确定二次函数的表达式课件北师大版数学九年级下册

2.3确定二次函数的表达式第二章二次函数

2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？待定系数法(1)设：表达式(2)代：坐标代入(3)解：方程(组)(4)还原：写出解析式2

个待定系数，需要

2

个点坐标1

个待定系数，需要1个点坐标想一想

二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？二次函数

y＝ax2＋bx

y＝ax2

y＝ax2＋c

y＝ax2＋bx＋cy

=

a(x

-

h)2

+

k顶点坐标+另一点坐标两个点坐标两个点坐标一个点坐标三个点坐标一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4，3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗?1顶点法求二次函数的表达式合作探究分析：观察图象，已知顶点坐标为(4，3)，则设抛物线为顶点式

y

=

a(x

-

h)2

+

k

.再在图象找一点坐标(10，0).1.设：表达式2.代：坐标代入3.解：方程4.还原：写出表达式解：设这个二次函数的表达式是

y

=

a(x

-

h)2

+

k，把顶点

(4，3)代入

y

=

a(x

-

h)2

+

k

得y

=

a(x

-4)2

+3，再把点

(10，0)代入上式得a(10-4)2

+3=

0，

1.

一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为

y

=

a(x

-

8)2

+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得

1=

a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函数的表达式是针对训练∴

例1已知二次函数

y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．

解：∵该图象经过点(2，3)和(－1，－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.a=2，c=－5.解得{关于

y轴对称{特殊条件的二次函数的表达式2

2.已知二次函数

y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解：∵该图象经过点(-2，8)和(-1，5)，图象经过原点8=4a

-

2b，5=a

-

b.∴

解得∴y=-x2

-

6x.{{a=-1，b=-6.针对训练做一做已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(-2，13)，求这个二次函数的表达式.解：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，因此，可以设函数表达式为

y

=

ax2

+bx

+1.∵该图象经过点

(2，5)

和

(-2，13)，13=4a-

2b+1.5=4a+

2b+

1，a=2，解得b=-2，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－2x+1.想一想在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式?二次函数y=ax2+bx+c

可化成：y

=

a(x

-

h)2

+

k，顶点是(h，k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.已知二次函数

y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.3已知二次函数y=ax2+bx+c图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗?一般式法求二次函数的表达式例2已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7)

三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．

合作探究1.设：一般式2.代：坐标代入3.解：方程(组)解：设这个二次函数的表达式是y

=

ax2

+

bx

+

c，把

(－1，10)，(1，4)，(2，7)代入y

=

ax2

+

bx

+

c

得a=2，c=5.解得b=-3，10=a

-

b

+

c，7=4a+2b+c.4=a+b+c，∴二次函数图像对称轴为直线，顶点坐标为

.∴所求二次函数表达式为

4.还原：写出解析式小聪探究发现运动距离

y

与随运动时间

t

之间成二次函数关系.链接中考1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在

A

处开始减速，此时红球在黑球前面70cm.小聪测量黑球减速后的运动距离

y(单位：cm)随运动时间

t

(单位：s)变化的数据，整理得下表.A运动时间

t/s01234运动距离

y/cm09.751927.7536运动时间

t/s01234运动距离

y/cm09.751927.7536求

y

关于

t

的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).

解：设所求二次函数的解析式为

y

=

at2

+

bt+

c.将(0，0

)，(2，19)，(4，36)三点代入解析式中，得注意：取点取整数点.故所求二次函数解析式为

求二次函数

y

=

x2

+2x

-3的图象与

x

轴的交点坐标？

x2

+2x

-3=0(x

-

1)(x

+3)=0x1

=

1，x2

=-3

y

=

x2

+2x

-3

y

=(x

-

1)(x

+3)因式分解因式分解令

y=0xyOx1x2··4交点法求二次函数的表达式

y

=

ax2

+

bx

+

c

(a≠0)因式分解

y

=

a(x

-

x1)(x

-

x2)交点式图象与

x

轴的两个交点例2

选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.

xyO12-1-2-3-4-2-41xyO12-1-2-3-4-2-41分析：(-3，0)，(-1，0)是抛物线

y=ax2

+

bx

+

c

与

x

轴的交点.1.设：交点式设这个抛物线表达式为

y=a(x

+

3)(x

+

1).2.代：坐标代入再把点(0，-3)代入上式得∴

a(0

+

3)(0

+

1)

=

-3，3.解：方程(组)解得

a

=

-1.4.还原：写出表达式∴

二次函数的表达式是

y

=

-(x+3)(x+1)，即

y

=

-x2-4x-3.2.分别求出满足下列条件的二次函数的表达式．

图象经过点

A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线

x

=

2.解：∵图象经过点

A(1，0)，对称轴是直线

x

=

2，∴图象经过另一点(3，0).故可设该二次函数的表达式为y=a(x−

1)(x−

3).将点(0，−3)代入，得−3=a(0−1)(0−3)，解得a=−1.∴该二次函数的表达式为

y=−(x−

1)(x−

3)=−x2+4x−

3.练一练5知识点5(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式例3

一个二次函数的图象经过点

A(0，1)，B(1，2)，

C(2，1)，求这个二次函数的解析式.分析：A(0，1)，C(2，1)两点纵坐标相同，为

1，∴这个二次函数可以看作与

x

轴交于(0，0)，(2，0)两点的二次函数y

=

a(x-0)(x-2)，向上平移

1

个单位得

y

=

a(x-0)(x-2)+1.xyO45213-123141.设：解析式设这个抛物线解析式为

y

=

a(x

-

0)(x

-

2)+1.2.代：坐标代入再把点(1，2)代入上式得∴

a(1

-

0)(1

-

2)+1

=

2，3.解：方程(组)解得

a

=

-1.4.还原：写出解析式∴

二次函数的解析式是

y

=

-x(x

-

3)+1，

即

y

=

-x2

+

3x

+

1.还有其他的方法吗？

将

A(0，1)代入解析式中，得解得

a=-1.顶点式方法∴

二次函数的解析式是

y

=

-x2

+

3x

+

1.xyO45213-12314ABC设抛物线为

y

=

a(x

-

1)2

+21

=

a(0

-

1)2

+2则顶点为

B(1，2).归纳总结合适的函数解析式坐标代入写出解析式解含参方程组求二次函数解析式的方法：思维轴1设2代3解已知条件4还原②已知三点坐标①已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与

x轴的两个交点已知条件选择适当的方法用一般式法：y

=

ax2+bx+c用顶点法：y

=

a(x

-

h)2

+k用交点法：y

=

a(x

-x1)(x

-x2)(x1，x2为与x轴交点的横坐标)待定系数法求二次函数解析式④已知抛物线上纵坐标相同的两点顶点法或交点法平移纵坐标1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是