2024高中数学教学论文-怎样避免犯导数学习中常见错误-苏教版选修2-2

2024高中数学教学论文-怎样避免犯导数学习中常见错误-苏教版选修2-2怎样避免犯导数学习中的常见错误一、误认为导数为零的点一定是极值点例1．函数在处有极值，求,b的值．错解由题意得，且，即，解得或．分析：是可导函数在处有极值的必要条件而非充分条件．只有加之附近导数的符号相反，才能判定在处取得极值，因此上述解法在解出,的值后，还应检验和分别在附近导数符号的变化情况．经检验只有,符合条件．二、误认为极值只能在导数为零的点处取得例2．求函数的极值．错解：由于，于是令，得当时，；当时，．所以当时，函数有极大值．分析：在确定极值时，只讨论满足的点附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值．在上述解法中，显然忽视了讨论和处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象．正确的结果还应包括在和处函数取到极小值0．三、判断单调性时忽视特殊情况例3．已知函数在上是减函数，求实数的取值范围．错解：因为在上是减函数，所以在上恒成立，即△解得，所以的取值范围为．分析：恒成立的充要条件并不是在上是减函数．事实上，当时，，则：当时，；当时，．而函数在处连续，因此在上是减函数．同理可知当时，在上是减函数，所以的取值范围为．四、误用求导法则例4．的导数是_______．错解：．分析：应分情况求导．（）当时，；（）当时，．故例5．求的导数．错解：设，，则正解：设，，，则五、求曲线的切线方程时审题不细例6．求曲线过原点的切线方程．错解：，设切线的斜率为，则，所以所求曲线切线方程为．分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切线，此点并不一定是切点．正解：，设切线的斜率为．（）当切点是原点时，，所以所求曲线的切线方程为．（）当切点不是原点时，设切点是，则有，①，又②，由①、②得，，故所求曲线的切线方程为．例7．考察在点处的切线．错解：，显然在处的导数不存在，所以曲线在该点处没有切线．分析：处的导数不存在，这说明曲线在点处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为，所以在点处的切线方程为．怎样判断和证明有关充要条件问题判断充要条件常用下面三种方法：1．定义法：通过定义借助于推出方向判断．2．等价法：利用原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价来判断；对于条件或结论是不等关系的命题，一般运用等价法．3．利用集合间的包含关系判断，若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件．例1．（1）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（）．A．甲：>；乙：<B．甲：<；乙：<C．甲：；乙：D．甲：；乙：（2）<的一个必要不充分条件是（）．A．<<B．<<C．<<D．<<（3）设命题甲：<<；命题乙：<．则命题甲是命题乙的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（4）设抛物线及直线，的顶点坐标为，则“<”是“与有两个公共点”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（5）若，则“>3”是“方程表示双曲线”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：（1）D．命题A、C不是充分条件；命题B是充要条件．（2）A．利用集合间的包含关系判断．（3）A．利用集合间的包含关系判断．（4）A．由<知顶点与坐标原点在同侧，且开口向上，故与有两个公共点．（5）A．“方程表示双曲线”等价于>，等价于>或<．例2．（1）已知，为任意平面向量，有下列命题：①；②；③，其中可作为的必要不充分条件的命题是（）．A．①②B．②③C．①②③D．①（2）已知,,为非零的平面向量，甲：；乙：，则（）．A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：（1）C．由能推出①②③，反之不行．（2）B．由甲推不出乙，因为数量积运算不满足消去律．例3．（1）在中，“>”是“>”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）如果，是实数，那么“”是的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：（1）B．注意“在中”这个条件，否则是既不充分也不必要条件．（2）D．可举反例．例4．（1）关于的方程的两根同号的充要条件是（）．A．或≥B．C．≤或<≤1D．≤≤1（2）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：（1）C．判别式大于等于0且两根之积大于0．（2）A．由知“为等差数列”；反之不成立．例5．（1）已知：>3，：≥0，试判断是的什么条件．（2）已知是的充分条件，而是的必要条件，同时又是的充分条件，是的必要条件，试判断①是的什么条件；②是的什么条件；③其中有哪几对条件互为充要条件？解析：（1）：≤≤1；：≤≤1，从而可判定是的充分不必要条件．（2），，，，∴．①由知：是的必要条件；②由知：是的充分条件；③其中与，与，与三对互为充要条件．例6．已知，，均为正数，求证：的充要条件是．证明：充分性：若，显然成立．必要性：若，即，则，因为，所以．故的充要条件是．例7．求方程与有一个公共根的充要条件．解析：所以两方程与有一个公共根的充要条件是．例8．已知≤0，<(>0)，若是的充分不必要条件，求的范围．．解析：设={≤0}={≤≤5}，<<，因为是的充分不必要条件，从而有，故,解得>4．怎样培养学生在数学教学中的创新能力

创新能力是在前人发现或发明基础上,通过自身的努力,创造性地提出新的发现、发明和新的改进、革新方案的能力。创新能力由多种能力构成,它们包括学习能力、分析能力、综合能力、想象能力、批判能力、创造能力以及整合多种能力的能力。

创新人才的培养,需要自由、宽松的探究问题的环境,教师平等、开放、诚实的态度,对于增强学生的自信心,形成激烈思考,勇于创新,不怕出错露短的氛围,大有好处。

下面就数学教学中学生创新能力的培养谈一点看法:

一、发挥知识的智力因素,鼓励学生创新思维

恩格斯说:“人的思维是宇宙间最美丽的花朵。”

科学

知识是人类智慧的结晶,是人们长期探索、研究的成果。

邓小平指出:“要尊重知识,尊重人才”。科学知识的创新充满勇于进取的人文精神,记载着人类发明、创造的光辉

历史

,凝聚着人类思索与奋斗的成功经验。它既有巧夺天工的构思,传承着人类的聪明与机智,又深刻地反映了人们对社会和

自然

规律

的认识,闪耀着真理的光芒。总之,知识蕴藏着丰富的智力因素,是我们知识

经济

时代的财富,也是人类社会

发展

不可或缺的精神食粮!

这大量的智力因素,让我们站在巨人的肩上,看得更远。这大量的智力因素,正是我们培养学生创新思维能力的智力源泉,也是启迪我们进行创新思维活动的根据。

我们之所以在学习中反对“死记硬背”,就是要突出知识的智力因素,掌握真才实学,学会过硬本领,培养学生灵活运用数学知识去分析综合、探索联想,创造性地解决社会发展的实际问题,全面提高学生的能力和素质。

广义的创造,是从个人的活动来考察的,是指个人从事的活动和思维,只要相对于自己的过去来说,是新颖的、独特的、具有突破性的,就是创造性活动。学生在学校里要培养的创造性,就是这种广义上的创造性。创造意味着从无到有,创新具有更新与日臻完善的含义:创新体现现有事物更新改造的过程;创新意味着一种旧貌换新颜和推陈出新的感觉;创新更多地被应用于技术、制度、管理等具体的事物方面。创新是建立在创造结果基础之上,是对具有原创性的东西的具体应用。创造和创新都是推动人类社会发展和进步的永恒动力。我们说,一个民族的真正伟力根植于它的创造与创新精神,这是人类社会迄今所能找到的对社会进步和发展的原因所做出的一个最有效的解释。

二、课堂教学要发挥知识的智力因素,培养创新能力

1、重新认识教材,从中挖掘创新素材,发挥知识的智力因素,从而创设教学活动情景,激发兴趣,进行创新探索,培养创新能力。灵活多变的教学是培养学生创新能力的崭新途径。例如,教学中的一些概念、公式、定理,或因内容相似相近,或因形式相似相近,易造成混淆。在教学中,运用对比分析教学,就能促使学生在错综复杂的事物联系中,发现问题的实质,学会客观地评价事物,加深对本质的理解。类比是思维的一种重要形式,经类比能使知识向更深的层次或更广阔的领域迁移、拓展。在教学中,教师可从知识的顺延、从属、引伸、互逆、相似等方面考虑发掘类比因素,进行类比创新,培养学生思维的灵活性。又如,构造新命题,将原题的条件或结论,甚至整个题用等价的形式替代,得到新题目称为原题的等价变式,这是由于一个数学问题常有许多不同的表现形式或不同表达方式而决定的,这有利于学生创新思维能力的发展。在数学教学中,教师引导学生从平常中发现不平常,不受“定势”或“模式”的束缚,去探索各种结论或未确定条件的各种可能性。这可以充分发挥知识的智力因素,有利于学生创新思维能力的培养和发展。多种思路(方法)解题特别能调动学生思维的积极性和创造性。知识的综合性就决定了思维活动发展的多样性。

2、发挥知识的智力因素,做到发散思维与收敛思维的辩证统一,发展学生的创新思维能力。数学的创造往往开始于不严格的发散思维,而继之以严格的逻辑分析思维,即收敛思维。发散思维虽然能够提供有价值的重要设想,但其成果必须严格验证。发散思维富于创造性,能够提供大量新思路、新方法。但是,单靠发散思维还不能完成创造性思维活动。因此,发散思维和收敛思维要相辅相成、辩证统一,偏视任何一面都是不可取的。

运用“普遍联系和发展”的观点处理课本的例题、习题,发挥知识的智力因素,深入挖掘创新素材及潜在功能。在保持已知条件不变的情况下。探索能否得出更深刻、更广泛的结论,或改变命题条件、结论的若干元素,组成新型的更一般的命题,并探究其正确性,不落俗套,培养学生思维的广阔性。另一方面,要注重知识的纵向延伸,使学生的思维由表及里,由浅入深地不断递进,培养学生思维的深刻性。三、激励学生大胆探究,培养创新思维能力

教育

家第斯多惠曾说:“教学的

艺术

不仅仅在于传授本领,而在于激励、呼唤、鼓励。”在美国教学中,教师认为好学生总是充满好奇和疑问。教师并不以知识的传授为目的,而是以激发学的问题意识,加深问题的深度,探求解决问题的方法,特别是形成自己对解决问题的独立见解为目的。青少年的天性是好奇和求异,凡事喜欢问个究竟和另辟蹊径。对此,教师绝不能压抑而应引导和鼓励。

教育激励常常有如下的几种方式:(1)榜样激励,要以学生中创新的事例为榜样,常言道:榜样的力量是无穷的。(2)前景激励,青少年学生向往美好的理想,积极进取,大胆创新,开拓前进的道路。(3)参与激励,实践出真知,训练出才干,培养学生的创新精神和实践能力。(4)表现激励,勇于表现自我是青少年的特点,要让学生充分地展示自己的特长,对培养和

发展

学生的爱好与技能产生无形的推动力。(5)竞争激励,有竞争才有发展,同学们你追我赶,争先恐后,发挥主体作用,能有效地推动数学创新活动的开展。(6)成功激励,成功给人带来光荣、幸福等美好的感受,更能鼓励成功者不断进取,发挥同学的创造性。(7)表扬激励,及时、充分地肯定学生的闪光点,热情地表扬学生的聪明智慧,是激励学生大胆创新的良好方法。

陶行知先生说:“发明千千万万,起点是一问。”一池死水,风平浪静,投去一石,碧波涟漪,可谓一石击起千层浪。教师教学要温故知新,巧妙设疑,去撞击学生思维的火花,进而激发学生创造思维的波澜。教师要提倡和鼓励学生“标新立异”、“无中生有”、“异想天开”和“纵横驰骋”,从而培养学生勇于探索、敢于创造的独创精神。引导学生独立思考,大胆探索,在学习知识的过程中体验、发现与创造。指导学生运用已有的知识、学习经验、演习方法去