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝-

x2+2x+c表示．（1）请写出该抛物线的函数关系式；解：（1）根据题意得C（0，4），把C（0，4），代入y＝﹣x2+2x+c得c＝4，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4.（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？∴这辆货车能安全通过.（2）抛物线解析式为y＝

x2+2x+4

＝

(x﹣6)2+10，∴对称轴为x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)，当x＝2或

x＝10时，y＝>6，2.

如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD的距离为h米.则D（5，-h），B（10，-h-3），

∴抛物线的解析式为y=解得（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？（2）由题意，得船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，水位上升的高度为：0.25×7=1.75米.当h=-4＋1.75=-2.25米时，∴-2.25=

,∴x=±7.5，-7.5不符合题意，（舍去），∴2x=15>10.∴水面宽是15米，它能安全通过此桥.二

利用二次函数解决运动中抛物线型问题可以借助函数图象解决这个问题．画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象(如图)．t/sh/mO1234562040h=30t-5t2可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．因此，当t＝

时，h有最大值

也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m.一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax²+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax²+bx+c有最小（大）值我们再来解决一些实际问题吧例2如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点,其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米.(1)当h=2.6时,求y与x的函数解析式.分析：利用h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,将点(0,2)代入解析式求出即可.解：∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出,∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0,2)，

∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a=-,故y与x的函数解析式为y=-(x-6)2+2.6.(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.分析：利用当x=9时,y=-(x-6)2+2.6=2.45,当y=0时,-(x-6)2+2.6=0,分别得出结果.所以球能过球网;

故会出界.解：当x=9时,y=-(x-6)2+2.6=2.45>2.43,当y=0时,-(x-6)2+2.6=0,解得:x1=6+2>18,x2=6-2(舍去),(3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少?分析：根据当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),以及当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43),抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2)时分别得出h的取值范围,即可得出答案.(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43),抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),代入解析式得代入解析式得此时二次函数解析式为y=-(x-6)2+,此时球若不出边界，则h≥

；故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是:h≥.此时球要过网，则h≥,1.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．(1)求这个二次函数的解析式；解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3，把（0，0.6）代入得0.6=a（0-4）2+3，解得针对训练(2)该同学把铅球推出去多远？解：当y=0时，解得（舍去）.答：该男同学把铅球推出去(4+2)m远．2.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．∵与x轴交于点A(60,0)，解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣h)2+k，根据题意得：抛物线的顶点坐标为(15,45)，∴y＝a(x-15)2+45，∴0＝a(60-15)2+45，∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．解得：a＝-∴解析式为

y＝-

(x﹣15)2+45，令x