人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题17.16 勾股定理（方程思想）（巩固篇）（专项练习）

专题17.16勾股定理（方程思想）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．在中，，，，平分交于点E，则的长是（

）．A．3 B．5 C． D．62．如图，在中，D是斜边的中点，交于点E，若，，则的长为（

）A． B． C． D．23．如图，在边长为6的等边三角形的三边上分别取点，，，使得，连接，，，若于点，则的周长为（）A． B． C．6 D．124．在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．5．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以B为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．若，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，中，，是等腰三角形，，，交于E，，则的值为（

）A．7 B． C．8 D．7．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．8．在中，，，．以A为圆心，的长为半径作弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点P．连接，并延长交于D．过D作于点E，垂足为E，则的长度为（）A． B． C．2 D．19．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．710．我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（

）A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺二、填空题11．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，则______．12．如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是______．13．如图，在中，，，，在中，，，连接，则__________，__________．14．如图，中，，，是上一点，且，则_______．15．如图，在四边形中，，，，点P是线段上的动点，连接，，若周长的最小值为16，则的长为_________________．16．如图，半径为7的扇形中，，为半径上一点，过作于点，以为边向右作等边，当点落在上时，_____．17．如图，已知中，，，，点是边上的一个动点，点与是关于直线的对称点，当是直角三角形时，的长______．18．如图，中，，过点B作，且，连接交于点E，若，则_______．19．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为_________．20．长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．三、解答题21．如图，为坐标原点，四边形为长方形，边和分别落在轴和轴的正半轴上，且，，点是的中点，点在线段上运动，当为腰长为5的等腰三角形时，求点的坐标．22．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），连接，．(1)设时，求的度数；(2)若，，求的长．23．如图，在中，，，．(1)用尺规按下列要求作图：不写作法和结论，保留清晰的作图痕迹①作的角平分线；②作线段的垂直平分线，交于点，分别交、于点E、F；连接，若的面积为，求：①点到直线的距离；②请直接写出的面积为__________．24．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置．若，求的度数；若；①求的长；②的面积为______．25．如图，在平面直角坐标系中，，，点坐标为，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，作点关于直线的对称点．(1)若点恰好落在上，求的值；(2)若，求的值；(3)当时，的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出的度数；若发生变化，请说明理由．26．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，．(1)求小凳子的高度；(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．参考答案1．B【分析】根据题意画图，先利用勾股定理求得，过E作于D，根据角平分线的性质得到，进而证明得到，然后利用勾股定理求解即可．解：如图，过E作于D，∵在中，，，，∴，∵，，，∴，在和中，∴，∴，在中，∵，，∴，解得：，故选：B．【点拨】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的证明以及角平分线的性质，会利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．2．C【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可．解：如图，连接，中，，∴，∵D是斜边的中点，，∴，垂直平分，∴，在中，，∴，∴，∴，故选：C．【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理，解题的关键是熟记线段垂直平分线的性质、勾股定理．3．B【分析】先证明，得到等边，设，则，解得x，在中，计算即可．解：∵等边三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，设，则，∵，解得，∴，∴的周长为，故选B．【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．4．D【分析】作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．解：作AD⊥BC于点D，如图，∵，，∴，，根据垂线段最短可知：当时，最小，则由，可得，解得；即线段的最小值是．故选D．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．5．A【分析】设根据，在中，由勾股定理列出方程即可求解．解：设，∵，，∴，在中，，∴为直角三角形，在中，由勾股定理得：，解得：，即故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出，进而表示出的长．6．B【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据等式的性质得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，根据勾股定理可得：，∴，∴，故选：B．【点拨】此题参考直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得是解题的关键．7．A【分析】首先利用勾股定理求出，进一步可得，设，则，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．解：在中，由勾股定理得，，∵将沿折叠，点与点重合，∴，，∴设，则，，在中，由勾股定理得，，即解得，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．A【分析】直接利用基本作图方法得出：，再利用全等三角形的判定与性质得出，结合勾股定理得出答案．解：如图所示：由题意可得：，在和中，设，则，故，解得∶．故选：A．【点拨】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．9．B【分析】先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，则，整体代入计算即可；解：∵正方形的面积为，∴，设，∵，∴，中，由勾股定理得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，则的值是；故选：B．【点拨】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题．10．D【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，在中，∵，∴，解得：故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．11．##【分析】根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据勾股定理求出即可．解：连接，在中，由勾股定理得：，从作法可知：是的垂直平分线，根据性质得出，在中，由勾股定理得：，即，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，解题的关键能灵活运用勾股定理．12．或【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可．解：∵纸片中，，，∴，∵以为折痕，折叠得到，∴，，．当时，如图1所示，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴；当时，如图2所示，C与点E重合，∵，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，综上所述，的长为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．13．

##60度

##【分析】作于E，于F，通过证明得到，则平分，所以，然后根据三角形内角和计算的度数；根据含直角三角形的性质求出，然后在等腰直角中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，进而可得的长．解：如图，作于E，于F，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∵在等腰直角中，，∴，∴，∵在中，，∴，即，∴，∴，故答案为：，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形内角和定理以及勾股定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．14．7【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得出，再根据勾股定理求出的长，设，则，，在与中根据勾股定理即可得出的值，进而得出结论．解：点作于点，，，．．设，则，，在中，，即①，在中，，即②，①②联立得，，解得，．故答案为：7．【点拨】本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．6【分析】作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，依据中，，即可得到，进而得出的长．解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，∵，，∴，∴中，，∴，解得，∴，故答案为：【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算．16．【分析】连接．设．证明，利用勾股定理构建方程求解即可．解：如图，连接．设．，，，，，，是等边三角形，，，，，，（负根已经舍去），．故答案为：．【点拨】本题考查解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．17．1或【分析】分两种情形：，，利用勾股定理构建方程求解即可．解：如图中，当时，设，，，，，由翻折的性质可知，，在中，，，，．如图中，当时，设．过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，，，在中，，，解得或舍弃，，综上所述，的值为：或．【点拨】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．18．##【分析】根据已知条件证明，然后利用勾股定理求出的长，进而可得的长．解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，在中，根据勾股定理，得，∴，解得（负值舍去），∴．故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平方根，解决本题的关键是得到．19．2.5【分析】先根据勾股定理求出，再根据垂直平分线的性质，得出，，则，根据勾股定理列出方程，求出x的值，根据轴对称得出，根据勾股定理求出，根据线段间的关系，即可得出答案．解：∵在中，，，，∴，∵垂直平分，∴，，，设，则，在中，，即，解得：，∵C关于的对称点为，∴，在中，根据勾股定理得：，∴．故答案为：2.5．【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据勾股定理求出．20．或3【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．解：当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在中，，∴，∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，∴，当为直角三角形时，只能得到，∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，∴，∴，设，则，在中，∵，∴解得：；②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，∴．故答案为：或3；【点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．21．或【分析】设点P的坐标为，先求出，，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可．解：设点P的坐标为，∵，∴，∵点是的中点，∴，∴，当时，则，解得（负值已舍去），∴点P的坐标为；当时，则，方程无解，不符合题意；当时，则，解得（负值已舍去），∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．22．(1) (2)【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求得，再由等边对等角求得，根据三角形内角和定理即可求出答案；（2）过点作于点，于点，由勾股定理可得出，设，则，由勾股定理得出，则可得出答案．（1）解：，，，，，；（2）解：过点作于点，于点，设，则，，，是的中点，，，，，，，．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．23．(1)见分析 (2)①3；②【分析】（1）根据作角平分线和垂直平分线的尺规要求作图即可；（2）①过D作于H，根据三角形中线的性质求出的面积，从而可求，然后根据角平分线的性质定理求解即可；②连接，根据垂直平分线的性质和勾股定理可求，从而求出的面积，进而求出的面积，然后三角形中线的性质即可求出的面积．（1）解：如图所示，即为所求角平分线，即为所求垂直平分线，；（2）解：①过D作于H，，∵是的垂直平分线，∴，∴，∵的面积为，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的角平分线，，∴，即点到直线的距离为3；②连接，，∵是的垂直平分线，∴，设，则，，在中，，，，，∴，即，解得，∴，∴，又，∴，又，∴．【点拨】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形中线的性质，勾股定理等知识，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．24．(1)的度数为 (2)①的长为6；②【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得．（2）①根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；②根据①中结果，利用三角形面积公式即可求