第01讲 中考热点实数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（上海专用）（原卷版）

第01讲中考热点实数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计有45个考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到位为准。但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综合实数模块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注到基础概念的准确深入的理解，而不是死记硬背知识点。【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识导图】【考点梳理】考点一：实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二:实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三:实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四:实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五；实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六：有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】题型一、实数的有关概念 【例1-1】（1）a的相反数是，则a的倒数是_______．（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:则化简=______．（3）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【例1-2】．在实数－，0，，－3.14，，，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【变式2】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______，绝对值等于它本身的数是______．题型二：实数的分类与计算【例2-1】下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（）个A．1B．2C．3D．4【变式】在中，哪些是有理数?哪些是无理数?【例2-2】．计算：计算：．【变式1】计算：【变式2】计算：【例2-3】(1)有一列数，…，那么依此规律，第7个数是______；（2）已知依据上述规律，则．【变式】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则．题型三：实数大小的比较【例3-1】比较下列每组数的大小：（1）与（2）a与（a≠0）【变式】比较下列每组数的大小：（1）和（2）和【例3-2】若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．【变式】当时，比较1＋b与1的大小.题型四：平方根的应用【例4-1】已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.【例4-2】已知，求的值.【变式】已知x、y是实数，且+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，则实数a的值是（）A．B．－C．D．－题型五：实数运算中的规律探索【例6-1】细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值.【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【例6-2】在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．

（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？

（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？【例6-3】探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A．363B．153C．159D．456【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：（1）第四个图形中火柴棒的根数是；（2）第个图形中火柴棒的根数是.【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了个数；当按顺序从第个数到第个数（＜）时，共数了个数。【中考过关真题练】一、单选题1．（2022·上海·中考真题）8的相反数是（

）A． B．8 C． D．2．（2011·上海·中考真题）﹣5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C． D．3．（2016·上海·中考真题）如果与3互为倒数，那么是（）A． B． C． D．4．（2017·上海·中考真题）下列实数中，无理数是（）A．0 B． C．﹣2 D．5．（2015·上海·中考真题）下列实数中，是有理数的为（）A． B． C．π D．0二、填空题6．（2015·上海·中考真题）计算：_______．7．（2012·上海·中考真题）计算：=_________．8．（2019·上海·中考真题）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是_____________．9．（2018·上海·中考真题）的立方根是__________．三、解答题10．（2021·上海·中考真题）计算：11．（2017·上海·中考真题）计算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．12．（2016·上海·中考真题）计算：．13．（2013·上海·中考真题）计算：．14．（2022·上海·中考真题）计算：15．（2019·上海·中考真题）计算：16．（2020·上海·中考真题）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|．17．（2012·上海·中考真题）计算：．【中考挑战满分模拟练】一、单选题1．（2022·上海普陀·二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是A．2 B．1 C． D．2．（2022·上海奉贤·二模）如果实数a与3互为相反数，那么a是（

）A． B． C．3 D．3．（2022·上海奉贤·二模）据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．（2022·上海静安·二模）下列各式中，计算结果正确的是（

）A． B． C． D．5．（2022·上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（

）①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（

）A．精确到百分位，有3个有效数字； B．精确到百位，有3个有效数字；C．精确到百分位，有5个有效数字； D．精确到百位，有5个有效数字．7．（2022·上海松江·二模）下列各数中，无理数是（

）A． B． C． D．8．（2022·上海闵行·二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（

）A． B． C． D．0.2022022022…9．（2022·上海徐汇·二模）下列实数中，有理数是（

）A． B． C． D．10．（2022·上海·模拟预测）在下列四个实数中，最小的是（

）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．11．（2022·上海宝山·二模）若数轴上表示－1和－3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（

）A． B．－2 C．2 D．412．（2022·上海长宁·二模）的倒数是（

）A． B． C． D．二、填空题13．（2022·上海嘉定·二模）化简：||＝_____．14．（2022·上海·模拟预测）的相反数是______，-2的绝对值是______．15．（2022·上海·模拟预测）若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．16．（2022·上海·二模）已知满足，则的值是_______．17．（2022·上海奉贤·二模）某眼镜店暑假期间开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如图，那么广告牌上填的原价是______元．18．（2022·上海浦东新·二模）在北京冬奥运的火炬传递活动中，火炬传递的总里程大约为137000公里，用科学记数法可表示为________公里．19．（2022·上海宝山·二模）如果一个数的平方等于，那么这个数是______．20．（2022·上海市青浦区教育局二模）如果从、、-1、、任意选取一个数，选到的数是无理数的概率为________．21．（2022·上海奉贤·二模）的立方根是________．22．（2022·上海·格致中学二模）9的算术平方根是．23．（2022·上海·模拟预测）对于正整数a，规定，如：，，则____________．24．（2022·上海·模拟预测）小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入……12345…输出………那么，当输入的数据为8时，输出的数据为________.三、解答题25．（2022·上海·位育中学模拟预测）计算：．26．（2022·上海·一模）计算：．27．（2022·上海·二模）计算：．28．（2022·上海崇明·二模）计算：29．（2022·上海黄浦·二模）计算：．30．（2022·上海市进才中学一模）计算：．31．（2022·上海长宁·二模）计算：﹣12022+2cot260°﹣|π﹣3|+．32．（2022·上海徐汇·二模）计算：．【名校自招练】一．选择题（共3小题）1．（2016•宝山区校级自主招生）根据第六次全国人口普查，我国全国人口为1370536875人，用科学记数法表示该人口可表示为（）A．0.1370536875×1010 B．1.370536875×109 C．13.70536875×108 D．137.0536875×1072．（2016•宝山区校级自主招生）若＝a+b，其中a是整数，0＜b＜1，则a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2016•宝山区校级自主招生）假设a是无理数，b是有理数，下面有可能是有理数的是（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．a÷b二．填空题（共17小题）4．（2016•宝山区校级自主招生）计算：+++…+＝．5．（2014•宝山区校级自主招生）360的正因数有个．6．（2002•闵行区校级自主招生）用科学记数法表示：0.00034＝．7．（2016•闵行区校级自主招生）若的立方根是A，的算术平方根为B，则A+B＝．8．（2017•杨浦区校级自主招生）若的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数，这样的正整数n共有个．9．（2017•浦东新区校级自主招生）已知实数x满足|x+1|+|x﹣4|＝7．则x的值是．10．（2017•杨浦区校级自主招生）从1，4，7……295，298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有个．11．（2016•宝山区校级自主招生）正数360共有个正因数．12．（2016•宝山区校级自主招生）正整数2015的不同正因数的个数为个13．（2016•宝山区校级自主招生）请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）．14．（2012•长宁区校级自主招生）两个自然数的积是3322，那么这两个自然数的和最小是．15．（2021•宝山区校级自主招生）[]+[]+…+[]＝（其中[a]表示不超过a的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．16．（2017•浦东新区校级自主招生）进制是人们规定的一种进位方法．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制．而十五进制是15为基数进位的计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的旧面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系，现采用数字0﹣9和字母A﹣E共15个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：15进制0123456789ABCDE10进制01234567891011