江西丰城中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

丰城中学2023-2024学年度下学期初三开学考试试卷数学总分120分时长120分钟考试范围(中考范围)单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．的倒数是（）A． B． C． D．2．一个长方体截去一部分后得到的几何体如图所示，其左视图是（

）

A．

B．

C．

D．

3．在运动会上，有13名同学参加某项比赛．他们的预赛成绩各不同，要取前6名参加决赛．小明得知自己的成绩后，若想确定自己能否进入决赛，只需要知道这13名同学成绩的（）A．众数 B．平均数 C．中位数 D．极差4．若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（

）A． B． C． D．6．若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数的值之和是()A．10 B．13 C．15 D．18二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．因式分解：.8．过去的一年，江西克服了夏秋冬连旱的极端天气影响，“三农”工作又迎来了一个丰收年.2022年全省的粮食产量达到亿斤，连续10年稳定在430亿斤以上.数据430亿用科学记数法可表示为.9．康定特产牦牛肉干的原价为a元，现在优惠促销，打九折后再降价5元，牦牛肉干的现价是元．10．若一元二次方程的两根分别为，则．11．如图，第1个图形中有1个球；第2个图形中有3个球；第3个图形中有6个球；….古希腊著名科学家毕达哥拉斯把像1，3，6…这样的数称为“三角形数”，则第个图形中有个球.

12．在中，，，，是的中点，是上的动点，若点到的一边的距离为2，则的长为．三．解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）13．计算：(1)；(2)．14．如图，在菱形中，是对角线，，，是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)如图1，在上找一点，使的周长最短．(2)如图2，在上找一点，作线段，使得．15．春节期间，某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如下表所示：类别价格黄瓜茄子进价/（元/千克）67售价/（元/千克）1012(1)某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克．(2)如果该蔬菜经营户每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，那么应如何进货才能使获得的利润最大？16．某校组织开展运动会，小明和扎西两名同学准备从100米短跑（记为项目A）、800米中长跑（记为项目B）、跳远（记为项目C）、跳高（记为项目D），即从A，B，C，D四个项目中，分别选择一个项目参加比赛．(1)小明选择“铅球”项目是___________事件，选择“跳远”项目是___________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；小明选择“跳远”项目的概率是___________；(2)请用画树状图或列表法求两名同学选到相同项目的概率．17.如图，是的中位线，延长至点，使，连接，.（1）求证：四边形是平行四边形.（2）若，试判断的形状，并说明理由.四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）19．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D．

(1)则__________，_________；(2)若点E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值．20．如图1，已知，点O在射线上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E．

(1)当与只有两个交点时，r的取值范围是________．(2)当时，将射线绕点B按顺时针方向旋转．①若与相切，求的度数为多少；②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积．五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．已知：平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点，连接AB．(1)如图1，求该抛物线的解析式；(2)如图2，P为抛物线第一象限上一点，连接PA、PB，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PO并延长至点E，交AB于点C，取x轴负半轴上一点D，连接DE、BE，若，，，求P点的坐标．22．●问题发现（1）如图1，和都是等边三角形，边和在同一直线上，是边的中点，，连接，则下列结论正确的是__________．（填序号即可）①；②；③；④整个图形是轴对称图形．●数学思考（2）将图1中的绕着点旋转，不动，连接和，如图2，则和具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●拓展应用（3）已知，，在图1中的绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长度．六、解答题（本小题12分）23．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为；（3）若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BQP∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案1．C解析：解：∵，∴的倒数是.故选C2．A解析：解：该几何体的左视图为：

．故选：A．3．C解析：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小明需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选：C．4．B解析：解：∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a＞a+1，此不等式无解；②若点A在第二象限，且点B在第四象限，∵，∴，解得：；③由y1＞y2，可知点A在第四象限，且点B在第二象限这种情况不可能，综上，的取值范围是，故选：B．5．B解析：解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，当x=0时，y=-3，∴A（0，-3），B（3，0），对称轴为直线，经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，∴三角形向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4，当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位，此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），设直线的表达式为y=kx+b，代入A′（1，2），B′（4，5），可得解得：，故直线的表达式为，故选：B．6．B解析：解：解一元一次不等式组，得，∵一元一次不等式组恰有4个整数解，∴，∴，解分式方程，去分母，得，得，∵分式方程的解为非负数，∴且，解得且，综上，满足条件的整数a有，，，∴，故选：B．7．/解析：解：，，，故答案为：．8．解析：解：．故答案为．9．解析：解：康定特产牦牛肉干的原价为a元，打九折后再降价5元，∴牦牛肉干的现价是：元．故答案为：．10．解析：解：∵一元二次方程的两根分别为，∴，∴．故答案为：．11．解析：解：第1个图形中有1个球，第2个图形中有3个球，，第3个图形中有6个球，，…，依此类推，第n个图形中球的个数为：．故答案为：．12．或或解析：解：∵，，，∴，∴为直角三角形，，又∵是的中点，∴①如图(1)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点D作于点F，则，，∵，，∴，∴∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；

②如图(2)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点D作于点F，则，同理可得：，∴，∴，即，解得：；

③如图(3)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点C作于点F，则，，∵，∴，∵∴，∴，即，解得：；∴．

综上，的长为或或．13．(1)(2)解析：（1）解：；（2）解：．14．(1)见解析(2)见解析解析：（1）解：如图1，连接交于P点，则点P为所作；

（2）解：如图2，连接交于O点，延长交于M点，再连接交于点N，接着延长交于F点，则为所作．

∵菱形中，，∴是等边三角形，，∵，∴，∴，则，∵点O是的中点，是边的中点，由菱形的对称性质，点M是边的中点，∴点N是的重心，∴点F是边的中点，∴是的中位线，∴．15．(1)黄瓜和茄子分别批发了40、10千克；(2)每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大．解析：（1）解：设黄瓜和茄子各批了x，y千克，根据题意可得：，解得：．答：黄瓜和茄子分别批发了40、10千克；（2）解：设黄瓜每天售出m千克．如果每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，则有：，解得：．用S表示每天获得和利润，根据题意可列出S与m的关系式：，由关系式可知，S随m的增大而减小，∴当时，最大．答：每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大．16．(1)不可能，随机，(2)解析：（1）小明选择“铅球”项目是不可能事件；选择“跳远”项目是随机事件；小明选择“跳远”项目的概率是；故答案为：不可能，随机，；（2）画树状图如下：由树状图知，共有16种等可能结果，其中两名同学选到相同项目的有4种结果，所以两名同学选到相同项目的概率为．17.（1）证明：QUOTE是QUOTE的中位线，QUOTEQUOTE,QUOTE.······1分QUOTE,QUOTE.······2分QUOTE四边形QUOTE是平行四边形.······3分（2）解：QUOTE为直角三角形.理由如下：……4分QUOTE四边形QUOTE是平行四边形，QUOTE.QUOTE，QUOTE.QUOTE是QUOTE的中位线，QUOTE.QUOTE.……5分QUOTE，QUOTE，QUOTE三点在以点QUOTE为圆心，QUOTE长为直径的圆上.QUOTE.QUOTE为直角三角形.······6分18．(1)(2)解析：（1）解：如图，过点B作于点E，在中，∴，在中，，，∵，∴．答：．

（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，在中，，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，即云梯大约旋转了．

18．(1)3，18(2)1或解析：（1）解：作轴于，如图所示：

轴∴，，，直线经过点，，解得，直线解析式为：，，，，，点坐标为，将点坐标代入，得．故答案为：3，18；（2）轴，点的纵坐标为3，代入，得，点坐标为，将点横坐标代入，得，，点纵坐标为，代入，得，点坐标为，，，，当时，解方程得或，当时，解方程得，点为射线上一点，或．19．(1)或(2)①或；②解析：（1）解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点．如图1，当与相切于点G，连接，则，比相切之前

∵，∴，∴，,即此时,只要半径，则只有两个交点；②当半径大于时，⊙O分别与射线，有一个交点，如图2，当点D刚好与点B重合，此时，

结合图形可知，r的取值范围为或r＞4；（2）解：①如图3，当射线在射线的上方与相切时，设切点为P，连接，∵，，∴，∴，∴，

如图4，当射线在射线的下方与相切时，设切点为P，连接，同理，∴，

综上所述，当为或时，射线与相切；②如图5，连接，，过点O作于点，

∴，∵，∴，∴，∴，∴．21．问题发现：①③④数学思考：，，理由见解析拓展应用：解析：解：●问题发现：∵是边的中点，是等边三角形，∴，又∵，∴，所以①正确；过D作交于点G，∴∵和都是等边三角形，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴,所以②不正确；连接，∵和都是等边三角形，∴,∵∴，∴三点共线，即，所以③正确；由③可知整个图形关于直线成轴对称图形，所以④正确；故答案为：①③④．●数学思考：，．理由如下：连接，，由图1，，，可得．绕着点旋转，仍然成立．∵是等边三角形，∴，．∴．同理，，．∴，．∴．∴．∴，．延长交于点，交于点，又，∴．∴．∴．●拓展应用当时，∵，∴，，三点共线．如备用图1，设