2.4二次函数的应用（解析版）

2.4二次函数的应用分层练习考查题型一根据实际问题列二次函数的关系式（2023秋•丽水期中）某超市销售一种饮料，每瓶进价为3元，当售价为5元时，每天可卖出100瓶，据调查若每瓶售价每涨0.5元，每天销量减少5瓶．设每瓶定价为元，每天利润为元，则下列表达式正确的是A． B． C． D．【分析】设每瓶定价为元，根据题意表示出每瓶利润，日销售量，根据等量关系列出表达式即可．【解答】解：设每瓶定价为元，则每天可卖出瓶，根据题意得：，故选：．（2023秋•西湖区校级期中）已知某种产品的成本价为30元千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为（元，则与之间的函数表达式为A． B． C． D．【分析】利用这种产品每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可找出与之间的函数表达式．【解答】解：根据题意得：，即．故选：．（2023秋•津南区期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价（单位：元），且，每天售出商品的利润为（单位：元），则与的函数关系式是A． B． C． D．【分析】当每千克涨价元时，每千克盈利元，每天可销售千克，利用每天售出商品的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出与的函数关系式，此题得解．【解答】解：当每千克涨价元时，每千克盈利元，每天可销售千克，根据题意得：．故选：．（2023秋•泰安期中）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，设这个苗圃园的宽为，面积为，则与之间的函数表达式为A．， B．， C．， D．，【分析】根据各边之间的关系，可得出，利用矩形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再结合“墙长为，且平行于墙的一边长不小于”，即可求出的取值范围．【解答】解：篱笆的总长为，，．根据题意得：．墙长为，且平行于墙的一边长不小于，，，与之间的函数表达式为．故选：．考查题型二二次函数的应用（2023秋•温州期中）如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约2.15米，与篮筐的水平距离，此球准确落入高为3.05米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为2.5米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为A．4.55米 B．4.60米 C．4.65米 D．4.70米【分析】根据题意设抛物线解析式为，再把和代入解析式，求出，即可．【解答】解：根据题意得：抛物线过点和，对称轴为直线，设抛物线解析式为，把和代入解析式得：解得，抛物线解析式为，，函数的最大值为4.65，球在运动中离地面的最大高度为，故选：．（2023秋•仪陇县期中）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加，则水面应下降的高度是A． B． C． D．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再代入代数式即可求解．【解答】解：建立平面直角坐标系，如下图所示，则点，设函数的表达式为：，则，解得：，则抛物线的表达式为：，设水位下降到点时，水面宽增加，则点，，当时，，则水位下降了1.5米．故选：．（2023秋•梁子湖区期中）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为A． B． C． D．【分析】根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出即可．【解答】解：米，当时，，当水位上升5米时，，把代入抛物线表达式得：，解得，此时水面宽，故选：．考查题型三二次函数的综合（2023秋•镜湖区校级期中）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．（1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则；（2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为．【分析】（1）当抛物线是美丽抛物线时，则，由四边形为正方形，则点的坐标为，，进而求解；（2）由（1）知，点的坐标为，，将点的坐标代入得：，即可求解．【解答】解：（1）函数的图象如下：当抛物线是美丽抛物线时，则，四边形为正方形，则点的坐标为，，将点的坐标代入得：，解得：，故答案为：；（2）由（1）知，点的坐标为，，将点的坐标代入得：，解得：，故答案为：．（2023秋•龙湾区月考）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为；（2）如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度．【分析】（1）设点的坐标为：，则抛物线的表达式为：，则点的坐标为：，点，再用待定系数法即可求解；（2）确定直线的表达式为：，求出，，进而求解．【解答】解：（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：设点的坐标为：，则抛物线的表达式为：，则点的坐标为：，点，将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即抛物线的表达式为：①，，故答案为：；（2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，设直线的解析式为，将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：②，联立①②并整理得：，则，，则，则，由的表达式知，其和轴的夹角为，则，故答案为：．（2023秋•合肥月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）的度数是；（2）若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是．【分析】（1）由求出，，，可得，，，故；（2）由，得直线解析式为，设，可得，根据二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）在中，令得，，令得或，，，，，，，，故答案为：；（2）由，得直线解析式为，设，则，，，当时，取最大值4，故答案为：4．（2023•二道区校级模拟）如图，抛物线与轴交于点，顶点为，连结并延长交抛物线的另一个交点为点，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，且．当时，则的值是．【分析】设、，分点在线段上及点在线段上两种情况，由，利用相似三角形的性质可得出、间的关系，将、点坐标代入抛物线与抛物线对称轴联立方程组，解方程组即可求得的值．【解答】解：由，可设、点坐标分别为、，，，，，点在线段上时，如图1所示．，点为线段的中点，，，点横坐标为．由题意知、点均在抛物线的对称轴上，，．点坐标为，，在抛物线上，且抛物线对称轴为，有，解得：，或，，．故答案为：．（2023秋•兴化市期中）某主题公园装修后重新开业，试营业期间统计发现，公园每天售出的门票张数（元张）与门票售价（元张）之间满足一次函数的关系：，是整数），若公园每天运营成本为1200元，设公园每天的利润为（元（利润门票收入运营成本）．（1）试求与的函数表达式；（2）公园的门票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据“利润票房收入运营成本”可得函数解析式；（2）将函数解析式配方成顶点式，由，且是整数，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：；与之间的函数关系式为；（2），而，当时，取得最大值，最大值为2400．答：公园的门票售价定为每张60元时，每天获利最大，最大利润是2400元．（2023秋•铁东区期中）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元的价格购进某款恤，以每件60元的价格出售．经统计，“双11”的前一周月30日月5日）的销售量为500件，该电商在“双11”期间月6日月12日）进行降价销售，经调查，发现该款恤在“双11”的前一周销售量的基础上，每降价1元，周销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率【分析】根据题意列出函数解析式，并求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可求出答案．【解答】解：设售价为每件元，利润为元，根据题意，得：，销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，，解得，，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，有最大值，最大值为（元，答：当定价为每件52元，才能使利润最大，最大利润是10800元．（2022秋•新洲区期末）已知抛物线的顶点为，与轴交于，两点在左边），与轴交于点．（1）若点坐标为，点坐标为求其解析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点在直线上滑动，且与直线交于另一点，若的面积为，求此时点的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，直线交抛物线于，两个不同的点，直线、分别交轴于点、，求与满足的数量关系．【分析】（1）将点，点代入，即可求解；（2）设点、的坐标分别为，、，，则，将抛物线与直线解析式联立并整理得：，可得，设直线与轴的交点为，则，利用三角形面积可得，即可得出答案；（3）求出直线