专题2-6 阿基米德三角形与焦点三角形内切圆（原卷版）

专题2-6阿基米德三角形与焦点三角形内切圆目录知识点梳理 2阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 2阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 3题型一阿基米德焦点三角形 52023届·黄冈中学5月二模·T6 52023届·武汉市武昌区五月质检T16 5山东省济南市2022届高三二模 52023届成都七中高三月考 62024届嘉兴市九月统考T15 6题型二常规型阿基米德焦点三角形 6安徽省2023届高三A10联盟二模 62024届·广东省四校第一次联考 82023届·黑龙江哈师大附中校考 82023·深圳市二模 8广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题 8题型三双曲线焦点三角形的内切圆 9湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二) 9安徽省（九师联盟）2023届二模 10山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评 10长沙市雅礼中学2022-2023高三月考 10湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题 11题型四双曲线焦的两个焦点三角形与两个内切圆 12重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题 122023·安徽淮北·一模 132023·长沙周南中学三模 13题型五椭圆的焦点三角形的内切圆 152023届·浙江省重点中学拔尖学生培养联盟6月适应性考试 152023·长郡中学押题卷 152023·汕头金山中学三模 162023·湖北襄阳五中5月模拟 17知识点梳理阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1：MF⊥AB；性质2：MA⊥MB；性质3：MN∥x轴；性质4：S△ABM最小值为p²对于点A，B:①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点对于点M③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点，④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）【性质1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.【性质5】，重点题型·归类精重点题型·归类精练题型一阿基米德焦点三角形2023届·黄冈中学5月二模·T6设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.82023届·武汉市武昌区五月质检T16已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____山东省济南市2022届高三二模（多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4 B.C.△NAB面积的最小值为6 D.若直线AB的斜率为，则已知动圆过点，且与直线相切，记动圆的圆心轨道为，过上一动点作曲线的两条切线，切点分别为，直线与轴相交于点，下列说法不正确的是（

）A．的方程为B．直线过定点C．为钝角（为坐标原点）D．以为直径的圆与直线相交已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（

）A． B． C．2 D．32023届成都七中高三月考过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=.2024届嘉兴市九月统考T15已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率．（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4题型二常规型阿基米德焦点三角形安徽省2023届高三A10联盟二模（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（

）A． B．C． D．以为直径的圆过点2024届·广东省四校第一次联考过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.（2023秋·海南·高三统考期末）已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（

）A． B． C． D．42023届·黑龙江哈师大附中校考已知抛物线，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则.2023·深圳市二模（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（

）A．轴 B． C． D．（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题（多选）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（

）A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点C．线段长的最小值为 D．已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.已知的方程为，过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．题型三双曲线焦点三角形的内切圆湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为．（2024届·云南昆明一中校考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（

）A． B． C． D．安徽省（九师联盟）2023届二模已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆（）与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．长沙市雅礼中学2022-2023高三月考（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（

）A．双曲线的离心率B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上C．为定值D．的最小值为（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线C的渐近线相切，则（

）A．的最小值为B．为定值C．双曲线C的离心率D．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上（多选）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（

）

A．切点与右焦点重合 B．C． D．湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．题型四双曲线焦的两个焦点三角形与两个内切圆重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的右支交于两点，若内切圆与内切圆的半径的乘积为，则双曲线的离心率为 （）A．B．C．D．（多选）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（

）A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直B．为定值C．若，则的离心率D．若，则的渐近线方程为已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为.2023·安徽淮北·一模已知双曲线C：过点，则其方程为，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是．已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为；若，则双曲线离心率为.2023·长沙周南中学三模已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，分别是双曲线的两个焦点，过上焦点作斜率的直线交双曲线上支于点,若，的内心分别是，且，则双曲线的离心率为.（多选）已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（

）A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧C． D．（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则（

）A．、在直线上 B．双曲线的离心率C．内切圆半径最小值是 D．的取值范围是（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（

）A．的渐近线方程为B．点与点均在同一条定直线上C．直线不可能与平行D．的取值范围为（多选）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（

）A．点、均在直线上 B．直线的方程为C． D．题型五椭圆的焦点三角形的内切圆2023届·湖南师范大学附属中学月考(三)已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2023届·浙江省重点中学拔尖学生培养联盟6月适应性考试（多选）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（

）A．到轴的距离为B．点的轨迹是双曲线C．若，则D．若，则（2023·四川宜宾·统考二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．2023·长郡中学押题卷若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（

）A．2 B． C．4 D．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（

）A． B． C．2 D．（2023·浙江高二联考）已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（

）A． B． C． D．2已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为.（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径