专题2.16第2章特殊三角形单元测试（能力过关卷）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.16第2章特殊三角形单元测试（能力过关卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共24题，选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•碑林区校级模拟）如图，已知交于点，，，，则的大小为A． B． C． D．【分析】由等腰三角形的性质得出，然后根据平行线的性质可得的度数，利用三角形外角的性质可得结果．【解析】，，，，，，故选：．2．（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于，则这个等腰三角形的顶角等于A． B． C．或 D．或【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解析】当高在三角形内部时，如图1，，，；顶角是；当高在三角形外部时，如图2，，于，，顶角是．故选：．3．（2020春•和平区期末）如图，在中，，用尺规作，交于点，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形两锐角互余的性质求得即可．【解析】，，，，故选：．4．（2021春•营口期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是1．过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为A． B． C． D．【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数．【解析】，，到原点的距离是．点所表示的数是．故选：．5．（2021•碑林区校级四模）如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点、、都在格点上，则边上的高为A． B． C． D．【分析】首先计算出的面积和，再设边上的高为，利用三角形面积公式可得答案．【解析】的面积：，，设边上的高为，由题意得：，，故选：．6．（2020秋•肇州县期末）如图，在中，、分别为、边上的点，，．若，则的度数为A． B． C． D．【分析】可设，根据等腰三角形的性质可得，则，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和为，列出方程即可求解．【解析】设，根据等腰三角形的性质得，则，根据等腰三角形的性质得，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得，依题意有，解得．故选：．7．（2021•西湖区二模）如图，在中，点在边上，且满足，过点作，交于点．设，，，则A． B． C． D．【分析】根据，，，再根据三角形外角的性质得出，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论．【解析】，，，，，，，，，，，故选：．8．（2021•铁岭模拟）如图，在中，为边的中点，于点，，，，则A． B． C． D．【分析】根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角函数的定义得到，求得，得到，于是得到结论．【解析】，为边的中点，，，，，，，为边的中点，，，，故选：．9．（2020•南山区模拟）如图，中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于和，再分别以点、为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于，，则的面积为A．4 B．5 C．9 D．10【分析】作于，如图，先利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．【解析】作于，如图，由作法得平分，而，，，．故选：．10．（2020•安徽模拟）如图，在中，，，，为边的中点，则点到中线的距离的长为A．3 B．4 C． D．【分析】根据勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质得出，利用三角形面积公式解答即可．【解析】在中，，，，，中线，，的面积的面积连接，为边的中点，的面积的面积，的面积，可得：，解得：，故选：．二．填空题（共6小题）11．（2021•盐城）如图，在中，为斜边上的中线，若，则4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出答案即可．【解析】，为斜边上的中线，，，，故答案为：4．12．（2020秋•平阴县期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为20．【分析】由是的垂直平分线可得，求得，在中，，即可求得的度数，继而求得答案．【解析】是的垂直平分线，，，在中，，，．故答案为：20．13．（2020秋•青羊区校级期末）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则8．【分析】根据两个正方形的面积和等于，然后根据勾股定理即可得到结论．【解析】，，，，，，故答案为：8．14．（2021春•海淀区校级期末）如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为36．【分析】连接，先根据勾股定理求出，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积．【解析】如图，连接，在中，，，，根据勾股定理得，，在中，，，，，为直角三角形，．故答案为：36．15．（2020•贵州三模）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则15度．【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质即可求得结果．【解析】是等边三角形，，，，，．故答案为：15．16．（2020秋•澄海区期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点，点在运动过程中，若是等腰三角形，则的度数为或．【分析】分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出．【解析】，，①当时，，，此时不符合；②当时，即，，；；③当时，，，；当是等腰三角形时，的度数是或．故答案为：或．三．解答题（共8小题）17．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．【分析】设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度．【解析】设，则，由图可得，，，中，，即，解得，答：风筝距离地面的高度为12米．18．（2019秋•南岸区校级期中）如图，在中，，平分，于点．（1）若，求的度数；（2）点为线段的中点，连接．求证：．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质得到根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论．【解答】（1）解：，，平分，，，；（2）证明：在中，点为线段的中点，，平分，，，．19．（2020秋•滦州市期末）根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：如图，中，，，是的角平分线．求证：．【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】已知：如图，中，，，是的角平分线．求证：，证明：，，，是的角平分线，，，，，，，．故答案为：中，，，是的角平分线，．20．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，是边长为3的等边三角形，将沿直线向右平移，使点与点重合，得到，连接，交于．（1）猜想与的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段的长．【分析】（1）由平移的性质可知，，故可得出，由可知，故可得出结论；（2）在中利用勾股定理即可得出的长．【解析】（1）与的位置关系是：．由平移而成，，，，，，又，，，是等边三角形，是边的中线，，与互相垂直平分；（2）由（1）知，，，是直角三角形，，，．21．（2019秋•北流市期末）如图（1），，，，，试说明的理由；如图（2），若向右平移，使得点移到点，，，，，探索的结论是否成立，并说明理由．【分析】（1）根据可得，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．（2）根据可得，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．【解析】（1），，．在和中，．．，．，即；（2），，．在和中，．．，．．22．（2012秋•三门县校级期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3，利用图1和图3的阴影部分的面积．（1）你能得到的公式是；（2）爱思考的小聪看到三边为，，的直角三角形（如图，四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积：方法一：；（用，，来表示）方法二：；（用，，来表示）（3）你能得出一个关于，，的等式：；（4）若，，求的值．【分析】（1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积和长方形的面积两种方法列式即可；（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积和正方形的面积公式列式即可；（3）根据两种方法表示出的大正方形的面积相等整理即可得解；（4）把、、的值代入关系式进行计算即可得解．【解析】（1）得到公式是：；（2）方法一：，方法二：；（3），整理得，；（4）当，时，，解得．故答案为：（1）；（2），；（3）；．23．（2019秋•宿豫区期中）已知：如图，在中，，，点在上，且，点在的延长线上，且．（1）求的度数；（2）如果把题目中“”的条件去掉，其他条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由；（3）若，其他条件与（2）相同，则的度数是多少？为什么？【分析】（1）在中，，，是等腰三角形，所以，根据其他边相等可求出解．（2）可表示出角，看看和有没有关系；（3）设，等腰三角形的性质得，，三角形的内角和定理得，，所以，，由等腰三角形的性质得，所以【解析】（1），，，，，，，在中，，；（2）不改变，设，，，，在中，，，又，，；（3），，，，，，．24．已知是等腰三角形，，，点在边上，点在边上（点，不与所在线段端点重合），，连接，，射线，延长交射线于点，点在直线上，且．（1）当，的度数是多少？（用含的代数式表示）（2）若是等边三角形，，是边上的三等分点，直线与直线交于点，求线段的长．【分析】（1）分两种情形：①如图1中，当点在的延长线上时，②如图2中，当点在的延长线上时，分别讨论